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1、 第第8 8章章 压压杆稳定杆稳定轴轴向拉、压杆的强度条件为向拉、压杆的强度条件为 示例：示例：一长为一长为300mm的钢板尺，横截面尺寸为的钢板尺，横截面尺寸为 20mm 1 mm，钢，钢的许用应力为的许用应力为 =196MPa。 由强度条件，由强度条件，钢板尺允许承受压力钢板尺允许承受压力为为 F = A = 3.92 kN81 压杆稳定压杆稳定的概念的概念 实际上加实际上加的轴向压力达到的轴向压力达到40N时，钢板尺就突然发明显时，钢板尺就突然发明显的弯曲变形，丧失的弯曲变形，丧失了承载能力。了承载能力。一、引言一、引言 maxmax NA 由此看出：工程中有些受压构件具有足够的强度、由
2、此看出：工程中有些受压构件具有足够的强度、刚度，却不一定能安全可靠地工作刚度，却不一定能安全可靠地工作.此类伴随弯曲变形的此类伴随弯曲变形的失效称为失效称为失稳失效失稳失效。构件的承载能力构件的承载能力 强度强度 刚度刚度 稳定性稳定性内燃机、空气压缩机的连杆内燃机、空气压缩机的连杆二、二、工程实例工程实例 案例案例1 20世纪初，美国桥梁学家库柏在圣劳伦斯河上建造世纪初，美国桥梁学家库柏在圣劳伦斯河上建造魁比克大桥魁比克大桥(Quebec Bridge)1907年年8月月29日，在施工时发生稳定日，在施工时发生稳定性破坏，性破坏，85位工人死亡，成为上世纪十大工程惨剧之一位工人死亡，成为上世
3、纪十大工程惨剧之一.三、失稳三、失稳破坏案例破坏案例 案例案例2 1995年年6月月29日下午，韩国汉城三丰百货大楼，由日下午，韩国汉城三丰百货大楼，由于盲目于盲目扩建加扩建加层，致使大楼四五层立柱不堪重负而产生失稳破层，致使大楼四五层立柱不堪重负而产生失稳破坏使大楼倒塌，死坏使大楼倒塌，死502人，伤人，伤930人，失踪人，失踪113人人. 案例案例3 2000年年10月月25日南京电日南京电视台演播中心视台演播中心由于脚手架失由于脚手架失稳造成稳造成屋屋顶模板倒塌，死顶模板倒塌，死6人，伤人，伤34人人.1、平衡的稳定性、平衡的稳定性四、压杆稳定的四、压杆稳定的基本概念基本概念随遇平衡随遇
4、平衡2、弹性、弹性压杆压杆的稳定性的稳定性直线平衡直线平衡曲线平衡曲线平衡失稳失稳稳定平衡稳定平衡状态状态 临界平衡状态临界平衡状态 不稳定平衡状态不稳定平衡状态 关键关键确定压杆的临界力确定压杆的临界力 crFF crFF crFF 稳稳定定平平衡衡不不稳稳定定平平衡衡临界状态临界状态临界压力临界压力: :过过度度对应的对应的压力压力一、两一、两端绞支细长压杆的临界压力端绞支细长压杆的临界压力mmwBxlF8.2 压杆的临界压力压杆的临界压力By弯矩弯矩挠曲挠曲线近似微分方程线近似微分方程压杆任一压杆任一 x 截面沿截面沿 y 方向的位移方向的位移)(xfw ( )M xFw( )EIwM
5、xFw（a)令令 EIFk 2(b)式的通解为式的通解为)c (cossinkxBkxAw （A、B为积分常数）为积分常数）02 wkw(b) ( ) M xwEIBy边界条件边界条件 由公式由公式(c)讨论：讨论：0, 0 wx0, wlx000cos0sin BBA0 0 klAsin0 0 A0sin kl若若 0 00 0 wA,mmwBxlF), 2 , 1 , 0(0sin nnklkl必须必须两端两端铰支等截面细长受压直杆临界铰支等截面细长受压直杆临界力的力的欧拉公式欧拉公式), 2 , 1 , 0(2 nnklEIFk), 2 , 1 , 0(222 nlEInF令令 n =
