中考数学专题最短距离问题分析.doc

中考数学专题：最短距离问题分析.doc最值冋题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终， 是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问 题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论(如两点之间线段 最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等)。利用一次函数和二 次函数的性质求最值。
一、“最值”问题大都归于两类基本模型：
I、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函 数的最大或最小值
H、归于几何模型，这类模型又分为两种情况：
归于“两点之间的连线中，线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时, 大都应用这一模型。
归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大 都应用这一模型。
几何模型： 条件：如图，4、B是直线/同旁的两个定点. 问题：在直线/上确定一点P,使PA + PB的值最小.
方法：作点A关于直线/的对称点4',连结A'B交/于点P,
则PA + PB = A'B的值最小(不必证明).
模型应用：
(1)如图1,正方形ABCD的边长为2, E为AB的中点，
P是AC±一动点.连结由正方形对称性可知，
B与D关于直线AC对称.连结ED交AC于P,则
PB + PE的最小值是 ；
(2)如图2, 00的半径为2,点4、B C在上, 04 丄 OB, ZA0C = 60°, P 是 0B 上一动点， 求PA + PC的最小值；
解(1) PB + PE的最小值是DE = 45
(2) PA + PC的最小值是2巧
【典型例题分析】
点E在正方形ABCD内，在
1.如图所示，正方形ABCD的面积为12, △ABE是等边三角形,
对角线AC±有一点P,使PD + PE的和最小，则这个最小值为(
A. 2^3 B. 2a/6 C. 3 D.品
y = — — x + 2
2.如图，抛物线. 4 的顶点为A,与y轴交于点B. A v
求点A、点B的坐标；
若点P是x轴上任意一点，求证：PA-PBWAB； ⑶当PA-PB最大时，求点P的坐标.
解：⑴令 x=0,得 y=2, B(0, 2)
y =-丄 x2-x + 2 =-丄(x + 2)2 + 3
・.・ 4 4
・•・ A(-2, 3) (2)证明：i.当点P是AB的延长线与x轴交点时，PA-PB=AB； ii .当点P在x轴上又异于AB的延长线与x轴的交点时,
OP=4, P(4, 0)
在点P、A、B构成的三角形中，PA-PB<AB. 综合上述：PA-PBWAB.
(3)作直线AB交x轴于点P
由(2)可知：当PA-PB最大时，点P是所求的点
作 AH丄 OP 于 H '： BO±OP
ZBOP=ZAHP,且ZBPO=ZAPH
AH _ HP
:.ABOP^AAHP .I BO OP
3 _ 2 +OP
标为
由⑴可知：AH=3、OH=2、OB=2 即 2 OP
△PED 的周长即是 CE + DE = y/lQ+42 ..
4•—次函数y = kx + b的图象与x、y轴分别交于点A⑵0), B (0, 4).
求该函数的