第4章线性控制系统的数学模型1
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1、4.1 线性连续系统的数学模型4.2 线性离散时间系统的数学模型4.3 系统模型的相互转换4.4 方框图描述系统的化简4.5 线性系统的模型降阶4.6 本章要点小结模型 一般控制理论教学和研究中经常将控制系统分为连续系统和离散系统：常用的描述方式是 和，u相应地可以用和表示。u传递函数和状态方程之间、连续系统和离散系统之间还可以进行相互转换。模型4.1.1 线性线性系统的系统的传递函数模型传递函数模型格式格式1 1 连续动态系统一般是由微分方程来描述的，而线性系统又是以线性常微分程来描述的。假设系统的输入信号为u(t)，且输出信号为y(t)，则n阶系统的微方程可以写成4.1 线性连续系统模型及
2、线性连续系统模型及MATLAB表示表示 系统的分母多项式又称为系统的特征多项式。对物理可实现系统来说，一定要满足mn，这种情况下又称系统为正则(proper)系统。若m s=tf(s); G=(12*s3+24*s2+12*s+20)/(2*s4+4*s3+6*s2+2*s+2);如果采用后一种输入方法，则同样可以输入系统的传递函数如果采用后一种输入方法，则同样可以输入系统的传递函数模型，二者完全一致。模型，二者完全一致。模型例例4-24-2 s=tf(s); G=3*(s2+3)/(s+2)3/(s2+2*s+1)/(s2+5) 或或G=3*(s2+3)/(s+2)3*(s2+2*s+1)*
3、(s2+5)模型例例4-34-3 再考虑一个带有多项式混合运算的例子可以看出，分母多项式内部含有方式更烦琐，所以可以用第二种方式直接利用算子法输入系统的传递函数模型项，用第一种输入可以得出系统的传递函数模型格式格式3 3模型例例传递函数模型系统模型例例然后才能用下面的MATLAB语句表示整个系统模型。模型模型1）22642202412)(23423sssssssG) 523() 1()66)(2( 4)(23322sssssssssG练习：传递函数描述练习：传递函数描述num=12,24,0,20;den=2 4 6 2 2;G=tf(num,den)num=4*conv(1,2,conv(1
4、,6,6,1,6,6);den=conv(1,0,conv(1,1,conv(1,1,conv(1,1,1,3,2,5);G=tf(num,den)2）借助多项式乘法函数借助多项式乘法函数conv来处理：来处理：模型除了分子和分母多项式外，MATLAB 的tf 对象还允许携带其他信息(或属性)，其全部属性可以由set 命令列出，即模型其中，除了其中，除了num、den属性外，还有其他诸多属性可以选属性外，还有其他诸多属性可以选择，例如，择，例如，Ts属性为采样周期，连续系统的采样周期为属性为采样周期，连续系统的采样周期为0。属性属性ioDelay为系统的输入输出延迟。为系统的输入输出延迟。若系
5、统的时间延迟常数为 = 3，即延迟系统模型为例例4-34-3则可以用命令直接输入，也可以由命令输入。模型如果有了传递函数模型G，则提取系统的分子和分母多项式还可以由tfdata() 函数来实现模型4.1.2 4.1.2 线性系统的线性系统的零极点模型零极点模型对传递函数的分子和分母分别进行因式分解，则可以得出模型例例4-64-6 考虑系统的零极点模型可以通过下面的MATLAB语句输入这个系统模型模型练习：零极点模型练习：零极点模型)256)(2)(1() 5)(6()(2ssssssssG)43)(43)(2)(1()5)(6()(jsjsssssssG模型4.1.3 4.1.3 线性系统的线