6、1, 得得2cr2EIFl 临界临界力与抗弯刚度力与抗弯刚度EI成正比，与长度成正比，与长度l2成反比。成反比。mmwBxlF二、不同杆端约束情况下细长压杆的临界力二、不同杆端约束情况下细长压杆的临界力1 1、细长、细长压杆压杆的形式的形式两两端端铰铰支支一端一端自由自由一端一端固定固定一端一端固定固定一端一端铰支铰支两两端端固固定定2、其它、其它支座条件下的支座条件下的欧拉公式欧拉公式lFcr2l()2cr22EIFl Fcrl0.3l0.7l( . )2cr207EIFl Fcrl2cr2EIFl 欧拉公式的统一形式欧拉公式的统一形式22cr)(lEIF lFcrl/4l/4l/2( /
7、)2cr22EIFl l两端铰支两端铰支一端固定，另一端铰支一端固定，另一端铰支两端固定两端固定一端固定，另一端自由一端固定，另一端自由表表1 1 各种支承各种支承约束条件压约束条件压杆临界力的欧拉公式杆临界力的欧拉公式 支承情况支承情况临界力的欧拉公式临界力的欧拉公式长度因数长度因数 为压杆的长度系为压杆的长度系数，反应了约束情况对临界力数，反应了约束情况对临界力对的影响，约束越强对的影响，约束越强， 就越小，临界力就越高就越小，临界力就越高22crlEIF 22cr)7 . 0(lEIF 22cr)5 . 0(lEIF 22cr)2(lEIF 3、讨论、讨论 为长度因数为长度因数 l 为相
8、当长度为相当长度（1）相当长度）相当长度 l 的物理意义的物理意义 压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度（即折算成两端压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度（即折算成两端铰支杆的长度）就是压杆的铰支杆的长度）就是压杆的相当长度相当长度 l . l是各种支承条件下，细长压杆是各种支承条件下，细长压杆失稳时，挠曲线中失稳时，挠曲线中相当相当于半波正于半波正弦弦曲线的一段曲线的一段长度长度.22cr)(lEIF zyx 若杆端在各个方向的约束情况不同（如柱若杆端在各个方向的约束情况不同（如柱形铰），应分别计算杆在不同方向失稳时的临形铰），应分别计算杆在不同方向失稳时的临界压力。界压力。I 为其相应中性轴的
9、惯性矩为其相应中性轴的惯性矩. 即分别用即分别用 Iy ，Iz 计算出两计算出两个临界压力，个临界压力，然后然后取小的一个作为压杆取小的一个作为压杆的临界压力。的临界压力。（2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I 若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形铰等），则若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形铰等），则 I 应取最小的形心主惯性矩应取最小的形心主惯性矩. 例例8.1 已知已知一内燃机的连杆为细长一内燃机的连杆为细长压杆。截面压杆。截面形状为工字形状为工字钢形，惯性矩钢形，惯性矩Iz=6.510 4 mm4, Iy=3.810 4 mm4，弹性模量，弹性
10、模量E=2.110 5 MPa。试。试计算临界力计算临界力Fcr.x8801000yzyxz880 xyz轴销FFlxz880（1）杆件在两个方向的约束情况不同；）杆件在两个方向的约束情况不同；x8801000yzy（2）计算出两个临界压力）计算出两个临界压力. 最后取小的一个作为最后取小的一个作为压杆的压杆的临界压力临界压力.分析思路：分析思路：解：解：kN6 .134)11(105 . 6101 . 214. 3)(2811222cr lEIF kN4 .406)88. 05 . 0(108 . 3101 . 214. 3)(2811222cr lEIF 所以连杆的临界压力为所以连杆的临界
