第四章 应力和强度.

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1、 1. 应力与强度的概念应力与强度的概念 2. 弯曲时的正应力弯曲时的正应力 3. 截面的几何特征截面的几何特征 4.梁的正应力强度梁的正应力强度 5.梁的剪应力强度梁的剪应力强度4-1 4-1 应力和强度的概念应力和强度的概念一、应力的概念一、应力的概念问题提出：问题提出：PPPP1. 内力大小不能衡量构件强度的大小。2. 强度：内力在截面分布集度应力； 材料承受荷载的能力。1. 定义：定义：由外力引起的内力。 工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集度最大处开始。 P AM平均应力：平均应力：应力：应力：APpMAPAPpAd

2、dlim02. 应力的表示：应力的表示：应力分解为：应力分解为：p M ANANAddlim0AVAVAddlim0垂直于截面的应力称为垂直于截面的应力称为“正应力正应力” ( (Normal Stress) )；位于截面内的应力称为位于截面内的应力称为“剪应力剪应力”( (Shearing Stress) )。 应力的单位：应力的单位：2N/m即即 帕斯卡帕斯卡 Pa1GPa =103MPa =109Pa1MPa =106Pa变形前1. 变形规律试验及平面假设：变形规律试验及平面假设：平面假设：平面假设：纵向纤维变形相同，原为平面的横截面在变形后仍为平面。受载后PP d ac b二、拉（压）

3、杆横截面上的应力二、拉（压）杆横截面上的应力均匀材料、均匀变形，内力当然均匀分布。2. 拉伸应力：拉伸应力：NPAN 轴力引起的正应力 ： 在横截面上均布。abcd横截面三、三、 强度设计准则（强度设计准则（强度条件）：）： max其中：-许用正应力， max-危险点的最大工作正应力 -许用剪应力， max-危险点的最大工作剪应力。 保证构件不发生强度破坏并有一定安全余量的条件准则。 max4-2 4-2 弯曲时的正应力弯曲时的正应力 纯弯曲纯弯曲:梁的横梁的横截面上只有弯截面上只有弯矩，而没有剪矩，而没有剪力作用。横截力作用。横截面上只分部正面上只分部正应力。应力。 剪力弯曲剪力弯曲:粱的横

4、截面上既有弯矩，粱的横截面上既有弯矩，又有剪力作用。横截面上同时分布正又有剪力作用。横截面上同时分布正应力和切应力。应力和切应力。变形的几何关系变形的几何关系应力与应变间物理关系应力与应变间物理关系静力平衡条件静力平衡条件正应力计算公式正应力计算公式导出导出纯弯曲时梁的正应力推导纯弯曲时梁的正应力推导纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力梁横截面上的变形梁横截面上的变形 变形几何关系变形几何关系 要找出梁横截面要找出梁横截面上正应力变化规律，上正应力变化规律，须先找出纵向线应变须先找出纵向线应变在该截面上的变化规在该截面上的变化规律律. 平行于梁轴线的平行于梁轴线的纵向线纵向线aaaa和和bbbb代

5、表纵代表纵向纤维；垂直于轴线向纤维；垂直于轴线的的mmmm和和nnnn代表横截面代表横截面4-2 4-2 弯曲时的正应力弯曲时的正应力(c)(d)(e)zm中性层O中性层yxmmnbabamnmmmmmnaaydxdOOO12x 梁横截面上的变形梁横截面上的变形规律：规律：（2）在变形前，与梁轴在变形前，与梁轴线垂直的横向直线线垂直的横向直线m-m和和n-n变形后仍保持变形后仍保持为直线，相互倾斜了为直线，相互倾斜了一个角度，但仍与弯一个角度，但仍与弯曲后的梁轴线保持垂曲后的梁轴线保持垂直。直。 （1）纵向线纵向线a-a和和b-b，由变形前的直线变成由变形前的直线变成了平行的圆弧线，凹了平行的

6、圆弧线，凹边的纵向线缩短，凸边的纵向线缩短，凸边纵向线伸长。边纵向线伸长。梁内既不伸长也不缩梁内既不伸长也不缩短的纵向纤维层。短的纵向纤维层。中性层与各横中性层与各横截面的交线截面的交线,垂直于横截面的垂直于横截面的对称轴对称轴y。由观察变形而得的假设由观察变形而得的假设:平截面假设平截面假设: 横截面变形后仍保持平面横截面变形后仍保持平面,且仍垂直于且仍垂直于变形后梁轴线变形后梁轴线,只绕横截面内某轴只绕横截面内某轴(中性轴中性轴)转一角度转一角度单向单向(纵向纵向)受力假设受力假设: 变形后各纤维之间互不挤压变形后各纤维之间互不挤压,只受拉伸或压缩作用只受拉伸或压缩作用.4-2 4-2 弯

