北理工 概率论 田第6讲(2012).

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1、二二 几几个重要的连续型随机变量及其个重要的连续型随机变量及其分布分布 (1) 若随机变量若随机变量 X 的概率密度为的概率密度为 1. 均匀分布（均匀分布（Uniform） 则称则称 X 在在a, b上服从均匀分布，记为上服从均匀分布，记为XUa, b其他01)(bxaabxf)(xfab说明: 类似地，我们可以定义区间 ,1 ,0,a bxa bIxa b 可以将密度可以将密度 f(x) 写成写成 ,1a bfxIba 例如，定义例如，定义(a, b)上的均匀分布，采用采用 (a, b)上的示性函数上的示性函数 a, b)、(a, b和(a, b)上的均匀分布 xbbxaabaxaxxF1

2、0)(若若 XUa, b，X 的分布函数为的分布函数为)(xFabx对于满足对于满足a c d b的任意的的任意的c , d, 有有 P(c 00 ，则称，则称 X 服从参数为服从参数为 的指数分布的指数分布, 记为记为XE( )0, 00,)(xxexfx)(xfxo0001)(xxexFxX 的分布函数为的分布函数为 )(xFox1.,0. 0, 0, 0,e1)(分布分布的指数的指数服从参数为服从参数为则称则称为常数为常数其中其中的概率密度为的概率密度为设连续型随机变量设连续型随机变量定义定义 XxxxfXx 指数分布的另一种等价定义指数分布的另一种等价定义例例2：经过长期的观测，对某些

3、电子元件的寿命可作经过长期的观测，对某些电子元件的寿命可作如下假定：在已使用了如下假定：在已使用了t 小时的条件下，在以后的小时的条件下，在以后的 t小时内损坏的概率为小时内损坏的概率为 t+o( t) ，其中，其中 是不依赖于是不依赖于t的常数；电子元件寿命为零的概率是零，求电子元的常数；电子元件寿命为零的概率是零，求电子元件在件在T内损坏的概率。内损坏的概率。 解：解：设电子元件的寿命为设电子元件的寿命为X, 其分布函数为其分布函数为F(x). 依题意，要求依题意，要求F(T)=P(X T). 由题中假定，知由题中假定，知 0)0()0(XPF)()|(tottXttXtP经过长期的观测，

4、对某些电子元件的寿命可作如下假定：在经过长期的观测，对某些电子元件的寿命可作如下假定：在已使用了已使用了t 小时的条件下，在以后的小时的条件下，在以后的 t小时内损坏的概率为小时内损坏的概率为 t+o( t) ，其中，其中 是不依赖于是不依赖于t 的常数；电子元件寿命为零的的常数；电子元件寿命为零的概率是零，求电子元件在概率是零，求电子元件在T内损坏的概率。内损坏的概率。 设电子元件的寿命为设电子元件的寿命为X, 其分布函数为其分布函数为F(x). )|(tXttXtP另外，由条件概率的定义，知另外，由条件概率的定义，知 )(),(tXPtXttXtP)(1)(tXPttXtP)(1)()(t

5、FtFttF)( tot)(1)()(tFtFttF)( tot从而有从而有 )(1)()()()(tFttottFttF令令 t 0, 得一阶线性微分方程得一阶线性微分方程0)0(F)(1 ()(tFtF解之，得解之，得0, 00,1)(ttetFtTeTF1)(服从指数分布的随机变量服从指数分布的随机变量X具有以下性质具有以下性质: 或称或称无后效性，即无后效性，即对于任意对于任意s, t 0, 有有)()|(tXPsXtsXP事实上事实上)(),()|(sXPsXtsXPsXtsXP)()(sXPtsXP)(1)(1sFtsF0001)(xxexFxtstseee)()()(1tXPtF