11、压力为134.6kN.xOy面：两端铰支面：两端铰支 =1，I=Iz，l=1mxOz面：两端固定面：两端固定 =0.5，I=Iy，l=0.88mx8801000yzyFFlxz880 当当压杆受临界力压杆受临界力Fcr作用时，横截面上的压应力作用时，横截面上的压应力可按可按 = F/A 计算计算. 三、三、 欧拉公式的欧拉公式的应用范围应用范围-经验公式经验公式、临界临界应力应力欧拉公式欧拉公式临界应力临界应力 按按各种支承情况下压杆临界力的欧拉公式算出压杆各种支承情况下压杆临界力的欧拉公式算出压杆横横截面上的临界应力截面上的临界应力为为AlEIAF22crcr)( i 为压杆横截面对中性轴的
12、惯性半径为压杆横截面对中性轴的惯性半径.()()(/ )2222crcr222FEIEEiAlAll i 称为压杆的柔度（长细比），集中地反映了压杆的称为压杆的柔度（长细比），集中地反映了压杆的长度长度l和杆端约束条件、截面尺寸和形状等因素对和杆端约束条件、截面尺寸和形状等因素对临界应力临界应力的影响的影响. 令令il AIi 22cr E crcrAF 令令则则则则、 欧拉公式的应用欧拉公式的应用范围范围 只有在只有在 cr p 的的范围内，才可以用欧拉公式范围内，才可以用欧拉公式计算压杆计算压杆的临界压力的临界压力 Fcr（临界应力（临界应力 cr ）.或或2crp2 E 1pE 2p E
13、 令令 即即 1，大柔度杆大柔度杆，为，为欧拉公式欧拉公式的适用范围的适用范围 当当 1 时，即时，即 cr p，但，但 cr s，此时压杆仍属于，此时压杆仍属于稳定性问题，但不能应用欧拉公式，此时需用经验公式稳定性问题，但不能应用欧拉公式，此时需用经验公式. 1 的大小取决于压杆材料的大小取决于压杆材料的力学性能的力学性能 Q235钢钢，可取，可取 E=206GPa， p=200MPa，得，得916p206 10100200 10E . . 常用的经验常用的经验公式公式式中：式中：a 和和 b是与材料有关的常数，可是与材料有关的常数，可查表得出。查表得出。 2 是对应是对应直线公式直线公式的
14、最低线。的最低线。对于对于Q235钢，可取钢，可取 a=304MPa，b=1.12MPa，s=235MPa ，得得2=61.6直线公式直线公式scr ba 的杆为的杆为中柔度杆中柔度杆，其临界应力用经验公式，其临界应力用经验公式. 12 或或bas bas 2 2令令1 12 、压杆的分类及临界应力压杆的分类及临界应力总图总图1、压、压杆杆的分类的分类 ba crscr （1）大）大柔度杆柔度杆（2）中）中柔度杆柔度杆（3）小）小柔度杆柔度杆2 22cr E 2、临界、临界应力总图应力总图scr ba cr22cr E cr 1 1 2 2Ps 例例8.2 图示图示各杆均为圆形截面细长压杆各杆
15、均为圆形截面细长压杆. 已知各杆的材已知各杆的材料及料及直径相等。问直径相等。问哪个杆先失稳哪个杆先失稳?dF1.3 a BF1.6 aCaFA解：解：可知可知A杆先失稳杆先失稳.杆杆Aal22 杆杆Bal3 . 11 杆杆Caal12. 16 . 17 . 07 . 0 il 由柔度由柔度的公式的公式：dF1.3 a BF1.6 aCaFA 例例8.3 压杆截面如图所示压杆截面如图所示. 两端为柱形铰链两端为柱形铰链约束，约束，绕绕 y 轴轴失稳失稳可视为两端固定，若绕可视为两端固定，若绕 z 轴失稳可视轴失稳可视为两端为两端铰铰支支. 已知，杆已知，杆长长l=1m ，材料的弹性模量，材料的
