第五章__大数定律与中心极限定理

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1、第一节第一节 大数定律大数定律第二节第二节 中心极限定理中心极限定理 第五章第五章 大数定律和中心极限定理大数定律和中心极限定理第第5章概述章概述 大数定律和中心极限定理就是大数定律和中心极限定理就是使用使用极限极限方法方法研究大量随机现象统计规律性研究大量随机现象统计规律性. 阐明阐明大量重复试验的平均结果具有稳定性大量重复试验的平均结果具有稳定性的的一系列定律都称为一系列定律都称为大数定律大数定律. 论证论证随机变量（试验结果）之和渐进服从某随机变量（试验结果）之和渐进服从某一分布一分布的定理称为的定理称为中心极限定理中心极限定理. 切比雪夫不等式切比雪夫不等式证明证明.,)(,)(222

2、成成立立不不等等式式则则对对于于任任意意正正数数方方差差具具有有数数学学期期望望设设随随机机变变量量定定理理XPXDXEX 对连续型随机变量的情况来证明对连续型随机变量的情况来证明.( ),Xf x设的概率密度为则有 切比雪夫不等式切比雪夫不等式.22XP 221()( )xf x dx.122 22( )x xf x dx22XP .122XP 得得XP ( )x f x dx定理说明定理说明, ,由随机变量的数学期望和方差由随机变量的数学期望和方差, ,也可以也可以对随机变量取值的统计规律提供一些信息对随机变量取值的统计规律提供一些信息. .例例1 在每次试验中在每次试验中,事件事件A发生

3、的概率为发生的概率为0.5.(1)利用切比雪夫不等式估计在利用切比雪夫不等式估计在1000次独立试验中次独立试验中,事件事件A发生的次数在发生的次数在400 600之间的概率之间的概率;(2)要使要使A出现的频率在出现的频率在0.35 0.65之间的概率不小之间的概率不小于于0.95, 至少需要多少次重复试验至少需要多少次重复试验?解解: 设设X表示表示1000次独立试验中事件次独立试验中事件A发生的次数发生的次数, 则则X B(1000,0.5), E(X)=1000 0.5=500,D(X)=1000 0.5 0.5=250,400600PX400500500600500|()| 100P

4、XPXE X由切比谢夫不等式得由切比谢夫不等式得(2)设需要做设需要做n次独立试验次独立试验, 则则X B(n, 0.5), 求求n使得使得0.350.650.95XPn22()250110.975100100D X 95. 015. 05 . 05 . 065. 05 . 05 . 035. 065. 035. 0 nnXPnnnXnnPnXP 2 .222,95. 09 . 011)15. 0(25. 01)15. 0(115. 05 . 022 nnnnnDXnnXP只只要要成立成立,由切比谢夫不等式得由切比谢夫不等式得故至少需要做故至少需要做223次独立试验次独立试验. 大数定律大数定

5、律 概率论中有关阐明概率论中有关阐明大量随机现象平大量随机现象平均结果的稳定性均结果的稳定性的一系列定理。的一系列定理。 迄今为止迄今为止,人们已发现很多人们已发现很多大数定律大数定律(laws of large numbers)所谓大数定律，简单地说，就是所谓大数定律，简单地说，就是大大量数目的随机变量所呈现出的规律量数目的随机变量所呈现出的规律，这种规律一般，这种规律一般用随机变量序列的某种收敛性来刻画。用随机变量序列的某种收敛性来刻画。1.1.伯努利大数定理伯努利大数定理lim | 1nnPpn,0,nEnApA定理设试验 重复进行了 次 事件 在每次实验中出现的概率为表示事件 发生的次

6、数,则对任意有证明证明: ( , ),nb n p因为(),()(1)nnEnp Dnpp故21(1)(),()()nnnppEp DDnnnn从而2| 1DXP XEX 由切比雪夫不等式，lim()1nnPpn从而22()(1)()11nnDppnPpnn n 令2(1)11ppn伯努利大数定律说明了伯努利大数定律说明了当重复独立试验次数当重复独立试验次数 n 很大时，频率与其概率之差可为任意小很大时，频率与其概率之差可为任意小， 即说明了其即说明了其频率的稳定性频率的稳定性。从而在实际推断中，当试验次数较大时，可以从而在实际推断中，当试验次数较大时，可以用事件发生的频率来近似代替概率。用事

7、件发生的频率来近似代替概率。1,(1,2)0iiAXiniA第次实验中事件 发生 若记，第次实验中事件 不发生1,nniiX则11,nniiXnn1111( )(),nniiipP AE Xnn从而定理可写成：1111lim()1nniiniiPXE Xnn2.2.切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律 1211,()(1,2)0,11lim()1ninniiniiXXXcD Xc iPXE Xnn设相互独立的随机变量序列的数学期望与方差都存在,且存在常数 ,使得,则对任意有211111111()1nnniiiiiiPXE XDXnnn 21cn 证明证明: 由期望与方差的性质知1111()()nn

8、iiiiEXE Xnn11()niiDXn211()niiD Xn21ncncn利用切比雪夫不等式,1111lim()1nniiniiPXE Xnn所以 切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律表明，当表明，当n很大时，很大时，X1，X2 , ,，Xn的算术平均值的算术平均值 niiXnX11的取值，集中在其数学期望的取值，集中在其数学期望11()()niiE XE Xn附近。附近。121,()(),1lim()1niininiXXXE XD XPXn2推论 设随机变量序列相互独立,且具有相同的期望和方差：= ,=则对任意正数 ，有这使我们关于算术平均值的法则有了理论上的依据。这使我们关于算术平均值的

9、法则有了理论上的依据。12,nXXX由大数定律知，只要由大数定律知，只要n充分大，则以接近于充分大，则以接近于1的概率保证的概率保证这便是在这便是在n较大情况下反映出的客观规律较大情况下反映出的客观规律,故称为故称为“大数大数”定定律律 如我们要测量某段距离，在相同条件下重复进行如我们要测量某段距离，在相同条件下重复进行n次，得次，得n个测量值个测量值 ，它们可以看成是，它们可以看成是n个相个相互独立的随机变量具有相同的分布、相同的数学期望互独立的随机变量具有相同的分布、相同的数学期望和方差和方差 ， 2niiXn11例212,n 设随机变量序列相互独立 具有如下分布列nPna0na212n2

10、11n212n.问是否满足切比雪夫大数定律解:由题意12,n 相互独立 又222111()0 (1)022nEnanannn 22()()()nnnDEE2222222221110(1)022n an annn2a即每个随机变量都具有即每个随机变量都具有有限的数学期望有限的数学期望,有限的方差有限的方差,满足定律满足定律.lim | 1nnPXa则称则称 Xn 依概率收敛依概率收敛于于a, , 记作记作: :PnXa 12,nX XXa定义 设是一个随机变量序列，是一个常数，若对任意正数 ，有 人们已经知道，在自然界和生产实践中遇到大人们已经知道，在自然界和生产实践中遇到大量随机变量都服从或近