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1、第第3 3章章 波动方程与行波法、降维法波动方程与行波法、降维法 3 3.1 一维波动方程一维波动方程 一一. dAlembert公式推导公式推导 二二. dAlembert公式物理意义公式物理意义 三三. 依赖区间、决定区域和影响区域依赖区间、决定区域和影响区域 四四. 半无界弦自由振动问题半无界弦自由振动问题 4.2 三维波动方程柯西问题三维波动方程柯西问题 一一. .三维波动方程和球对称解三维波动方程和球对称解 二二. .三维波动方程的三维波动方程的Poisson公式公式 和球对称解和球对称解行波法行波法 dAlembert公式公式 dAlembert(1717.11.171783.10
2、.29)& 法国著名的物理学家、法国著名的物理学家、数学家和天文学家，最著数学家和天文学家，最著名的有名的有8 8卷巨著卷巨著数学手数学手册册、力学专著、力学专著动力动力学学、2323卷的卷的文集文集、百科全书百科全书的序言等。的序言等。他的很多研究成果记载于他的很多研究成果记载于宇宙体系的几个要点研宇宙体系的几个要点研究究中。中。一维波动方程定解问题一维波动方程定解问题无界弦自由振动无界弦自由振动*无界弦强迫振动无界弦强迫振动半无界弦自由振动半无界弦自由振动*半无界弦强迫振动半无界弦强迫振动三维波动方程定解问题三维波动方程定解问题二维波动方程的定解问题二维波动方程的定解问题球对称情形
3、球对称情形*一般情形一般情形球面平均法球面平均法行波法行波法降维法降维法有限弦振动问题有限弦振动问题3.1 一维波动方程一维波动方程初始位移初始位移 ，初始速度初始速度 的的无界无界弦自由振动弦自由振动( )x ( )x 初值问题初值问题 (Cauchy(Cauchy问题问题) )一一. .dAlembert公式推导公式推导 22222222uuuuuxxxuuu 我们可以求出方程的通解我们可以求出方程的通解, ,考虑变量代换考虑变量代换xatxat 利用复合函数求导法则得利用复合函数求导法则得uuuuuxxx 为什么？为什么？同理可得：同理可得：22222222(2)uuuuat 将两式代入
4、原方程将两式代入原方程, 可得：可得：20u 连续积分两次得连续积分两次得 ,uFG 其中其中 是任意二次连续可微函数，即有是任意二次连续可微函数，即有 ,F G ,u x tF xatG xat 注：注： 是方程是方程 2(,0)ttxxua uxt 的通解的通解, 它包含两个任意函数。它包含两个任意函数。 ,u x tF xatG xat 对无限长的自由振动对无限长的自由振动, 利用初始条件利用初始条件, 则：则： 00|tt tuF xG xxuaFxaGxx 两端对两端对 x 积分，积分，可得：可得：由此即得原定解问题的解由此即得原定解问题的解: :无限长弦自由振动的达朗贝尔无限长弦自
5、由振动的达朗贝尔( (dAlembert)公式公式. .行波法小结行波法小结 (注：行波法仅适用于双曲型方程注：行波法仅适用于双曲型方程)3. 变量替换：变量替换： 1. 波动方程：波动方程：2. 特征方程与特征根：特征方程与特征根：4. 解方程：解方程：5. 利用初始条件解利用初始条件解F、G：例例1：求解无界自由振动波动方程柯西问题：求解无界自由振动波动方程柯西问题： -220,0( ,0)sin( ,0)ttxxtua uxtu xxu xx 解：由达朗贝尔公式：解：由达朗贝尔公式： 211sin()sin()22x atx atuxatxatda 22 2sincos(3)3txatx
6、a t 例例2：解定解问题：解定解问题:200, ,0|sin,|costtxxtttua uxtuxux 解解: 11,sinsin()cos22x atx atu x txatxatda 1sincoscossin.xatxata例例3：求解波动方程柯西问题：求解波动方程柯西问题 - , - 220,01( ,0)0( ,0),1ttxxtua uxtu xu xxx 解：由达朗贝尔公式：解：由达朗贝尔公式：21121x atx atuda 1arctan()arctan()2xatxata 例例4： 求二阶线性偏微分方程初值问题的解求二阶线性偏微分方程初值问题的解200230|3,|0
