第2章弹性力学基本理论
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1、第二章第二章 有限元法的基本原理有限元法的基本原理机械与汽车工程学院机械与汽车工程学院School of Mechanical and Automobile Engineering2-1 2-1 弹性力学中的几个基本概念弹性力学中的几个基本概念 按照外力作用的不同分布方式，可分为按照外力作用的不同分布方式，可分为体体积力积力和和表面力表面力，分别简称，分别简称体力体力和和面力面力。 （2 2）性质：）性质：一般情况下一般情况下, ,体力随点的位置不同体力随点的位置不同而不同，体力是连续分布的。而不同，体力是连续分布的。（一）外力（一）外力1.1.体力体力（1 1）定义：）定义：所谓体力是分布在
2、物体体积内的所谓体力是分布在物体体积内的力，如重力和惯性力。力，如重力和惯性力。（3 3）体力集度：）体力集度： 体力的平均集度为：体力的平均集度为：FVP点所受体力的集度为：点所受体力的集度为：0limVFfV fF的方向就是的方向就是 的极限方向。的极限方向。zxyVOPFf图图1-21-2（4 4）体力分量：）体力分量： 将将f 沿三个坐标轴分解，沿三个坐标轴分解，可得到三个正交的分力：可得到三个正交的分力：xyzff if jf k fx、fy、fz 称为物体在称为物体在P点的点的体力分量体力分量，其，其方向与坐标轴正向相同时为正，方向与坐标轴正向相同时为正，因次因次是是 力力长长度度
3、 -3-3。（N/m3）方向沿坐标轴为正。）方向沿坐标轴为正。zxyV VOPFf图图1-21-2xfyfzf2. 2. 面力面力S上面力的平均集度为：上面力的平均集度为：FS（3 3）面力集度：）面力集度：xyzPSF图图1-31-3（2 2）性质：）性质：一般情况下一般情况下, ,面面力一般是物体表面点的位置力一般是物体表面点的位置坐标的函数。坐标的函数。（1 1）定义：分布在物体）定义：分布在物体表面表面上上的力。如流体压力和接触力。的力。如流体压力和接触力。P点所受面力的集度为：点所受面力的集度为：0limSFfS （4 4）面力分量：）面力分量：xyzPSxfyfzffF图图1-31
4、-3xfyfzf P点的面力分量点的面力分量为为 、 、 ，其方向其方向与坐标轴正向相同时为正，与坐标轴正向相同时为正，因次因次是是 力力长度长度 -2-2。 （N/m2）方向沿坐标轴为方向沿坐标轴为正。正。（二）应力二）应力2.2.性质：性质：在物体内的同一点，不同截面上的应力是不在物体内的同一点，不同截面上的应力是不同的。同的。1.1.定义：定义：物体承受外力作用，物体内部各截面之间产物体承受外力作用，物体内部各截面之间产生生附加内力附加内力，为了显示出这些内力，我们用一截面截，为了显示出这些内力，我们用一截面截开物体，并取出其中一部分，其中一部分对另一部分开物体，并取出其中一部分，其中一
5、部分对另一部分的作用，表现为内力，它们是分布在截面上分布力系的作用，表现为内力，它们是分布在截面上分布力系的合力。的合力。单位面积上的分布力即为应力单位面积上的分布力即为应力。如图。如图1 14 4所所示。示。A面积面积上的内力的平均集度为：上的内力的平均集度为：FA3.3.应力集度：应力集度：P点的应力为：点的应力为：0limAFpA 因次是因次是力力长度长度-2。-正应力正应力-切应力切应力P点的应力分量为点的应力分量为 、xyzABPoApFnm图图1-41-44.4.应力分量应力分量在在略去体力和高阶微量的情况下，略去体力和高阶微量的情况下，相互平行的面上的应力大小相等，相互平行的面上
