晶体的对称性

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1、固体物理学固体物理固体物理1 晶体在几何外形上表现出明显的对称性晶体在几何外形上表现出明显的对称性 对称性的性质也在物理性质上得以体现对称性的性质也在物理性质上得以体现介电常数表示为二阶张量介电常数表示为二阶张量( , , )x y z ED电位移电位移01/341.5 1.5 晶体的晶体的宏观宏观对称性对称性晶体的理想外形及其在宏观观察中表现出来的对称性称为晶体的宏观对称性. 晶体的宏观对称性是在晶体微观对称性基础上表现出来的.固体物理学固体物理固体物理2ED电位移电位移 对于立方对称的晶体对于立方对称的晶体0ED0介电常数看作一个简单的标量介电常数看作一个简单的标量固体物理学固体物理固体物

2、理3000000/ 六角对称晶体六角对称晶体 将坐标轴取在六角轴和垂直于六角轴的平面内将坐标轴取在六角轴和垂直于六角轴的平面内介电常数介电常数固体物理学固体物理固体物理4000000/E/EDEED平行轴平行轴(六角轴六角轴)分量分量垂直于六角轴分量垂直于六角轴分量 由于六角晶体的各向异性，具有光的双折射现象由于六角晶体的各向异性，具有光的双折射现象 立方晶体的光学性质则是各向同性的立方晶体的光学性质则是各向同性的固体物理学固体物理固体物理5 原子的周期性排列形成晶格原子的周期性排列形成晶格 不同的晶格表现出不同的宏观对称性不同的晶格表现出不同的宏观对称性晶体宏观对称性晶体宏观对称性 考察晶体

3、在正交变换的不变性考察晶体在正交变换的不变性 三维情况下，正交变换的表示三维情况下，正交变换的表示 矩阵是正交矩阵矩阵是正交矩阵111213122223131333xaaaxyaaayzaaaz3, 2, 1,jiaij晶体的宏观对称性的描述晶体的宏观对称性的描述05/34固体物理学固体物理固体物理6 绕绕z轴转轴转 角的正交矩阵角的正交矩阵1000cossin0sincos固体物理学固体物理固体物理7 中心反演的正交矩阵中心反演的正交矩阵100010001 空间转动，矩阵行列式等于空间转动，矩阵行列式等于1 空间转动加中心反演，矩阵行列式等于空间转动加中心反演，矩阵行列式等于1固体物理学固体

4、物理固体物理8 一个晶体在某一变换后，晶体在空间的分布保持不变，这一变换称为对称性操作。 对称操作的数目越多，晶体的对称性就越高，晶体的对称类型是由少数基本的对称操作组合而成。如果包括平移，有230种对称类型，称为空间群。若不包括平移，有32种宏观对称类型，称为点群。固体物理学固体物理固体物理91.转动 将晶体绕某轴旋转一定角度后，晶体能自身重合的操作。 若转动的角度2/n ,则称该轴为n重旋转轴。 由于晶体周期性的制约，晶体只有1，2，3，4，6五种转轴，也用C1，C2，C3，C4，C6表示。1122331000cossin0sincosxxxxxx固体物理学固体物理固体物理10为什么没有5

5、度旋转轴？ 设设B1ABA1是晶体中某一晶是晶体中某一晶面上的一个晶列，面上的一个晶列，AB为这一晶为这一晶列上相邻的两个格点列上相邻的两个格点。A1ABB1 AB 若晶体绕通过格点若晶体绕通过格点A并垂直于并垂直于纸面的纸面的u轴顺时针转轴顺时针转 角后能自身重角后能自身重合，则由于晶体的周期性，通过格合，则由于晶体的周期性，通过格点点B也有一转轴也有一转轴u。, ,ABBA2cos1BA AB是是 的整数倍，的整数倍， 固体物理学固体物理固体物理111 ,21, 0cos ,23,212,62,42相反若相反若逆时针转逆时针转 角后能自身重合，则角后能自身重合，则A1ABB1 AB, ,A

