角动量定理与万有引力.

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1、第第6-7章章 角动量定理与万有引力角动量定理与万有引力 另一个守恒量角动量万有引力定律一、孤立体系的角动量守恒一、孤立体系的角动量守恒 第4章我们介绍了与平动相联系的守恒量动量，对于转动我们希望能找到这样一个物理量角动量，它具备以下的条件：1. 若质点关于空间某一点作平动，它取值为零，它取非零值表示质点关于该空间点作转动； 2. 对于孤立体系，它保持守恒。 下面我们在孤立体系中寻找这样的物理量。 单质点孤立体系和掠面速度单质点孤立体系和掠面速度 单质点的孤立体系就是不受外力作用的自由质点，它作匀速直线运动（我们取惯性参考系，且静止看成是匀速直线运动的特例）。 如图，设该质点位于P点，沿直线

2、AB 从 A 向 B 方向运动，在相等的时间间隔 t的位移是 s = vt。 由于 OP 的方向（即 r 的方向）在不断改变，故 P 点相对于 O 点有转动。单质点孤立体系和掠面速度单质点孤立体系和掠面速度 由图可见，各时间间隔 t 内矢径 r 扫过的那些小三角形具有公共的高线 OH，因而有相等的面积，于是我们找到的守恒量是：矢径 r 在单位时间内扫过的面积 S，我们称 该面积 S 为质点 P 的掠面速度。设矢径 r 与 AB 线的夹角为，故对单质点的孤立体系有： 常量sin21sin21rvtsrS 该式也可以换一种表达法，即掠面速度对时间的微商为零： 0dtdS 单质点孤立体系和掠面速度单

3、质点孤立体系和掠面速度 当然，上面所考虑的只是平面运动的情况，对于单个的自由质点，它只可能在某个平面上运动。但是我们接下来要考虑多个质点，仅考虑某一个平面就不行了，我们可以利用矢量运算法则，将掠面速度定义为与该平面垂直的矢量。即： vrS21 这样，对于单质点的孤立体系，我们找到的守恒量是掠面速度矢量 S。当然，它与参考点的选择有关，若参考点选在直线 AB 上，则掠面速度为零。 两个质点的孤立体系和角动量两个质点的孤立体系和角动量 对于两个质点的孤立体系，它们虽然不受外力作用，但两个质点之间是有作用力的。我们现在来寻找守恒量，首先我们能想到的是它们每个质点掠面速度的和。为此，在空间建立惯性参考

4、系，如图，两个质点的质量分别为 m1, m2，其位矢和速度分别为 r1, r2 和 v1, v2 。设其掠面速度分别为 S1, S2 ，有： 11121vrS22221vrS两个质点的孤立体系和角动量两个质点的孤立体系和角动量 而掠面速度对时间的微商为： dtddtddtdiiiiivrvrS2121dtdiiiivrvv2121dtdiivr 21其中 i =1, 2。为了对上式中的 i 求和，我们列出质点运动的牛顿方程： ffv12dtdm11ffv2122dtdmfrvrS111112121mdtddtdfrvrS222222121mdtddtd021dtddtdSS因 m1, m2 可

5、以为任意值，故 两个质点的孤立体系和角动量两个质点的孤立体系和角动量 但从前几式可看出： 0)()22(212211frrSSmmdtd其中利用了牛顿第三定律：f 的方向沿两质点 m1, m2 的连线，即 f / (r1r2 )。于是我们找到了守恒量： 221122SSLmm常矢量222111vrvrmm 两个质点的孤立体系和角动量两个质点的孤立体系和角动量 称为单个质点对于原点的角动量或动量矩； 定义： prvrlmiiiiiiiiimprvrlL称为体系对于原点的角动量或动量矩。 由上述的推导可知：两个质点孤立体系的角动量守恒。 对于多质点孤立体系同样可以得出角动量守恒的结论，我们在下面介

6、绍。 说明：说明： 1. 角动量是矢量，单个质点的角动量是 r 和 p 的矢积，因而既垂直于 r，又垂直于 p，即垂直于 r 和 p 所确定的平面，其指向由右手定则决定。 2. 角动量的单位是千克米2 /秒，量纲为 ML2T -1 二、质点系角动量定理二、质点系角动量定理质点角动量定理质点角动量定理 我们知道，质点动量的变化等于外力的冲量。质点的角动量如何随外力变化呢？这可以从牛顿运动定律得到。在惯性参考系中考虑一个受力为 F 的质点，设其矢径为 r，动量为 p，角动量为 l，有： prvrlpFmdtd ,角动量对时间的变化率为： )(prldtddtddtddtdprprFrpvFr定义：

7、M = rF 称为力 F 对于原点的力矩。 质点角动量定理质点角动量定理于是上式又可写为： Mldtd即质点对任一固定点的角动量的时间变化率等于外力对该点的力矩。这就是质点角动量定理的微分形式。对上式积分，得： 0 0 llMdtt力矩对时间的积分 称为冲量矩。上式表示质点角动量的增量等于外力的冲量矩，这就是质点角动量定理的积分形式。 dttM 0 不论角动量定理的微分形式还是积分形式，都可以写成分量形式。 质点系角动量定理质点系角动量定理 令： nnMMMMlllL2121 ,则 L 为体系的总角动量，M 为体系所受的总外力矩。 可以证明MLdtd设体系有n个质点，质点系角动量定理质点系角动

8、量定理 MLdtd即质点系对给定点的角动量的时间变化率等于作用在体系上所有外力对该点力矩之和。这就是体系角动量定理的微分形式。 对上式积分，可得体系角动量定理的积分形式： 0 0 LLMdtt 体系角动量定理指出：只有外力矩才对体系的角动量变化有贡献。内力矩对体系的角动量变化无贡献，但对角动量在体系内的分配是有作用的。 角动量守恒定律：当外力对给定点的总外力矩之和为零时，体系的角动量守恒。 说明：说明： 角动量守恒定律是一个独立的规律，并不包含在动量守恒定律或能量守恒定律中。 角动量守恒定律是矢量式，它有三个分量，各分量可以分别守恒。 (1) 当 Mx = 0，则 Lx = 常量； (2) 当

9、 My = 0，则 Ly = 常量； (3) 当 Mz = 0，则 Lz = 常量； 三、质心系的角动量定理三、质心系的角动量定理 质心系的角动量定理质心系的角动量定理 由于角动量定理的推导过程中应用了牛顿定律，所以角动量定理在惯性系中才成立。当在质心系中考虑体系相对质心的角动量随时间的变化时，质心是固定点。如果质心系是惯性系，角动量定理当然适用。如果质心系是非惯性系，只要加上惯性力，牛顿定律仍然成立。因此只要加上惯性力的力矩，角动量守恒定理也仍然成立。 质心系的角动量定理质心系的角动量定理 设 LC 为质心系中体系对质心的角动量，MC为外力对质心的力矩， MC惯 为惯性力对质心的力矩。则有：