7、曲时的正应力弯曲时的正应力纵向纤维线应变变化规律纵向纤维线应变变化规律:变形前：变形前：变形后变形后: 伸长伸长变形的几何关系变形的几何关系4-2 4-2 弯曲时的正应力弯曲时的正应力dxooab21dyab)( ddxoo21ydddydxabS)(ydyddxS 物理方面物理方面(弹性弹性)n静力平衡关系静力平衡关系 (合力矩定理、合力定理合力矩定理、合力定理)4-2 4-2 弯曲时的正应力弯曲时的正应力EyE AdAN0AdAzyM0AMdAyzM推论推论1 : 中性轴必通过截面形心中性轴必通过截面形心推论推论2 : z 轴为主惯性轴轴为主惯性轴M 横截面上的弯矩横截面上的弯矩y 所计算

8、点到中性轴的距离所计算点到中性轴的距离Iz 截面对中性轴的惯性矩截面对中性轴的惯性矩正应力计算公式正应力计算公式4-2 4-2 弯曲时的正应力弯曲时的正应力zIyMM 横截面上的弯矩横截面上的弯矩y 所计算点到中性轴的距离所计算点到中性轴的距离Iz 截面对中性轴的惯性矩截面对中性轴的惯性矩应力正负号确定应力正负号确定 M为正时为正时,中性轴上部截面受压下部截面受拉中性轴上部截面受压下部截面受拉; M为负时为负时,中性轴上部截面受拉下部截面受压中性轴上部截面受拉下部截面受压. 在拉区在拉区 为正为正,压区压区 为负为负4-2 4-2 弯曲时的正应力弯曲时的正应力zIyM梁横截面上正应力的最大值：

9、梁横截面上正应力的最大值：永远出现在梁截面的上、下边缘处永远出现在梁截面的上、下边缘处 抗弯截面模量抗弯截面模量(截截面抵抗矩面抵抗矩)zctIMymaxmaxmaxmaxmaxyIWzz令则则zctWMmaxmaxmax4-2 4-2 弯曲时的正应力弯曲时的正应力正应力公式的使用条件及推广正应力公式的使用条件及推广 正应力公式只能用于发生平面弯曲的梁正应力公式只能用于发生平面弯曲的梁; 材料处于线弹性范围内材料处于线弹性范围内; 对于具有一个纵向对称面的梁均适用对于具有一个纵向对称面的梁均适用; 可推广应用于横力弯曲时梁的正应力计算可推广应用于横力弯曲时梁的正应力计算.4-2 4-2 弯曲时

10、的正应力弯曲时的正应力zIM(x)yx 当当L/h5L/h5时，时，横截面上的剪力对正应力分布横截面上的剪力对正应力分布和最大值的影响一般在和最大值的影响一般在5 5以内，因此横力弯曲时横以内，因此横力弯曲时横截面上的正应力截面上的正应力 采用下式采用下式4-2 4-2 弯曲时的正应力弯曲时的正应力 示例：示例：矩形截面悬臂梁受均布荷载矩形截面悬臂梁受均布荷载q=2kN/m, b=120mm,h=180mm,L=2m.求求C截面截面a、b、c正应力正应力1.C截面上弯矩截面上弯矩MC=-qL/2 L/4=-qL2/8=-1kNm2.矩形截面惯性矩矩形截面惯性矩Iz=bh3/12=0.58310

11、-4 m43.分别求分别求a、b、c三点正应力三点正应力 a=MCya/Iz=1MPa(拉拉) b=MCyb/Iz=0, c=MCyc/Iz=1.5MPa(压压)4-2 4-2 弯曲时的正应力弯曲时的正应力最大正应力最大正应力危险截面危险截面: 最大弯矩所在截面最大弯矩所在截面 Mmax危险点：距中性轴最远边缘点危险点：距中性轴最远边缘点 ymax令令Iz /ymax=Wz ,则则 max=Mmax/WzWz 抗弯截面模量抗弯截面模量矩形截面矩形截面:Wz=bh2/6, Wy=hb2/6圆形截面圆形截面:Wz= Wy= D3/32正方形截面正方形截面:Wz= Wy= a3/64-2 4-2 弯