7、xxxyyyyyyuuuuxu 解解: 先确定所给方程的特征曲线。特征方程为：先确定所给方程的特征曲线。特征方程为： 22230dydxdydx 或者或者 2230.dydydxdx 它的两族积分曲线为它的两族积分曲线为123xyCxyC 做特征变换做特征变换3xyxy 容易验证，经过变换原方程化成容易验证，经过变换原方程化成20.u 它的通解为它的通解为 uFG 其中其中 是任意二次连续可微函数，即有是任意二次连续可微函数，即有 ,F G ,3u x tFxyG xy 把这个函数代入到条件把这个函数代入到条件 200|3,|0,yyyuxu 233 30FxG xxFxGx 133FxG x
8、C 2293434FxxCG xxC 221434F xxCG xxC ,3,u x tFxyG xy 代入到代入到得原问题的解为：得原问题的解为： 222213,3344u x yxyxyxy 例例5 5 求二阶线性偏微分方程的通解求二阶线性偏微分方程的通解 22sincos0.xxxyyyuxuxu 解：特征方程为解：特征方程为 2222sincos0dyxdxdyx dx 1sin1sin0dydyxxdxdx积分曲线为：积分曲线为： 12coscosyxxCyxxC 经过变换原方程化成经过变换原方程化成20u 所以所以, , 令令coscosyxxyxx 12,f f为原问题的通解，其
9、中为原问题的通解，其中 是任意二次连续可是任意二次连续可微函数。微函数。12( , )(cos )(cos )u x yfyxxfyxx 二二. dAlembert公式物理意义公式物理意义1.1.考虑考虑 若若 的图形已经的图形已经给定，那么，随着时间给定，那么，随着时间 t 的推移，的推移，的图形以速度的图形以速度a向向 x 轴正方向平行移动轴正方向平行移动, ,故称齐次故称齐次波动方程形如波动方程形如 的解为的解为右行波右行波。 2,uG xat ( )G x 2uG xat 2uG xat 2, 2, 表示一个以速度表示一个以速度a 向向x 轴负轴负 方向传播的行波，且传播过程中，波形也
10、不变化。方向传播的行波，且传播过程中，波形也不变化。 称为称为左行波左行波。 1uF xat xO0 x 2( )(0)uG xt 0 xxat 20()()uG xattt atxO0 x1( )uF x atx 01()uF xatatG(x-at)=G(x0+at-at)=G(x0)F(x+at)=F(x0-at+at)=F(x0)2uxaa2ux2a32a2ux02a2uxa3a考虑考虑：2()uG xat 的物理意义的物理意义,如图给出的特例如图给出的特例20( )tuG x21(/ 2)2tuG xa21()tuG xa22(2 )tuG xa行波速度：行波速度：弦拉的越紧弦拉的越
11、紧,波传播速度越快波传播速度越快;密度越小密度越小,波传播越快波传播越快P9P9结论：达朗贝尔解表示沿结论：达朗贝尔解表示沿 x 轴正、反向传播的两列波速为轴正、反向传播的两列波速为a 的的波的叠加，故称为行波法。波的叠加，故称为行波法。(2)(2)只有初始速度时：只有初始速度时：(1)(1)只有初始位移时，只有初始位移时，()xat ()xat 代表以速度代表以速度a 沿沿x 轴正向传播的波轴正向传播的波代表以速度代表以速度a 沿沿x 轴负向传播的波轴负向传播的波假使初始速度在区间上是常数假使初始速度在区间上是常数 ，而在此区间外恒等于，而在此区间外恒等于0 0 xxatxat依赖区间依赖区
12、间t( , )P x t三三. .依赖区间、决定区域和影响区域依赖区间、决定区域和影响区域区间区间,xat xat为解的依赖区间。为解的依赖区间。u(x, t) 仅仅依赖于仅仅依赖于 内的初始条件，内的初始条件，在区间以外改变初始数据时，在区间以外改变初始数据时，解的值不变解的值不变。,xat xat它是过它是过（x，t）点，斜率为点，斜率为1a 的直线与的直线与 x 轴所截而得到轴所截而得到的区间（如右图）。的区间（如右图）。1.1.依赖区间依赖区间该区域中任一点该区域中任一点( (x, t ) )的依的依赖区间都落在区间赖区间都落在区间 c, d 内内部，因此解在此该区域中的部，因此解在此
13、该区域中的数值完全由区间数值完全由区间 c, d 上的上的初始条件决定。初始条件决定。该区域称为区间该区域称为区间c , d的的决定区域决定区域。在区间。在区间c , d上上给定初始条件，就可以在其决定区域中确定初值给定初始条件，就可以在其决定区域中确定初值问题的解。问题的解。xxcattc决定区域决定区域dxdat2.2.决定区域决定区域3.3.影响区域影响区域 如果在初始时刻如果在初始时刻 t0，扰动仅仅在有限区间，扰动仅仅在有限区间 , c d上存在，则经过时间上存在，则经过时间 t 后，扰动传到的范围为后，扰动传到的范围为定义：定义：上式所定义的区域称为区间上式所定义的区域称为区间 ,