16、弹性模量E=200GPa， p=200MPa. 求压杆的求压杆的临界力临界力.30mm20mmyz解：解：m0058. 002. 003. 0)02. 003. 0(1213 AIiyym0087. 0 AIizz15 . 0 zy 11586 zzzyyyilil 因为因为 z y ，所以压杆绕，所以压杆绕 z 轴先失稳，且轴先失稳，且 z =115 1，用欧拉公式计算临界力用欧拉公式计算临界力.kN5 .8922crcr zEAAF 1p99E 30mm20mmyz 例例8.4 外径外径 D = 50 mm，内径，内径 d = 40 mm 的钢管，两端铰的钢管，两端铰支，材料为支，材料为
17、Q235钢，承受轴向压力钢，承受轴向压力 F。 试求试求（1）能用欧拉公式时压杆的最小长度；）能用欧拉公式时压杆的最小长度；（2）当压杆长度为上述最小长度的）当压杆长度为上述最小长度的 3/4 时，压杆的临界压力时，压杆的临界压力. （已知（已知： E = 200 GPa， p= 200 MPa ， s = 240 MPa ，用直线用直线公式时，公式时，a = 304 MPa， b =1.12 MPa.）解：（解：（1 1）能用欧拉公式时压杆的最小长度）能用欧拉公式时压杆的最小长度压杆压杆 = 11p100E 222244414)(64)(dDdDdDAIi 1004122 dDlilm6 .
18、 11404. 005. 010022min l（2）当）当 l = 3/4 lmin 时，时，Fcr=?用直线公式计算用直线公式计算m2 . 143min ll122754 dDlil 5712. 1240304s2bakN5 .155)(4)(22crcr dDbaAF 一、稳定性条件一、稳定性条件二、计算步骤二、计算步骤（1）计算最大的柔度系数）计算最大的柔度系数 max； （2）根据）根据 max 选择临界应力公式，选择临界应力公式，计算临界计算临界压力压力；（3）根据稳定性条件，判断压杆的稳定性、设计截面尺寸）根据稳定性条件，判断压杆的稳定性、设计截面尺寸或确定许可载荷或确定许可载荷
19、.8-3 压压杆的杆的稳定性计算稳定性计算crstFFncrstFnnFn为工作安全因素为工作安全因素 例例8.5 活塞杆（两端铰支）由活塞杆（两端铰支）由45号钢制成，号钢制成， s = 350MPa ， p = 280MPa E=210GPa， a= 461MPa， b= 2.568 MPa， 长长度度 l = 703mm ，直径，直径 d=45mm. 最大压力最大压力 Fmax = 41.6kN. 规定规定稳定安全系数为稳定安全系数为 nst = 8-10 . 试校核其稳定性试校核其稳定性.两端铰支两端铰支解：解： = 1截面为圆形截面为圆形1p86E 4dAIi 62.5li 由于由于
20、 1 1 不能用欧拉公式计算临界压力不能用欧拉公式计算临界压力.用用直线公式直线公式，查表：，查表：a= 461MPab= 2.568 MPa 2 .43s2ba可由直线公式计算临界应力可由直线公式计算临界应力. 2 1MPa301cr ba临界压力是临界压力是crcr478kNFA活塞的工作安全因数活塞的工作安全因数crst11.5FnnF所以满足稳定性要求所以满足稳定性要求. . 由于cr与压杆的柔度有关，而且考虑到不同柔度的压杆其失稳的危险性也有所不同，故所选用的稳定安全因数nst也随 变化，因此稳定许用应力st是一个与压杆柔度的关系比较复杂的量。 crcrststst,1nn 折减系数