6、BBA2cos1BA AB是是 的整数倍，的整数倍， 1,21, 0cos ,32,222,32,42 643212, , , , ,n,n综合上述证明得：综合上述证明得：固体物理学固体物理固体物理12晶体对称定律：晶体对称定律：在晶体中不可能存在五次在晶体中不可能存在五次及高于六次的对称轴。及高于六次的对称轴。因为不符合空间格因为不符合空间格子规律，其对应的网孔不能毫无间隙地布子规律，其对应的网孔不能毫无间隙地布满整个平面。满整个平面。固体物理学固体物理固体物理132.中心反演 将任一点（x1,x2,x3）变成（-x1,-x2,-x3）的操作。112233100010001xxxxxx100

7、010001A固体物理学固体物理固体物理143.镜面反演 以x1=0的平面为镜面，将任一点（x1,x2,x3）变成（-x1, x2, x3）的操作。112233100010001xxxxxx100010001A固体物理学固体物理固体物理4.旋转反演操作（象转操作） 若绕某轴旋转2/n 角度后再经中心反演，晶体能自身重合，则称该操作为旋转反演操作，此轴称为n度旋转反演轴。n=1,2,3,4,6.分别用 表示。3i (表示联合操作）36i (表示联合操作）664321,固体物理学固体物理固体物理161 立方体的对称操作立方体的对称操作 1) 绕三个立方轴转动绕三个立方轴转动 9个对称操作个对称操作

8、23,2固体物理学固体物理固体物理17 共有共有6个对称操作个对称操作2) 绕绕6条面对角线轴转动条面对角线轴转动固体物理学固体物理固体物理18 8个对称操作个对称操作3) 绕绕4个立方体对角线个立方体对角线轴转动轴转动34,324) 正交变换正交变换(不动不动) 1个对称操作个对称操作10001000110/34固体物理学固体物理固体物理19 立方体的对称操作共有立方体的对称操作共有48个个5) 以上以上24个对称操作个对称操作 加中心反演仍是对称操作加中心反演仍是对称操作固体物理学固体物理固体物理202 正四面体的对称操作正四面体的对称操作 四个原子位于正四个原子位于正四面体的四个顶角上四

9、面体的四个顶角上 金刚石晶格金刚石晶格 对称操作包含在对称操作包含在 立方体操作之中立方体操作之中 固体物理学固体物理固体物理21 共有共有3个对称操作个对称操作1) 绕三个立方轴转动绕三个立方轴转动 8个对称操作个对称操作2) 绕绕4个立方体对角线轴转动个立方体对角线轴转动34,323) 正交变换正交变换 1个对称操作个对称操作100010001固体物理学固体物理固体物理22 6个对称操作个对称操作4) 绕三个立方轴转动绕三个立方轴转动23,2加中心反演加中心反演 6个对称操作个对称操作5) 绕绕6条面对角线轴转动条面对角线轴转动加上中心反演加上中心反演 正四面体正四面体 对称操作共有对称操

10、作共有24个个15/34固体物理学固体物理固体物理233 正六面柱的对称操作正六面柱的对称操作 1) 绕中心轴线转动绕中心轴线转动35,34,32,3 5个个 3个个3) 绕相对面中心连线转动绕相对面中心连线转动 3个个4) 正交变换正交变换5) 12个对称操作加中心反演个对称操作加中心反演 正六面柱的对称操作有正六面柱的对称操作有24个个2) 绕对棱中点连线转动绕对棱中点连线转动 1个个固体物理学固体物理固体物理24对称素对称素 简洁明了地概括一个物体的对称性简洁明了地概括一个物体的对称性对称素对称素 一个物体的旋转轴、旋转反演轴一个物体的旋转轴、旋转反演轴 物体绕某一个转轴转动物体绕某一个

11、转轴转动 加上中心反演的联合操作加上中心反演的联合操作 以及其联合操作的倍数不变时以及其联合操作的倍数不变时 该轴为该轴为n重旋转反演轴，计为重旋转反演轴，计为2 /nn4 对称素对称素 物体绕某一个转轴转动物体绕某一个转轴转动 ，以及其倍数不变时，以及其倍数不变时 该轴为该轴为n重旋转轴，计为重旋转轴，计为2 /nn固体物理学固体物理固体物理25面对角线面对角线 为为2重轴，计为重轴，计为2( ) 立方体立方体3(,)22立方轴立方轴 为为4重轴，计为重轴，计为44同时也是同时也是4重旋转反演轴，计为重旋转反演轴，计为2同时也是同时也是2重旋转反演轴，计为重旋转反演轴，计为固体物理学固体物理