6、性系统的状态方程模型状态方程模型对线性系统来说，其状态方程可以简单地描述为模型在MATLAB下表示系统的状态方程模型是相当直观的，只需要将各个系数矩阵按照常规矩阵的方式输入到工作空间中即可，这样系统的状态方程模型可以用下面的语句直接建立起来如果在构造状态方程时给出的各个矩阵维数不兼容，则ss()对象时将给出明确的错误信息，中断程序运行。模型例例4-54-5多变量系统的状态方程模型可以用前面介绍的方法直接输入，无需再进行特殊的处理。考虑一个双输入双输出系统的状态方程模型系统的状态方程模型可以用下面的语句直接输入模型带有时间延迟的状态方程模型可以表示为模型练习：在练习：在MATLAB环境下建立下面
7、状态方程模型环境下建立下面状态方程模型 5 . 02022426475. 025. 075. 125. 1125. 15 . 025. 025. 025. 125. 425. 25 . 025. 1525. 2tutxtx 25. 020201000txty模型4.1.4 4.1.4 多变量系统多变量系统的的传递函数矩阵传递函数矩阵模型模型u多变量系统的可以由ss() 函数直接输入到MATLAB 环境中u多变量系统的另外一种常用描述方法是，它是单变量系统传递函数的概念在多变量系统中的直接扩展。多变量系统的传递函数矩阵一般可以写成模型例例4-74-7 考虑一个带有时间延迟的多变量传递函数矩阵对这
8、样的多变量系统，只需先输入各个子传递函数矩阵，再按照常规矩阵的方式输入整个传递函数矩阵。这样的传递函数矩阵还可以由下面的方法输入，即输入各个不带延迟的子传递函数，构造传递函数矩阵，再重新赋值其ioDelay属性，亦即模型其中的(2,1)子传递函数可以用G(2,1)语句直接提取出来。模型练习：在练习：在MATLAB环境下建立下面的传递函数矩阵环境下建立下面的传递函数矩阵或或模型4.2 4.2 离散系统模型离散系统模型4.2.1 4.2.1 离散离散传递函数传递函数模型模型由差分方程模型推导出系统的离散传递函数模型一般的单变量离散系统可以由下面的差分方程来表示式中T为离散系统的采样周期。模型和连续
9、传递函数不同的是，同时还需要输入系统的采样周期T，具体语句如下：其中T应该输入为实际的采样周期数值，H为离散系统传递函数模型。模型例例4-84-8 假设离散系统的传递函数模型为且系统的采样周期为T= 0.1s，则可以用下面的语句将其输入到MATLAB工作空间。该模型还可以采用算子方式直接输入模型这就要求实际延迟时间是采样周期T的整数倍，亦即时间延迟常数为mT。离散系统的时间延迟模型和连续系统不同，一般可以写成模型模型例例4-94-9 已知离散系统的零极点模型为其采样周期为T= 0.1s，可以用下面的语句输入该系统的数学模型模型练习：在练习：在MATLAB环境下建立下面离散传递环境下建立下面离散
10、传递函数模型函数模型模型练习：在练习：在MATLAB环境下建立下面零极点模环境下建立下面零极点模型型模型4.2.2 4.2.2 离散离散状态方程状态方程模型模型模型kTukTxTkx2349876543211kTxkTy321练习：在练习：在MATLAB环境下建立下面离散状态环境下建立下面离散状态方程模型方程模型sT1 . 0模型4.3 4.3 系统模型的相互转换系统模型的相互转换 前面介绍了线性控制系统的各种表示方法，本节将介绍基于MATLAB 的系统模型转换方法，如系统之间的相互转换，并将介绍模型的方法，以及模型的各种实现方法。4.3.1 4.3.1 连续模型和离散模型的相互转换连续模型和
11、离散模型的相互转换对于状态方程，状态变量的解析解为模型对照式上式与使用零阶保持器后连续系统离散化可以直接获得离散状态方程模型，离散后系统的参数可以由下式求出可以发现，且二者的C与D矩阵完全一致。模型模型SYSD = C2D(SYSC,Ts,METHOD) converts the continuous-time LTI model SYSC to a discrete-time model SYSD with sample time Ts. The string METHOD selects the discretization method among the following: zoh