14、 c d的影响区域。的影响区域。cxdtxdat影响区域影响区域xcat1xx2xt2xxat影响区域1xxatx1xxatt1x决定区域2x2xxatxxatxat依赖区间t( , )P x t小结：小结：特征线特征线特征变换特征变换分析其物理意义表明分析其物理意义表明, , 在在 xot 平面上斜率为平面上斜率为 的两族直线：的两族直线： 1a xat 常常数数对一维波动方程研究起重要作用，称这两族直线对一维波动方程研究起重要作用，称这两族直线为一维波动方程的特征线。波动沿特征线传播。为一维波动方程的特征线。波动沿特征线传播。称为特征变换称为特征变换, ,行波法也叫特征线法。行波法也叫特征
15、线法。 ,xatxat 自变量变换自变量变换4. 行波法又叫特征线法行波法又叫特征线法注：容易看出注：容易看出, ,一维波动方程的两族特征线一维波动方程的两族特征线 xat 常常数数恰好是常微分方程恰好是常微分方程 的解。的解。 2220dxadt 这个常微分方程称为波动方程这个常微分方程称为波动方程的特征方程的特征方程。 一维非齐次波动方程柯西问题的一维非齐次波动方程柯西问题的Kirchihoff公式公式. .四四. .无界弦受迫振动问题无界弦受迫振动问题例：例：2222200sincos,tttuuaxtxux ux xtxattxuIIcoscos),(解：解：cos1 sin1)(si
16、nsin1)(cos()(cos(21sin21),(2000)()(atxadtaxadtaxtaxaddatxuttttaxtaxIII cos1 sin1coscos),(2atxaxtxattxu我们先考虑我们先考虑( )0g t 情形，即端点固定的振动。情形，即端点固定的振动。希望能利用达朗贝尔公式来求解希望能利用达朗贝尔公式来求解()()1( , )( )22x atx atxatxatu x tda 五五. .半无界弦的自由振动问题半无界弦的自由振动问题为此，我们要作为此，我们要作奇延拓奇延拓(有时也作偶延拓有时也作偶延拓)： 半无界问题的解为：半无界问题的解为：当当xat 时：
17、时：当当0 xat 时：时：当在当在 x = 0 处有一个自由端，即：处有一个自由端，即：(0, )0 xut 则需要作偶延拓。则需要作偶延拓。例例22222000, 0, t02,30tttxuuxtxuxuxu 0,0 xxt 当当221( , )()()(3 )2x tx tu x txtxtd 22223xtxt 0,0 xxt 当当221( , )()()(3 )2x tt xu x txttxd 7xt 4.2 三维波动方程柯西问题的解三维波动方程柯西问题的解 一一. . 三维波动方程和球对称解三维波动方程和球对称解, , , ,( , , )( , , )222222222000
18、ttuuuuatx y zRtxyzux y zux y zt r ),( M ),(zyxMMrS xyzo球坐标中的球坐标中的Laplace运算：运算：所谓球对称是指所谓球对称是指u, 与与无关，则波动方程可化简为无关，则波动方程可化简为球对称性：球对称性：得到关于得到关于ru的一维波动方程的通解：的一维波动方程的通解：即即此为三维波动方程在球对称情况下的解，其中此为三维波动方程在球对称情况下的解，其中F、G为任意二次可微函数，可由初始条件确定。为任意二次可微函数，可由初始条件确定。将上面第二式两边对将上面第二式两边对 r 积分得：积分得：即即: :将第一式的将第一式的r换为换为( (r+
19、at), ,第二式的第二式的r换为换为( (r-at) )即可。即可。的解：的解：则：球面波则：球面波第三章：第三章： 复习思考题与作业复习思考题与作业一名词解释：一名词解释： 1.1.依赖区间，决定区域和影响区域；依赖区间，决定区域和影响区域； 2.2.行波速度；行波速度； 3.3.一维波动方程的特征变换，特征线；一维波动方程的特征变换，特征线； 4. 4. 球对称性，降维法；球对称性，降维法； 二简述二简述dAlembert公式的物理意义。公式的物理意义。三简述行波法与驻波法的区别。三简述行波法与驻波法的区别。四四. . 用行波法推导无限长弦的用行波法推导无限长弦的dAlembert公式。公式。五五. . 推导三维波动方程满足球对称时的简化方程，并说明推导三维波动方程满足球对称时的简化方程，并说明 其通解的物理意义。其通解的物理意义。六六. . 书习题书习题3 3：1(1)(2)(3)(4)1(1)(2)(3)(4)；3(1)3(1)；4 4；1313。
