第3章离散傅里叶变换
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1、第3章 离散傅里叶变换(DFT) 第第3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT) 3.1 离散傅里叶变换的定义及物理意义离散傅里叶变换的定义及物理意义 3.2 离散傅里叶变换的基本性质离散傅里叶变换的基本性质 3.3 频率域采样频率域采样 3.4 DFT的应用举例的应用举例 习题与上机题习题与上机题第3章 离散傅里叶变换(DFT) 傅里叶变换和Z变换是数字信号处理中常用的重要数学变换。对于有限长序列，还有一种更为重要的数学变换，即本章要讨论的离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform，DFT)。DFT之所以更为重要，是因为其实质是有限长序列傅里叶变换的有限点离散采
2、样，从而实现了频域离散化，使数字信号处理可以在频域采用数值运算的方法进行，这样就大大增加了数字信号处理的灵活性。更重要的是，DFT有多种快速算法，统称为快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform，FFT)，从而使信号的实时处理和设备的简化得以实现。第3章 离散傅里叶变换(DFT) 因此，时域离散系统的研究与应用在许多方面取代了传统的连续时间系统。所以说，DFT不仅在理论上有重要意义，而且在各种信号的处理中亦起着核心作用。 本章主要讨论DFT的定义、物理意义、基本性质以及频域采样和DFT的应用举例等内容。第3章 离散傅里叶变换(DFT) 3.1 离散傅里叶变换的定义及物理意义离
3、散傅里叶变换的定义及物理意义3.1.1 DFT的定义的定义 设x(n)是一个长度为M的有限长序列，则定义x(n)的N点离散傅里叶变换为10( )DFT ( )( )0,1,1NknNnX kx nx n WkN(3.1.1)2jeNNW第3章 离散傅里叶变换(DFT) X(k)的离散傅里叶逆变换(Inverse Discrete Fourier Transform, IDFT) 为2jeNNW式中，N称为DFT变换区间长度。通常称(3.1.1)式和(3.1.2)式为离散傅里叶变换对。为了叙述简洁，常常用DFTx(n)N和IDFTX(k)N分别表示N点离散傅里叶变换和N点离散傅里叶逆变换。下面证
4、明IDFTX(k)的唯一性。101( )IDFT( )( )NknNkx nX kX k WN0,1,1nN(3.1.2)第3章 离散傅里叶变换(DFT) 把(3.1.1)式代入(3.1.2)式，有由于110011()001IDFT( )( )1( )NNmkknNNNkmNNk m nNmkX kx m WWNx mWN 为整数为整数，iiNnmiiNnmWNNknmkN01110)(所以，在变换区间上满足下式：IDFTX(k)=x(n) 0nN1由此可见，(3.1.2)式定义的离散傅里叶逆变换是唯一的。第3章 离散傅里叶变换(DFT) 例例3.1.1 已知序列x(n)=(n)，求它的N点D
5、FT。 解解 单位脉冲序列的DFT很容易由DFT的定义式（2-30）得到： 1001)()(NnNnkNWWnkX k=0, 1, , N-1 (n)的X(k)如图2-9。这是一个很特殊的例子，它表明对序列(n)来说，不论对它进行多少点的DFT，所得结果都是一个离散矩形序列。 第3章 离散傅里叶变换(DFT) 图2-9 序列(n)及其离散傅里叶变换 第3章 离散傅里叶变换(DFT) 例例 3.1.2 已知x(n)=cos(n/6)是一个长度N=12的有限长序列， 求它的N点DFT。 解解 由DFT的定义式（2-30） 110)1(122110)1(122110122661211021216co
