第七章 误差分布与平差参数的统计假设检验.
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1、 测 量 平 差 太原理工大学测绘科学与技术系第六章第六章 误差椭圆误差椭圆 第六章第六章 误差椭圆误差椭圆 6-1 6-1 概概 论论 6-2 6-2 点位误差点位误差 6-3 6-3 误差曲线误差曲线 6-4 6-4 误差椭圆误差椭圆 6-5 6-5 相对误差椭圆相对误差椭圆 6-6 6-6 点位落入误差椭圆内的概率点位落入误差椭圆内的概率 6-1 6-1 概概 论论 为了确定待定点的平面直角坐标，通常由已知点与待定点构成平面控制网，并对构成控制网的元素（角度、边长等）进行一系列观测，进而通过已知点的平面直角坐标和观测值，用一定的数学方法（平差方法）求出待定点的平面直角坐标。 由于观测条件
2、的存在，观测值总是带有观测误差，因而根据观测值通过平差计算所获得的待定点的平面直角坐标，并不是真正的坐标值，而是待定点的真坐标值 的估值 ( )PPyx,PPyx,点位真误差点位真误差 在图6-1中，A为已知点，其坐标为XA，YA，假设它的坐标没有误差(或误差忽略不计)，P为待定点，其真位置的坐标为 。由 和观测值求定的 所确定的点 P平面位置并不是点的真位置，而是最或然点位，记为P，在p和p对应的这两对坐标之间存在着坐标真误差 和 。 PPyx,AAyx ,PPyx 、xy点位真误差概念点位真误差概念 由 和观测值求定的 所确定的点平面位置并不是点的真位置，而是最或然点位，记为 ，在 和 对
3、应的这两对坐标之间存在着坐标真误差 和 。由图6-1知 由于 和 的存在而产生的距离 称为 点的点位真误差，简称真位差。 由图6-1知 AAyx ,PPyx 、PPPxyPPyPPxyyxxxyPP222yxP点位真误差的随机性点位真误差的随机性 点 的最或然坐标 和 是由一组带有观测误差的观测值通过平差所求得的结果，因此，它们是观测值的函数。设 和 与观测值向量之间的线性函数关系为 设有两组不同的观测值向量 、 ，分别代入上式可得和PPx Py Px Py 00LyyLxxAPAP1L2L010111LyyLxxAPAP020222LyyLxxAPAP点位真误差的随机性点位真误差的随机性 对
4、于同一控制网而言，如果观测量相同（如同样的角度、边长等），采取同样的平差方法，则式中 的是不变量，但观测值向量 、 不会相等，因此 、 。可见，随着观测值的不同， 和 也将取得不同的数值。但P点的真坐标 和 是唯一的，由上式知，就会出现不同的 和 值以及 ，所以说点位真误差随观测值不同而变化，即点位真误差具有随机性。 00、1L2L21PPxx21PPyyPx Py PxPyxyP点位方差定义点位方差定义 对 和 取数学期望，得当观测值向量中只含有随机误差（偶然误差）时，有 ， 所以 根据方差的定义，则有Px Py )()()()(00LEyyELExxEAPAPLLE)(PAAPPAAPyL
5、yLEyyExLxLExxE)()()()(0000)()()()(22222222yPPPPxPPPPEyyEyEyEExxExExEPyPx点位方差定义点位方差定义两边取数学期望，得 上式中 是 点真位差平方的理论平均值，通常定义为 点的点位方差，并记为 ，于是有则 点的点位中误差 22222)()()(PyPxyxPEEE)(2PE PP2P222PyPxPP22PPyxP点位方差与坐标系统的无关性 如果将图6-1中的坐标系围绕原点 旋转某一角度 ，得坐标系 (见图6-2)，则 各点的坐标分别为 、 和 。 oyoxPPA、），（AAyx），（PPyx），（PPyx点位方差与坐标系统的无
