线性代数(第一章行列式)

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1、CramerCramer法则法则un 阶行列式的定义、性质及计算方法 u克拉默（Cramer）法则第二章第二章 行列式行列式1. 二阶行列式对于给定的二元线性方程组11 1122121 12222(1)a xa xba xa xb其系数矩阵11122122aaAaa是一个二阶方阵.用消元法求解线性方程组（1），得112212211122212112212212211121()()a aa axbab aa aa axb aba该式中 的系数 称为由二阶方阵 所确定的二阶行列式，记为 12,x x11221221a aa aA11122122.aaDaa11122122detaaAAaa矩阵 的

2、行列式还记作 或 ，即det AAA一般地，二阶行列式1112112212212122aaa aa aaa可按下图所示的对角线法则确定其值： 11221221a aa a方阵与矩阵的方阵与矩阵的区别区别：二阶方阵是 个数按确定的方式排成的一个数表，而二阶行列式是这些数（也就是二阶矩阵 ）按一定的运算法则所确定的一个数22A11a12a21a22a1122a a1221a a例例1 1 求解二元线性方程组121224132xxxx11 43 85,2 3D 2 46 4 2 0,1 3D 解解 因为22 14 1 3,1 2D 112252.32DxDxDD 所以定义定义 对于一个给定的3阶方阵

3、 2. 三阶行列式( ,1,2,3)ijAai j将之与数11 22 3312 23 3113 21 3211 23 3212 21 3313 22 31aa aaa aaa aaa aaa aaa a相对应，那么这个数就称为由矩阵 所确定的三阶行列式A11 22 3312 23 3113 21 32a a aa a aa a a111213212223313233detaaaDAAaaaaaa记作11 23 3212 21 3313 22 31a a aa a aa a a例例2 2 计算三阶行列式123312 .231D解解 3331231 2 3 2 3 1 3 1 218D 11121

4、32122233132330aaaDaaaaaa112233DDxDxDxDD利用消元法求解，则可得方程组的解为对于三元线性方程组，如果它的系数行列式为书写方便，将之记成 312123,TT DDDxxxDDD其中 是用常数项 替换 中的第 列所得的三阶行列式，即(1,2,3)jD j123, ,b b bDj1121312222333233baaDbaabaa1112132122231323.aabDaabaab1111322122331333abaDabaaba例3 解三元线性方程组1231231232415321xxxxxxxxx解24 115 310 12 1 5 6 48 011 1

5、D 114 125 3 1111 1D2211123911 1D 32411526111DT123,xxxT312,DDDDDDT1193,884 3. 阶行列式n（1）设 是一阶方阵，则它所确定的一阶行列式 定义成数 1111Aaa11det Aa11a1112112212212122aaAa aa aaa采用递归的方法给出其定义：( ,1,2)ijAai j（2）二阶矩阵 ，它所定义的二阶行列式11121321222311 223312 23 3113 21 32313233aaaAaaaa a aa a aa a aaaa（3）对于三阶矩阵 所确定的三阶行列式( ,1,2,3)ijAai

6、 j11 23 3212 21 3313 22 31a a aa a aa a a1122 3323 321221 3323 311321 3222 31()()()a a aa aaa aa aaa aa a222321232122111213323331333132aaaaaaaaaaaaaaa即111213212223313233aaaaaaaaa222321231112323331332122133132aaaaaaaaaaaaaaa111212122212detnnnnnnaaaaaaDAAaaa(1)n(1)nnn（4）假设由 阶方阵所确定的 阶 行列式已有定义，那么， 阶方阵所确

7、定 的 阶行列式用归纳法定义为21232222313331112213nnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaa212,1111,1( 1) nnnnn naaaaa111212122212detnnnnnnaaaaaaDAAaaa那么，上述行列式的定义可记为nAijaij2(1)nA1nijMija( 1)ijijijAM ija( ,1,2, )i jn将 阶矩阵 的元素 所在的第 行第 列处的元素划去后， 中剩下的 个元素按原来的排列顺序组成 阶矩阵所确定的行列式记作 ，称之为 的余子式余子式， 为 的代数余子式代数余子式1111121211111nnnjjja Aa Aa Aa

8、 A数 也称为行列式 的第 行第 列处的元素 ，而元素 ， ， ，所在的对角线称为行列式的主对角线；另一条对角线称为行列式的次对角线ijaAij( ,1,2, )i jn11a22annaTDD行列式的性质性质1 行列式与它的转置行列式相等，即该性质表明，行列式中的行与列具有同等的地位，行列式的性质凡对行成立的对列也成立，反之亦然性质2 互换行列式的两行(列),行列式变号推论 若行列式两行(列)完全相同，则此行列式为零1122iiiiininDAa Aa Aa A1(1,2, )nikikka Ain推论 方阵的某一行（列）的元素与另一行（列）的对应的代数余子式乘积之和等于零，即 11220,

9、ijijinjna Aa Aa Aij性质3 行列式按行（列）展开法则 行列式等于对应于它的方阵的任一行(列)的各元素与其代数余子式的乘积之和，即 性质4 行列式的把一行（列）中所有元素都乘以同一常数，等于用数乘此行列式推论1 行列式某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面推论2 行列式的某一行（列）的元素全为零，则此行列式为零；若行列式某两行(列)成比例，则此行列式等于零111111niiininnnnaaDbcbcbbi性质5 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如，第 行的元素都是两数之和：1111111111nniiniinnnnnnnaaaaDbbccaaaaD