6、无记忆性无记忆性 无后效性是指数分布的特征无后效性是指数分布的特征. 如果如果 X 表示某仪表示某仪器的工作寿命器的工作寿命, 无后效性的解释是无后效性的解释是: 当仪器工作了当仪器工作了s小时后再能继续工作小时后再能继续工作 t 小时的概率等于该仪器刚开小时的概率等于该仪器刚开始就能工作始就能工作 t 小时的概率小时的概率. 说明该仪器的使用寿命不说明该仪器的使用寿命不随使用时间的增加发生变化随使用时间的增加发生变化, 或说仪器是或说仪器是“永葆青永葆青春春”的的. 一般来说一般来说, 电子元件等具备这种性质电子元件等具备这种性质,它们本身它们本身的老化是可以忽略不计的的老化是可以忽略不计的

7、, 造成损坏的原因是意外造成损坏的原因是意外的高电压等等的高电压等等.)()|(tXPsXtsXP N tPt 例例3 3 设时间设时间(0, t内有内有N(t) 粒子放射出来粒子放射出来, ,且且 设设 X 为第一个粒子发射出来的时刻，则为第一个粒子发射出来的时刻，则 0XtN t 000!tttP XtP N tee 所以所以 ( )() 11tF tP XtP Xte 从而从而 即即 XE( ) . . 3. 正态分布正态分布 若若r.v X 的的概率密度为概率密度为),(2NXxexfx,)()(22221 其中其中 ， 均为常数，且均为常数，且 0，则称，则称X服从参服从参数为数为

8、， 的正态分布的正态分布. 记作记作 X 的分布函数为的分布函数为 dtexFtx222)(21)(4. 正态分布正态分布),(2Na. . 正态分布的密度曲线是一条关于正态分布的密度曲线是一条关于 对对称的钟形曲线称的钟形曲线. .特点是特点是“两头小，中间大，左右对称两头小，中间大，左右对称”. .f (+ +c)=f (- -c)密度函数图形的特点密度函数图形的特点b. b. 决定了图形的位置。决定了图形的位置。 正态分布正态分布),(2N的密度函数图形特点的密度函数图形特点c. c. 在在x=处达到最大值处达到最大值: :xexfx,)()(22221 21)(f 决定了图形中峰的陡峭

9、程度决定了图形中峰的陡峭程度. .d. d. 这说明曲线这说明曲线 f(x)向左右伸展时，越来向左右伸展时，越来越贴近越贴近x轴。即轴。即f (x)以以x轴为渐近线。轴为渐近线。 xexfx,)()(22221 当当x 时，时，f(x) 0, ,e.e.xexfx,)()(22221 为为f (x)的两个拐点的横坐标。的两个拐点的横坐标。x = 年降雨量、同龄人身高、在正常条件下年降雨量、同龄人身高、在正常条件下各种产品的质量指标各种产品的质量指标如零件的尺寸；纤如零件的尺寸；纤维的强度和张力、农作物的产量，小麦的穗维的强度和张力、农作物的产量，小麦的穗长、株高、测量误差、射击目标的水平或垂长

10、、株高、测量误差、射击目标的水平或垂直偏差、信号噪声等等，都服从或近似服从直偏差、信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布正态分布. . 设设X ,),(2NX的分布函数是的分布函数是xdtexFxt,)()(22221 5. 5. 正态分布的分布函数正态分布的分布函数dtexxt2221)(6. 6. 标准正态分布标准正态分布1, 0的正态分布称为标准正态分布的正态分布称为标准正态分布. .xexx,21)(22其密度函数和分布函数常用其密度函数和分布函数常用 和和 表示：表示：)(x)(x)(x )(x 注意：注意：(0)=0.5 ( x)=1 (x) xxdtexxt2221)(若若 XN

11、(0, 1)，对任意的实数，对任意的实数x1, x2 (x1 x2)，有，有)()()(1221xxxXxP人们已编制了人们已编制了 (x)的函数表，可供查用。的函数表，可供查用。),()(11xxXP)(1) (11xxXP 7. . 正态分布的计算正态分布的计算 )(x对任意的实数对任意的实数x1， x2 (x1 x2)，有，有)()()(111xxFxXP)(1)(1) (111xxFxXP)()()()() (121221xxxFxFxXxPduedtexFuxtx22)(2222121)(例例4 设设 X N( , 2), 求求 P( |X- | k )的值的值, k=1, 2, 3