《应用微积分》62定积分的计算

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1、主讲教师： 第 6 章 定积分及其应用定积分的概念与性质定积分的概念与性质定积分的计算定积分的计算定积分的应用定积分的应用定积分定积分的分部积分法的分部积分法变限函数及其导数变限函数及其导数1微积分基本公式微积分基本公式 2定积分的换元积分法定积分的换元积分法34定积分常用结论汇总定积分常用结论汇总5是是 的一个函数，称为积分上限函数或变上限积分，的一个函数，称为积分上限函数或变上限积分，)(tf,ba,bax )(tf xadttf)(x bxadttfxxa ,)()(在闭区间在闭区间上连续，上连续，则则在部分区间在部分区间上的定积分上的定积分设函数设函数记作记作)(x 即即函数的表示方法

2、拓广了，可用变上限积分表达函数。函数的表示方法拓广了，可用变上限积分表达函数。,xa定义定义6.2【注注】 xtdtex0)().1( ),0( 0)0(00 dtet已知已知，求，求edtet11)1( 10 例例6.66.6解解)(tf,ba,bax 若函数若函数在区间在区间上连续，上连续，则变上限积分则变上限积分 xadttfx)()()(tf)(xf在区间在区间且它的导数等于被积函数且它的导数等于被积函数在上限处的函数值在上限处的函数值即即,ba) )()()(bxaxfdttfxxa （，上可导上可导 ,并并 定理 6.1给自变量给自变量x以增量以增量 ，)()(lim0 xfxxx

3、 x 按导数定义，只须证按导数定义，只须证,baxx )(x )(x , ,由由 的定的定义得对应的函数义得对应的函数的增量的增量即即 xaxxadttfdttfxxxx xxxxaxxxxadttfdttfdttfdttf根据积分中值定理知道根据积分中值定理知道在在 与与xx x之间至少存在之间至少存在 ，使，使 xfdttfxxxx 成立。成立。 即可。即可。)(x 证证一点一点)(tf,ba0 x)()(,xffx xffxxxxx limlim0 xfdttfxa 又因为又因为在区间在区间上连续，所以，当上连续，所以，当时时, , 有有，从而有，从而有故故该公式有时也被称为微积分第一基

4、本公式。该公式有时也被称为微积分第一基本公式。)(tf （原函数存在定理）如果函数（原函数存在定理）如果函数,ba,bax xadttfx)()(在区间在区间上连续，上连续，则函数，则函数)(xf,ba就是就是在区间在区间上的一个原函数。上的一个原函数。（1 1）肯定了连续函数的原函数是存在的）肯定了连续函数的原函数是存在的. .（2 2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系. .定理的重要意义：定理的重要意义： 定理 6.2 xttdtex0sin)(2).(x xetdtexxxtsinsin)(220 已知已知，求，求根据定理可得根据

5、定理可得)(tf,ba,bax )(tf,bx,)( bxdttf)()()(xfdttfdttfxbbx 如果函数如果函数在闭区间在闭区间上连续，上连续，则，则在部分区间在部分区间上的定积分上的定积分分下限函数或变下限积分，且分下限函数或变下限积分，且称为积称为积例例6.76.7解解)(tf)(),(),(xgxbxa)()( )()(xbfxbdttfxba )()( )()(xafxadttfbxa )()( )()( )()()(xafxaxbfxbdttfxbxa 若若连续，连续，公式可以推广为公式可以推广为（2 2）（3 3）可导，变限函数的求导可导，变限函数的求导（1 1）求导得

6、求导得x0cos xyeyyexycos 0cos00 xyttdtdte)(xyy 求由方程求由方程 所确定的函数所确定的函数的导数。的导数。故故 所给方程两边对所给方程两边对 321xxtdtxF .xF xxxxtdtxFxx211311122332 已知已知，求，求 根据式根据式(3)(3)可得可得例例6.86.8解解例例6.96.9解解极限是极限是 求极限求极限 .tanlim300 xtdttxx 0 x0, 0tan30 xtdttx分析：分析：注意到注意到时，时，所以这个所以这个00型不定式，含有型不定式，含有 变限函数的变限函数的00 型不定式通常使用罗必达法则求极限。型不定

7、式通常使用罗必达法则求极限。 300tanlimxtdttxx 313tanlim)()tan(lim20300 xxxxtdttxxx例例6.106.10解解 121lnlnttuduuyuduuxdxdydxdydtdxdtdyttttlnln2 t 设设 ，求，求。= = = = xdttx0)1( 1 xx 0 x, 1 x 求函数求函数的极值。的极值。，令，令解得解得 因为因为 , 1 x, 01)1( 所以函数在所以函数在1 x极小值，极小值， 为为 10)1(1dtt21 处取得处取得例例6.116.11解解例例6.126.12解解 xadttfx)()()()(xfx 积分上限

8、函数的导数积分上限函数的导数2 2 积分上限函数的定义积分上限函数的定义3 3 1 1问问 题题的函数的函数都是都是)()(xfdttfdxdxa )()(xfduufdxdbx dttfxa )(duufbx )(x与与解解 答答习题答案：习题答案： 如果函数如果函数)()()(aFbFdxxfba )(xf,ba)(xF在区间在区间上连续，上连续，是是)(xf,ba在区间在区间上任一原函数，那么上任一原函数，那么 xadttfx)()()(xf 由定理由定理6.26.2知道，知道，是是在在,ba上的一个原函数，又由题设知，上的一个原函数，又由题设知，)(xF也是也是)(xf,ba在区间在区

9、间上的一个原函数，上的一个原函数，由原函数的性由原函数的性 质知同一函数的两个不同原函数相差一个常数质知同一函数的两个不同原函数相差一个常数 定理 6.3证证 bxaCdttfxFxa ,)()(把把ax 代入代入上上式中，式中， 0)()( aadttfa因为因为, ,定出常数定出常数)(aFC ，于是得，于是得 )()()(aFdttfxFxa 令令代入代入上上式中，移项，得式中，移项，得再把积分变量再把积分变量 t 换成换成 x，得，得 微积分基本公式微积分基本公式牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式即即 bx ).()()(aFbFdxtfba ).()()(aFbFdxxfba （6.2

10、6.2）（6.16.1）这样这样(6.1)(6.1)式就可写成如下形式：式就可写成如下形式：)()(aFbF baxF)()()()()(aFbFxFdxxfbaba 1 1）为了书写方便，）为了书写方便，可记作可记作或或baxF)(2 2）该公式充分表达了定积分与原函数之间的内在联）该公式充分表达了定积分与原函数之间的内在联系，它把定积分的计算问题转化为求原函数问题，从系，它把定积分的计算问题转化为求原函数问题，从而给定积分的计算提供了一个简便而有效的方法。而给定积分的计算提供了一个简便而有效的方法。.11312 dxx211x 3, 1 xarctan211x 31312arctan11

11、xdxx 计算计算 被积函数被积函数在在上连续，上连续，是是由牛顿由牛顿莱布尼兹公式，得莱布尼兹公式，得的一个原函数，的一个原函数，127)1arctan(3arctan 例例6.136.13解解.10 dxxx23xxx 1 , 02552xxx 10dxxx 计算计算 被积函数被积函数在在上连续，上连续，是是由牛顿由牛顿莱布尼兹公式，得莱布尼兹公式，得的一个原函数，的一个原函数，52521025 x例例6.146.14解解.)1(21 dxeexx 21)1(dxeexxeexx 2121ln 计算计算 把定积分利用性质把定积分利用性质6.16.1分成三项之和，然后分成三项之和，然后 每一