21、 = ()随压杆柔度变化三、折减系数三、折减系数crststn压杆的稳定许用应力压杆的稳定许用应力 我国钢结构设计规范根据对常用截面形式、尺寸和加我国钢结构设计规范根据对常用截面形式、尺寸和加工工艺的工工艺的96根钢压杆，并考虑初曲率和加工产生的残余应根钢压杆，并考虑初曲率和加工产生的残余应力所作数值计算结果，在选取适当的安全因数后，给出了力所作数值计算结果，在选取适当的安全因数后，给出了钢压杆稳定因数钢压杆稳定因数与柔度与柔度l的一系列关系值。的一系列关系值。 该规范按钢压杆中残余应力对临界应力的影响从小到大该规范按钢压杆中残余应力对临界应力的影响从小到大分为分为a，b，c三类截面。大多数钢
22、压杆可取作三类截面。大多数钢压杆可取作b类截面压杆。类截面压杆。表表1为为Q235钢钢b类截面中心压杆随柔度类截面中心压杆随柔度变化的稳定因数变化的稳定因数 。表表1 Q235钢钢b类截面中心受压直杆的稳定因数类截面中心受压直杆的稳定因数 例例8.6 图图a，b，c所示两端球形铰支的组合截面中心压杆，所示两端球形铰支的组合截面中心压杆，由两根由两根110 mm70 mm7 mm的角钢用缀条和缀板的角钢用缀条和缀板联成整体，材料为联成整体，材料为Q235钢，强度钢，强度许用应力许用应力 =170 MPa。试求该试求该压杆的稳定许用应力。压杆的稳定许用应力。 解：解：1. 确定组合截面形心和形心主
23、惯性轴确定组合截面形心和形心主惯性轴查表：截面的形心离角钢短肢的距离查表：截面的形心离角钢短肢的距离y035.7 mm，并在对称轴并在对称轴y轴上。轴上。2. 计算组合截面的形心主惯性矩计算组合截面的形心主惯性矩4444mm10306mm101532zI442244mm10235mm5 . 7mm1 .16mm1230mm1001.492yIImax= Iz ，Imin= Iy , z 轴为强轴，y轴为弱轴。3. 计算压杆的柔度计算压杆的柔度 压杆两端为球形铰支座，各平面约束相同，故失稳时横压杆两端为球形铰支座，各平面约束相同，故失稳时横截面将绕弱轴截面将绕弱轴 y 轴转动。压杆的柔度应据此计
24、算。轴转动。压杆的柔度应据此计算。mm9 .30mm12302mm10235244AIiyy97m109 .30m31 3il4. 计算压杆的稳定许用应力计算压杆的稳定许用应力 按按b b类截面中心压杆，由表查得类截面中心压杆，由表查得97时时0.575，从而得从而得 MPa8 .97MPa170575. 0st欧拉公式欧拉公式22()crEIFl越大越稳定越大越稳定crF1、减小、减小压杆长度压杆长度 l2、减小、减小长度系数长度系数（增强约束）（增强约束）3、增大、增大截面惯性矩截面惯性矩 I（合理选择截面形状）（合理选择截面形状）4、增大、增大弹性模量弹性模量 E（合理选择材料）（合理选
25、择材料）8-4 提高提高压杆稳定性的措施压杆稳定性的措施11-6目录提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施1、减小、减小压杆长度压杆长度 l2、减小、减小长度系数长度系数（增强约束）（增强约束）3、增大、增大截面惯性矩截面惯性矩 I（合理选择截面形状）（合理选择截面形状）大柔度杆大柔度杆22()crEIFl中柔度杆中柔度杆crab优质钢优质钢在一定程度上可以提高临界应力的数值。在一定程度上可以提高临界应力的数值。由于各种钢材由于各种钢材E E大致相同大致相同, ,选用优质钢和低碳钢并无选用优质钢和低碳钢并无很大差别。很大差别。小柔度杆小柔度杆crs本身就是强度问题，优质钢强度高，优越性自然是本身就是强度问题，优质钢强度高，优越性自然是很明显的。很明显的。4、增大、增大弹性模量弹性模量 E（合理选择材料）（合理选择材料）作业：作业： 8-2 8-5
