《流变学》 第四章 第二部分

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1、本构方程概念本构方程概念 本构方程本构方程描述一大类材料所遵循的与材料结构属性描述一大类材料所遵循的与材料结构属性相关的力学响应规律的方程。相关的力学响应规律的方程。 不同的材料以不同本构方程表现其基本物性：不同的材料以不同本构方程表现其基本物性：0 E胡克弹性体的本构方程为胡克弹性体的本构方程为牛顿流体的本构方程实质方程为牛顿流体的本构方程实质方程为 如理想气体的本构方程为如理想气体的本构方程为 PV=nRTPV=nRT非牛顿流体的本构方程为非牛顿流体的本构方程为nK r(1)acabr01amk r从形式上分，关于非线性粘弹流体的本构方程主要可分为两从形式上分，关于非线性粘弹流体的本构方程

2、主要可分为两大类：大类：速率型（亦称微商型）本构方程和积分型本构方程速率型（亦称微商型）本构方程和积分型本构方程。 所谓速率型本构方程，即方程中包含了所谓速率型本构方程，即方程中包含了应力张量或形变速应力张量或形变速率张量的时间微商，率张量的时间微商，或同时包含这两个微商。或同时包含这两个微商。 所谓积分型本构方程则所谓积分型本构方程则利用迭加原理，把应力表示成应变利用迭加原理，把应力表示成应变历史上的积分，历史上的积分，或者用一系列松弛时间连续分布的模型的或者用一系列松弛时间连续分布的模型的叠加来描述材料的非线性粘弹性。积分又分为单重积分或叠加来描述材料的非线性粘弹性。积分又分为单重积分或多

3、重积分。速率型本构方程和积分型本构方程本质上是等多重积分。速率型本构方程和积分型本构方程本质上是等价的。价的。非线性粘弹性理论非线性粘弹性理论速率型本构方程速率型本构方程 已知高分子材料本体的线性粘弹行为可已知高分子材料本体的线性粘弹行为可以用一些力学模型，如以用一些力学模型，如MaxwellMaxwell模型、模型、VoigtVoigt模型及它们的恰当组合进行描述。模型及它们的恰当组合进行描述。用三维张量形式描述用三维张量形式描述MaxwellMaxwell方程方程+1 1=2=20 0d d.式中式中1 1= =0 0/G /G 称为松弛时间，单位为称为松弛时间，单位为s s；为应力张量为

4、应力张量中的偏应力张量；中的偏应力张量；d d为速度梯度张量中的形变率张量；为速度梯度张量中的形变率张量；为应力为应力对时间的一般对时间的一般偏微商偏微商。L L为速度梯度张量为速度梯度张量注意：这儿的推广是将方程简单地从一维形式推广到三维形式，注意：这儿的推广是将方程简单地从一维形式推广到三维形式，并无深刻的物理意义。式中系数并无深刻的物理意义。式中系数2 2的出现是由于采用了张量描述的出现是由于采用了张量描述的缘故的缘故. .例例1 Maxwell1 Maxwell模型用于描述稳态简单剪切流场模型用于描述稳态简单剪切流场 00000000Lx0002002000d简单剪切流场形式如图简单剪

5、切流场形式如图速度场方程为速度场方程为：简单剪切流场中由于流场是稳定的，简单剪切流场中由于流场是稳定的，因此该点的应力状态不随时间变化，因此该点的应力状态不随时间变化，故有：故有： 对于稳态简单剪切流场，其形变率张量为对于稳态简单剪切流场，其形变率张量为0t代入式中得到：代入式中得到：1112132122233132330/ 202 0/ 200000rr将方程中等号两边张量的各个对应分量分别联立起来，就得将方程中等号两边张量的各个对应分量分别联立起来，就得到一个由九个方程组成的方程组。由此解得：到一个由九个方程组成的方程组。由此解得：122102332133111222233000r只能描述