6、关性 在和对应的这两对坐标之间存在着误差和，从图6-2中可以看出，这说明，虽然在坐标系中对应的真误差和与坐标系中的真误差和不同，但点真位差的大小没有发生变化，即如果再将点的真位差投影于AP 方向和垂直于 AP的方向上，则得 和 如(图6-2)，此时有同理可得 式中，称 纵向误差， 称横向误差。22222yxyxP222PyPxP222uSP222uSP2S2u2u2S点位方差与坐标系统的无关性点位方差与坐标系统的无关性 v通过纵、横向误差来求定点位误差，也是测量工作中一种常用的方法。v上述的 和 分别为点在纵横坐标和方向上的中误差，或称X为Y和方向上的位差。同样， 和 是点在 边的纵向和横向上
7、的位差。v从上面的分析可以看出，点位方差总是等于两个相互垂直的方向上的坐标方差之和，即点位方差的大小与坐标系的选择无关。v点位中误差是衡量待定点精度的常用指标之一，在应用时，只要求出点在两个相互垂直方向上的中误差。就可计算点位中误差。 APxysu点位方差（中误差）的局限性 点位中误差可以用来评定待定点的点位精度，但是它只是表示点位的“平均精度”，却不能代表该点在某一任意方向上的位差大小。而 和 或 和 等等，也只能代表待定点在 和 轴方向上以及在 边的纵向、横向上的位差。但在有些情况下，往往需要研究点位在某些特殊方向上的位差大小。 xysuxyAP点位方差（中误差）的局限性例如，在线路工程中
8、和各种地下工程中，贯通工程是经常性的重要的工作之一，此种工程中就需要控制在贯通点上的纵向和横向（在贯通工程中称为重要方向）误差的大小，特别是横向误差。此外有时还要了解点位在哪一个方向上的位差最大，在哪一个方向上的位差最小。为了便于求定待定点点位在任意方向上位差的大小，需要建立相应的数学模型（公式）来计算任意方向上的位差。直观形象的表达任意方向上位差的大小和分布情况，一般是通过绘制待定点的点位误差椭圆图形来实现的，通过误差椭圆图形也可以图解待定点在任意方向上的位差。6-2 6-2 点位误差点位误差 一、点位误差的计算一、点位误差的计算 二、任意方向上的位差二、任意方向上的位差 三、位差的极大值和
9、极小值三、位差的极大值和极小值 四、以位差的极大值和极小值表示任意方四、以位差的极大值和极小值表示任意方向上的位差向上的位差 点位误差的计算点位误差的计算1.1.利用纵、横坐标协因数计算点位误差利用纵、横坐标协因数计算点位误差待定点的纵、横坐标的方差是按下式计算的： 可求得点位中误差 可以看出，若想求得点位中误差，一个是方差因子（或中误差）；另一个就是点的坐标未知数和的协因数和。yyyyxxxxQpQp202022020211yxyyxxPPPQQ1100点位误差的计算点位误差的计算2 2 的计算问题的计算问题（1）间接平差法计算当控制网中有个待定点，并以这个待定点的坐标作为未知数，按间接平差
10、法进行平差时，法方程系数阵的逆阵就是未知数的协因数阵，即 yyxxQQ,kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkTXXyyQxyQyyQxyQyyQxyQyxQxxQyxQxxQyxQxxQyyQxyQyyQxyQyyQxyQyxQxxQyxQxxQyxQxxQyyQxyQyyQxyQyyQxyQyxQxxQyxQxxQyxQxxQPBBNQbb22112211222222121222222212121121211111112121111111)(点位误差的计算点位误差的计算其中 主对角线元素就是待定点坐标和的协因数（或称权倒数），非对角线元素则是它们的相关协因数（或称相关权倒数），在
11、相应协因数（权倒数）连线的两侧，它们位于主对角线元素连线的两侧，并成对称关系。当平差问题中只有一个待定点时，即 时 计算方法参见间接平差一章。2, 1 tkyyyxxyxxTXXQQQQPBBQ1)(iyiyixixQQ,iiiiyyxxQQ,点位误差的计算点位误差的计算（2）条件平差法计算当平面控制网按条件平差时，首先求出观测值的平差值，由平差值和已知点的坐标计算待定点最或然坐标，因此说，待定点最或然坐标是观测值的平差值的函数。故欲求待定点最或然坐标的协因数（权倒数），需按照条件平差法中求平差值函数的权倒数的方法进行计算。设待定点的最或然坐标为 和 ，计算 和 使用的已知点坐标为 和 （认为
