第6章分支限界法

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1、1第六章第六章 分支限界法分支限界法本章主要知识点：本章主要知识点： 6.1 分支限界法的基本思想 6.2 单源最短路径问题 6.3 装载问题 6.4 01背包问题 6.5 旅行售货员问题26.1 分支限界法的基本思想分支限界法的基本思想1. 分支限界法与回溯法的不同（1）适合求解的问题不同适合求解的问题不同：回溯法适于找出解空间树中满足约束条件的所有解，而分支限界法适于找出满足约束条件的一个解，或是在满足约束条件的解中找出在某种意义下的最优解。 （2）搜索方式不同搜索方式不同：回溯法以深度优先的方式搜索解空间树，而分支限界法则以广度优先或以最小耗费优先的方式搜索解空间树。 36.1 分支限界

2、法的基本思想分支限界法的基本思想 2. 2. 分支限界法常以分支限界法常以广度优先广度优先或以或以最小耗费（最最小耗费（最大效益）优先大效益）优先的方式搜索问题的解空间树。的方式搜索问题的解空间树。 在分支限界法中，每一个活结点只有一次机会成为每一个活结点只有一次机会成为扩展结点扩展结点。活结点一旦成为扩展结点，就一次性产生其所有儿子结点。 在这些儿子结点中，导致不可行解或导致非最优解的儿子结点被舍弃，其余儿子结点被加入活结点表中。 依次从活结点表中取下一结点成为当前扩展结点，并重复上述结点扩展过程。直至找到所需的解或活结点表为空时为止。 46.1 分支限界法的基本思想分支限界法的基本思想3.

3、 常见的两种分支限界法（1 1）队列式队列式( (FIFO)FIFO)分支限界法分支限界法 按照队列先进先出（FIFO）原则选取下一个节点为扩展节点。 （2 2）优先队列式分支限界法）优先队列式分支限界法 按照优先队列中规定的优先级选取优先级最高的节点成为当前扩展节点。56.2 单源最短路径问题单源最短路径问题1. 问题描述在有向图在有向图G G中，每一边都有一个非负边权。中，每一边都有一个非负边权。求：图求：图G G的从源顶点的从源顶点s s到目标顶点到目标顶点t t之间的最短路径。之间的最短路径。 66.2 单源最短路径问题单源最短路径问题优先队列式分支限界法求解优先队列式分支限界法求解解

4、空间树解空间树（每一个结点旁的数字表示该结点所对应的当前路长（下界）（每一个结点旁的数字表示该结点所对应的当前路长（下界）优先级是结点所对应的当前路长76.2 单源最短路径问题单源最短路径问题2. 算法思想 解单源最短路径问题的优先队列式分支限界法用一极小堆来存储活结点表。其优先级是结点所对应的当前路长。 算法从图G的源顶点s和空优先队列开始。结点s被扩展后，它的儿子结点被依次插入堆中。此后，算法从堆中取出具有最小当前路长的结点作为当前扩展结点，并依次检查与当前扩展结点相邻的所有顶点。如果从当前扩展结点i到顶点j有边可达，且从源出发，途经顶点i再到顶点j的所相应的路径的长度小于当前最优路径长度

5、，则将该顶点作为活结点插入到活结点优先队列中。这个结点的扩展过程一直继续到活结点优先队列为空时为止。86.2 单源最短路径问题单源最短路径问题3. 剪枝策略 在算法扩展结点的过程中，一旦发现一个结点的下界不小于当前找到的最短路长，则算法剪去以该结点为根的子树。 在算法中，利用结点间的控制关系进行剪枝。从源顶点s出发，2条不同路径到达图G的同一顶点。由于两条路径的路长不同，因此可以将路长长的路径所对应的树中的结点为根的子树剪去。 96.2 单源最短路径问题单源最短路径问题 while (队列不空) / 搜索问题的解空间 for (j 1 to n) if(aij Float.MAX_VALUE

6、& disti+aij distj) / 顶点i到顶点j可达，且满足控制约束 distj disti +aij; pj i; /p数组记录j的前一个结点 heap.put(j); / 结点j加入活结点优先队列 if (heap.isEmpty() break; else heap.removeMin(); /取出队列中首结点做为当前扩展结点 顶点顶点i i和和j j间有边，且此间有边，且此路径长小于原先从原点路径长小于原先从原点到到j j的路径长的路径长 106.3 装载问题装载问题1. 问题描述有一批共n个集装箱要装上2艘载重量分别为C1和C2的轮船，其中集装箱i的重量为Wi，且211ccw

7、nii装载问题要求确定是否有一个合理的装载方案可将这个集装箱装上这2艘轮船。如果有，找出一种装载方案。 容易证明：如果一个给定装载问题有解，则采用下面的策略可得到最优装载方案。 (1)首先将第一艘轮船尽可能装满；(2)将剩余的集装箱装上第二艘轮船。 116.3 装载问题装载问题2. 队列式分支限界法 在算法的while循环中，首先检测当前扩展结点的左儿子结点是否为可行结点。如果是则将其加入到活结点队列中。然后将其右儿子结点加入到活结点队列中(右儿子结点一定是可行结点)。2个儿子结点都产生后，当前扩展结点被舍弃。 活结点队列中的队首元素被取出作为当前扩展结点，队列中每一层结点之后都加一个尾部标记

8、-1，故在取队首元素时，活结点队列一定不空。当取出的元素是-1时，再判断当前队列是否为空。如果队列非空，则将尾部标记-1加入活结点队列，算法开始处理下一层的活结点。126.3 装载问题装载问题w 2. 队列式分支限界法while (队列不空队列不空) if (ew + wi = c) /ew存储当前扩展结点相应的重量存储当前扩展结点相应的重量 enQueue(ew + wi, i); / 检查左儿子结点检查左儿子结点 xi=1 xi=1 加入队列加入队列 enQueue(ew, i); /右儿子结点总是可行的右儿子结点总是可行的xi=0 xi=0 ew queue.remove(); / 取下

9、一扩展结点取下一扩展结点 if (ew = -1) if (queue.isEmpty() return bestw; queue.put( -1); / 同层结点尾部标志同层结点尾部标志 ew queue.remove(); / 取下一扩展结点取下一扩展结点 i+; / 进入下一层进入下一层 136.3 装载问题装载问题3. 算法的改进 节点的左子树表示将此集装箱装上船，右子树表示不将此集装箱装上船。设bestw是当前最优解；ew是当前扩展结点所相应的重量；r是剩余集装箱的重量。则当ew+rbestw时，可将其右子树剪去，因为此时若要船装最多集装箱，就应该把此箱装上船。 另外，为了确保右子树

10、成功剪枝，应该在算法每一次进入左子树的时候更新bestw的值。146.3 装载问题装载问题3. 算法的改进/ 检查左儿子结点 int wt ew + wi; if (wt bestw) bestw wt; / 加入活结点队列 if (i bestw & i n) / 可能含最优解 queue.put( ew); ew queue.remove(); / 取下一扩展结点 右儿子剪枝右儿子剪枝 156.3 装载问题装载问题4. 构造最优解 为了在算法结束后能方便地构造出与最优值相应的最优解，算法必须存储相应子集树中从活结点到根结点的路径。为此目的，可在每个结点处设置指向其父结点的指针，并设置左、右