6、s)(nknjnknjnnkjnjnjnkneeeeeWnkX 利用复正弦序列的正交特性（2-3）式，再考虑到k的取值区间，可得 11, 0,011, 16)(kkkkX其他第3章 离散傅里叶变换(DFT) 图 2-10 有限长序列及其DFT第3章 离散傅里叶变换(DFT) 例例 3.1.3 已知如下X(k):13)(kXk=0 1k9 求其10点IDFT。 解解 X(k)可以表示为 X(k)=1+2(k) 0k9 写成这种形式后，就可以很容易确定离散傅里叶反变换。 由于一个单位脉冲序列的DFT为常数： 111( )( )( )( )1x nnX kDFT x n第3章 离散傅里叶变换(DFT
7、) 同样，一个常数的DFT是一个单位脉冲序列： x2(n)=1 X2(k)=DFTx2(n)=N(k) 所以 )(51)(nnx第3章 离散傅里叶变换(DFT) 3.1.2 DFT与傅里叶变换和与傅里叶变换和Z变换的关系变换的关系 设序列x(n)的长度为M，其Z变换和N(NM)点DFT分别为比较上面二式可得关系式 (3.1.3)或1010( )ZT ( )( )( )DFT ( )( )0,1,1MnnMknNNnX zx nx n zX kx nx n WkN2je( )( )0,1,1kNzX kX zkNj2( )(e )|0,1,1kNX kXkN (3.1.4)第3章 离散傅里叶变换
8、(DFT) X(k)也可以看作序列也可以看作序列x(n)的傅里叶变换的傅里叶变换X(ej)在区间在区间0, 2上的上的N点等间隔采样，其采样间隔为点等间隔采样，其采样间隔为N=2/N， 这就是这就是DFT的物理意义的物理意义。显而易见，DFT的变换区间长度N不同， 表示对X(ej)在区间0, 2上的采样间隔和采样点数不同， 所以DFT的变换结果也不同。 第3章 离散傅里叶变换(DFT) X(ej)在区间0, 2上的N点等间隔采样。这就是DFT的物理意义。由此可见，DFT的变换区间长度N不同，表示对X(ej)在区间0, 2上的采样间隔和采样点数不同，所以DFT的变换结果不同。上例中， x(n)=
9、R4(n)，DFT变换区间长度N分别取8、16时，X(ej)和X(k)的幅频特性曲线图如图3.1.1所示。由此容易得到x(n)=R4(n)的4点DFT为X(k)=DFTx(n)4=4(k)，这一特殊的结果在下面将得到进一步解释。第3章 离散傅里叶变换(DFT) 图 3-1 DFT与序列傅里叶变换、Z变换的关系 第3章 离散傅里叶变换(DFT) knNW3.1.3 DFT的隐含周期性的隐含周期性 前面定义的DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列，但由于的周期性，使(3.1.1)和(3.1.2)式中的X(k)隐含周期性，且周期均为N。对任意整数m，总有所以(3.1.1)式中，X（k)满足
10、：(),kk mNNNNWWk m为整数, 为自然数，11()00( )( )( )()NNknk mN nNNnnX kx n Wx n WX kmN11()0011( )( )( )()NNknk n mNNNkkx nX k WX k Wx nmNNN第3章 离散傅里叶变换(DFT) (3.1.5)(3.1.6)( )()mx nx nmN( )( )( )Nx nx nRn上述关系如图3.1.2（a）和（b）所示。一般称周期序列中从n=0到N1的第一个周期为的主值区间，而主值区间上的序列称为的主值序列。因此x(n)与的上述关系可叙述为：是x(n)的周期延拓序列，x(n)是的主值序列。)
11、(nx)(nx)(nx)(nx)(nx)(nx实际上，任何周期为N的周期序列都可以看做长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列，而x(n)则是 的一个周期，即)(nx)(nx第3章 离散傅里叶变换(DFT) 为了以后叙述简洁，当N大于等于序列x(n)的长度时，将(3.1.5)式用如下形式表示：(3.1.7)式中x(n) N表示x(n)以N为周期的周期延拓序列，(n)N表示模N对n求余，即如果n=MN+n1 0n1N1, M为整数则(n)N=n1 例如，, 则有所得结果符合图3.1.2（a）和（b）所示的周期延拓规律。( )( )Nx nx n88, ( )( )Nx nx n88(8)(8)
