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考点 41 利用导数求函数的最值
1.（13 浙江 T16）设 a，bR ，若 x…0 时恒有 0 剟x4  x3  ax  b (x2 1)2 ，则 ab 等
于 .
【测量目标】利用导数求函数的极值、最值.
【考查方式】根据不等式右边为零时的自变量的值及极值的确定，将问题灵活转化求出ab .
【参考答案】  1.
【试题解析】当 x=1 时，将 1 代入不等式有 0„ a  b „ 0，所以 a  b =0（步骤 1）
当 x=0 时，可得 0„ b„ 1，结合 a  b =0 可得  1„ a„ 0. （步骤 2）
令 f (x)  x4  x3  ax  b ，即 f（1）= a  b =0 （步骤 3）
又 f (x)  4x3  3x2  a ， f (x)  12x2  6x
1
令 f (x) ＞0，可得 x＞ .
2
1 1
则 f (x)  4x3  3x2  a 在[0， ]上减，在[ ，+∞）上增 （步骤 4）
2 2
又  1„ a„ 0，所以 f (0) =a＜0， f (1)=1+a…0 （步骤 5）
又 x…0 时恒有 0 剟x4  x3  ax  b (x2 1)2
结合 f (1)= a  b =0 知，1 必为函数 f (x)  x4  x3  ax  b 的极小值点，也是最小值点
故有 f (1)=1+a=0，由此得 a=  1，b=1,故 ab  1 . （步骤 6）
2.（13 浙江 T21）已知 a R ，函数 f (x)  2x3  3(a 1)x2  6ax
（1）若 a=1，求曲线 y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）若|a|＞1，求 f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值.
【测量目标】导数的几何意义，利用导数求函数的最值.
【考查方式】1.由导函数确定切线的斜率求出切点的坐标，即可求曲线 y=f（x）在点
（2，f（2））处的切线方程；2.分类讨论，利用导数确定函数的单调性可得极值，即可得到
最值.
【试题解析】（1）当 a=1 时， f (x)  6x2 12x  6 ，所以 f (2) =6 （步骤 1）
∵f（2）=4，∴曲线 y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为 y=6x  8. （步骤 2）
（2）记 g（a）为 f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值.
f (x)