6、牛顿型流体的粘只能描述牛顿型流体的粘性行为，性行为，高分子液体在剪切速率极高分子液体在剪切速率极低情况下的流动状态。低情况下的流动状态。0002002000d102d 分析可知，分析可知，MaxwellMaxwell模型有限的描述能力与方程的推广方式模型有限的描述能力与方程的推广方式有关，特别与方程中应力张量的导数形式有关。有关，特别与方程中应力张量的导数形式有关。 式中描述的应力变化的导数形式是应力对时间的式中描述的应力变化的导数形式是应力对时间的一般偏微一般偏微商，这种商，这种偏微商通常只能描述无穷小形变行为，或流动中偏微商通常只能描述无穷小形变行为，或流动中体系性质无变化的形变行为。对于

7、描述高分子液体在大形体系性质无变化的形变行为。对于描述高分子液体在大形变下的非线性粘弹行为，必须对力张量的导数形式审慎定变下的非线性粘弹行为，必须对力张量的导数形式审慎定义和推广。义和推广。 另外，在考察流场中流体流动时，另外，在考察流场中流体流动时，紧盯着固定坐标系的一紧盯着固定坐标系的一点考察点考察（注意在不同时刻流经该点的流体元不同）和紧跟（注意在不同时刻流经该点的流体元不同）和紧跟着一个流体元考察（该流体元在不同时刻占据空间不同位着一个流体元考察（该流体元在不同时刻占据空间不同位置）是大不相同的。为此我们首先介绍流体力学中描写材置）是大不相同的。为此我们首先介绍流体力学中描写材料元流动

8、的空间描述法和物质描述法，然后再讨论经典料元流动的空间描述法和物质描述法，然后再讨论经典MaxwellMaxwell模型的推广。模型的推广。空间描述法和物质描述法空间描述法和物质描述法 物质描述法物质描述法空间描述法空间描述法观察者的视点集中于一个具体的观察者的视点集中于一个具体的流体元及其邻域所发生的事件，流体元及其邻域所发生的事件，研究它在不同时刻所处的位置，研究它在不同时刻所处的位置，以及它的速度，加速度等，与通以及它的速度，加速度等，与通常力学中集中于一个质点的方法常力学中集中于一个质点的方法相同。相同。观察者的视点集中于坐标空间观察者的视点集中于坐标空间某一特殊点及其邻域所发生的某一

9、特殊点及其邻域所发生的事件，不针对一个具体的流体事件，不针对一个具体的流体元。元。拉格朗日描述法拉格朗日描述法欧拉描述法欧拉描述法在该方法中一般以流体元在参考在该方法中一般以流体元在参考构型中的物质坐标构型中的物质坐标 X XR R(R=1,2,3)(R=1,2,3)为自变量，以便区别不同的材料为自变量，以便区别不同的材料元。元。 在该方法中，往往以固定坐标在该方法中，往往以固定坐标系系X Xi i (i=1,2,3)(i=1,2,3)的空间坐标为的空间坐标为自变量。自变量。 例如：设一流体元初始时刻在参考例如：设一流体元初始时刻在参考构型中的位置矢量为构型中的位置矢量为X X，到，到t t时

10、刻它时刻它运动到即时构型中的位置运动到即时构型中的位置x. x. 根据拉根据拉格朗日描述，流体元在某一时刻格朗日描述，流体元在某一时刻t t到到达空间的位置达空间的位置x x即与即与t t有关，也与有关，也与X X有有关，所以关，所以x x可以写成可以写成X X和时间和时间t t的函数，的函数，记成：记成：(, )xx X t反过来，反过来，X X也可以记成也可以记成x x和时间和时间t t的函数的函数：( , )XX x t 式则确定了在时间式则确定了在时间t t占有空占有空间位置间位置x x的流体元在时间的流体元在时间t t所经历的位移。所经历的位移。 (, )(, )X tx X tX(

11、 , )( )( , )x tx tX x t式确定了由物质坐标式确定了由物质坐标XRXR决定决定的流体元在时间的流体元在时间t t的位移。的位移。采用物质描述时，以采用物质描述时，以X X为自变量，将为自变量，将当作物质坐标当作物质坐标X X和时间和时间t t的函数，记为：的函数，记为：设在时间设在时间t t内，流体元的位移矢量为内，流体元的位移矢量为有：有：(, , )( )X x tx tX而采用空间描述时，以而采用空间描述时，以x x为自变量，则为自变量，则是空间坐标是空间坐标x x和时间和时间t t的函数，记为：的函数，记为： 进一步考虑速度矢量：流体元的速度矢量定义为其位移矢进一步