6、的应力大小相等，方向相反。方向相反。 （1 1）为了分析一点的应力）为了分析一点的应力状态，在这一点从物体内取出状态，在这一点从物体内取出一个微小的正平行六面体，各一个微小的正平行六面体，各面上的应力沿坐标轴的分量称面上的应力沿坐标轴的分量称为为应力分量应力分量。xyzo图图1-51-5PABC 应力不仅和点的位置有关，和应力不仅和点的位置有关，和截面的方位截面的方位也有关，也有关，不是一般的矢量，而是不是一般的矢量，而是二阶张量二阶张量。xyzoyyx图图1-61-6yz（2）应力标注：）应力标注： 图示单元体右侧图示单元体右侧面的法线为面的法线为y,称为称为y面，面，应力分量垂直于单元应力
7、分量垂直于单元体面的应力称为体面的应力称为正应正应力力。 正应力记为正应力记为y , 其其下标表示所沿坐标轴下标表示所沿坐标轴的方向。的方向。xyzo 平行于单元体面的平行于单元体面的应力称为应力称为切应力切应力，用用 、 表示，其第表示，其第一下标一下标y表示所在的平表示所在的平面，第二下标面，第二下标x、z分别分别表示沿坐标轴的具体表示沿坐标轴的具体方向。方向。yxyz（2）应力标注：）应力标注：yyx图图1-61-6yz其它面上的应其它面上的应力分量的表示力分量的表示如图如图1 17 7所示。所示。xyz yx z y zx zy yz图图1 17 7xyz截面的截面的外法线外法线截面的
8、截面的外法线外法线正面正面负面负面正面上的应力沿坐标正正面上的应力沿坐标正向或负面上的应力沿坐向或负面上的应力沿坐标负向为标负向为正正。口诀：口诀：正面正向或负面负向的应力为正正面正向或负面负向的应力为正。xyz yx z y zx zy yz图图1 17 7正面正面: :截面的外法线截面的外法线方向和坐标轴正向一方向和坐标轴正向一致致, ,反之为反之为负面负面。正负规定正负规定: :例：应力和面力的符号规定有什么区别？试分别画例：应力和面力的符号规定有什么区别？试分别画出正面和负面上的正应力和正的面力的方向。出正面和负面上的正应力和正的面力的方向。O zyx弹性力学弹性力学材料力学材料力学图
9、图1-81-8（3 3）注意弹性力学切应）注意弹性力学切应力符号和材料力学是有力符号和材料力学是有区别的。在图区别的。在图1 18 8中，中，弹性力学里，切应力都弹性力学里，切应力都为正，而材料力学中相为正，而材料力学中相邻两面的符号是不同的，邻两面的符号是不同的，顺时针转动为正顺时针转动为正。注意：注意：（4 4） 切应力互等定理切应力互等定理zyyz yxxy zxxz xyz xy yx x z y xz zx zy yz 过一点的两个正交面上过一点的两个正交面上, ,如果有与相交边垂直的切如果有与相交边垂直的切应力分量应力分量, ,则两个面上的这两个切应力分量一定则两个面上的这两个切应
10、力分量一定等值等值、方向相对或相离方向相对或相离。应力用矩阵表示：应力用矩阵表示：zzyzxyzyyxxzxyx共六个应力分量。共六个应力分量。?（三）形变（应变）（三）形变（应变） 形变形变就是形状的改变。物体的形变可以归结为就是形状的改变。物体的形变可以归结为长长度的改变度的改变和和角度的改变角度的改变。xy 1.1.线应变线应变：图：图1-91-9中线段中线段PA、PB、PC每单位长度的伸每单位长度的伸缩缩，即单位伸缩或相对伸缩，即单位伸缩或相对伸缩，称为称为线应变线应变。分别用。分别用 、 、 表示。表示。zP图图1-91-9ABCP应变的正负：应变的正负：线应变：线应变： 伸长时为正
11、，缩短时为负；伸长时为正，缩短时为负；切应变：切应变：以直角变小时为正，变大时为负；以直角变小时为正，变大时为负； 2.2.切应变：切应变：图图1-91-9中线中线段段PA、PB、PC之间的之间的直角直角的改变的改变，用弧度表示，称为，用弧度表示，称为切应变。分别用切应变。分别用 、 、 表示。表示。yzzxxy 共六个形变分量。共六个形变分量。P图图1-91-9ABCP线应变和切应变都是量纲为线应变和切应变都是量纲为1的量的量 （2 2）物体内各点之间有相对位移，因而物体产生了）物体内各点之间有相对位移，因而物体产生了变形。变形。弹性力学中主要研究物体由变形而引起的位移弹性力学中主要研究物体
