IASK高二数学教材中有关距离问题练习.doc

IASK_高二数学教材中有关距离问题练****br/>IASK_高二数学教材中有关距离问题练****br/>IASK_高二数学教材中有关距离问题练****br/>高二数学教材中相关距离的问题练****br/>题1（第111页练****第2题)如图，已知两条异面直线所成的角为θ，在直线a、b上分别取E、F，已知A’E=m，AF=n，EF=l，求公垂线AA′的长d.
解：EFEAAAAF，
2
EF(EAAAAF)(EAAAAF)
EA
EA
EA
AA
EA
AF
AAEA
AAAA
AAAF
AF
EA
AF
AA
AF
AF.
∵AA
EA,AA
AF，
EA,AF>=π—θ（或θ），
∴l2
EA2
2
2
2EAAF
AAAF
m2
d2
n2m2mncos，
当E,F在公垂线同一侧时取负号当d等于0是即为“余弦定理”
∴dl2
m2
n2
2mncos.
变式1.已知:两条异面直线
a、b所成的角为θ，它们的公垂线
段AA1的长度为d，在直线a、b上分别取点E、F，设A1E＝m，AF＝n，求证:EF＝d2＋m2＋n2±2mncosθ(92(26))
证明:设经过b与a平行的平面为α，经过a和AA1的平面为β，α∩β＝c，则c∥a，因而b，c所成的角等于θ，且AA1⊥c，又∵AA1⊥bAA1⊥α，由两个平面垂直的性质定理有
EG⊥α.连结FG，则EG⊥FG，在Rt△EFG中，EF2＝EG2＋FG2
AG＝m，∴在△AFG中，FG2＝m2＋n2－2mncosθ
EG＝d，∴EF2＝d2＋m2＋n2－2mncosθ
如果点F(或E)在点A(或A1)的另一侧，则
EF2＝d2＋m2＋n2＋2mncosθ
因此EF＝d2＋m2＋n2±2mncosθ.
变式2:(P92练****第3题)如图,线段AB,BD在平面内,BD
AB,线段AC⊥α,且AB=a,BD=b,AC=c,求C,D间的距离.
CDa2b2c2.
变式3:(P106例2)：如图3，甲站在水库底面上的点A
处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线（库底
与水坝的交线）的距离AC和BD分别为a和b,CD的长为c,
AB的长为d。求库底与水坝所成二面角的余弦值。
解：如图，
AC
a，BD
b，CD
c，AB
d.
uuur
uuur
uuur
uuur
AB
AC
CD
DB
uuur
d2
uuur2
uuur
uuur
2
AB
(AC
CD
DB)
uuuruuur
uuuruuur
uuur2uuur2
uuur2
uuur
uuur
AB
CD
BD
2(ACCD
ACDB
CDDB)
a2
c2
b2
uuur
uuur
2ACDB
a2
c2
b2
uuur
uuur
2CADB