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1、概率论与数理统计 A 复习纲要第一局部：知识点学好用好数学的关键是概念清楚，正确使用公式和法那么，把握根本的解题思路和方法。以下的 知识点是根本的，请你结合课本认真复习、总结。1随机试验，样本点，样本空间，随机事件。 2子事件，和事件，积事件，差事件，逆事件。一组事件两两互不相容。 3和、差、积、逆的运算及其交换律、结合律、分配率、对偶律。 4概率的非负性、标准性、可加性；逆事件的概率，加法公式。 5等可能概型的概念，等可能概型的概率计算公式。6条件概率的意义，条件概率的定义式，乘法定理。 7全概率公式，贝叶斯公式。什么情况下用全概率公式，什么情况下用贝叶斯公式？ 8多个事件相互独立。9. n
2、重贝努利试验的概念，概率Pn(k)的计算公式。10怎样用随机变量表示随机事件？11. 离散型随机变量的分布律及其性质。三种常用分布：X : (0 1), X : B(n,p), X : ( ).Poisson 定理(用 Poisson 分布近似二项分布，条件、近似等式) 。12. 随机变量的分布函数 F(x)的定义，根本性质。13怎样利用分布函数 F(x)求以下随机事件的概率？x a, a x b, x a, x a .14.怎样由离散型随机变量X 的分布律求 X 的分布函数 F(x)？15连续型随机变量的分布函数F(x)与概率密度函数f (x)之间是什么关系？其中一个，怎样求出另一个？16.
3、 连续型随机变量的概率密度函数f (x)都有哪些性质？怎样利用概率密度函数f(x)求以下随机事件的概率？x a, a x b, x a .Px a ?17. 连续型随机变量的三种常用分布：2X : U(a,b), X : E( ), X : N( , 2).18. 怎样将一般正态分布的概率计算转化并通过标准正态分布来计算？请写出转化公式。19. 离散型随机变量 X的分布律，怎样求函数 Y g(X)的分布律？20. 连续型随机变量 X的概率密度函数f (x)，怎样求函数 Y g(X )的概率密度函数？21. 二维随机变量(X,Y)的分布函数(又称联合分布函数)F(x, y)的定义，根本性质。22
4、二维离散型随机变量 (X,Y)的联合分布律的定义、非负性、标准性。23. 二维连续型随机变量(X ,Y)的分布函数F (x, y)与概率密度函数(又称联合概率密度函数)f (x,y) 之间是什么关系？其中一个，怎样求出另一个？24. 二维连续型随机变量的概率密度函数f (x, y)都有哪些性质？请写出利用概率密度函数 f (x, y)求(X ,Y)落在平面区域D内的概率的公式。25. 二维均匀分布的定义。26. 怎样由二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律求出它的两个边缘分布的分布律？27. 怎样由二维连续型随机变量(X ,Y)的联合概率密度函数 f (x, y)求出它的两个边缘分布的 边缘
5、概率密度函数？写出相应的计算公式。28. 随机变量 X,Y 相互独立的定义，判别的充分必要条件。29. 怎样求二维离散型随机变量的函数的分布？30. 二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度函数 f(x, y)，如何求出Z X Y的分 布函数？特别的，当 X,Y相互独立时，Z X Y的概率密度函数由卷积公式给出，请写出。31. 设X,Y相互独立，分布函数分别为 Fx(x), Fy(y)，写出MmaxX,Y与m min X,Y 的分布函数。232. 设X2,L , Xn 相互独立，且 Xi : N( i, i )(i 1,2,K , n)，请写出Z X1 X2 LXn所服从的分布。33. 离散
6、型随机变量、连续型随机变量，以及随机变量的函数的数学期望的计算公式。34. 数学期望的性质。35. 方差的定义式、计算式；方差的性质。36. 六种常用分布(0 1), B(n, p),( );U(a,b), E( ), N( , 2)的数学期望与方差。37. 怎样将随机变量X标准化？设X是X的标准化，那么E(X ) ?D(X )?设X : N( , 2) ，写出 X 的标准化 X 所服从的分布。2238. 设X,Y相互独立，且X : N( 1, J, Y:N(2, 2)，请写出X Y, X Y所服从的 分布；并写出他们的标准化所服从的分布。39协方差的定义式、计算式；协方差的性质。40相关系数
7、的定义式，性质。41方差、协方差、相关系数之间的转换关系式。42.“ X,Y相互独立与“ X,Y不相关的区别与联系。43契比雪夫不等式的意义。44大数定律的意义。45.中心极限定理(定理 1和定理2 )的意义与应用。46总体、抽样、样本、样本容量、样本值；简单随机样本；统计量。47. 样本均值、样本方差、样本 k阶矩、样本k阶中心矩；总体均值、总体方差、总体k阶矩。48. (3) 均值 ，求方差的置信区间;分布，t分布，F分布，上分位点的定义式。49. 会查表求标准正态分布，2分布，t分布，F分布的上 分位点。50.知道抽样分布疋理。51.设总体X : N(,2), X1, X2,L解并能推导
8、出下面的结果：2 XX : N(),n), s/、nn服从什么分布?,Xn为样本，X, S2分别为样本均值和样本方差，理1 nt(n 1), -2(Xi)2 :2(n)。i 1X/ .n52.参数估计主要解决什么问题？你学过的参数估计有哪几种方法？53 .未知参数的矩估计量和矩估计值；似然函数，极大似然估计量，极大似然估计值，似然方 程组。参数的估计量和估计值有什么不同？54. 知道矩估计法的原理，会利用矩估计法估计总体的未知参数。55. 会利用极大似然估计法估计总体的未知参数。56. 无偏估计量。知道以下结论：样本均值X是总体均值的无偏估计量；样本方差 S2是总体方差 2的无偏估计量。57.
9、 有效估计量，一致估计量。58. 对同一个未知参数，可以用不同方法构造出多个估计量。怎样去评价估计量的“无偏性 和“有效性？59 .置信下限，置信上限，置信区间，置信度。2 260.对于一般总体 X，设E(X) , D(X) 2 , X1, X2丄,Xn为样本，X, S分别为样 本均值和样本方差。当样本的容量n很大时，有以下结果：当2时，可用Un进行统计推断;当 未知时，可用TnS/ Jn 对进行统计推断;当时，可用Q当未知时，可用Q2 (Xii 1(n 1)S2 对)2对2进行统计推断;2进行统计推断。61. 对于单个正态总体，知道如何解决以下问题：2(1) 方差，求均值的置信区间;2(2)
10、 方差未知，求均值的置信区间;(4) 均值 未知，求方差 2的置信区间。62. 知道如何去求两个相互独立的正态总体在以下不同情形下期望差i 2的置信区间:(1) 方差12与22，求12的置信区间；2 2 2 2 2(2) 方差1与2未知，但12 ，求12的置信区间。263. 知道如何去求两个相互独立的正态总体方差比二的置信区间。264. 原假设H。，备择假设Hj，检验统计量，拒绝域，第一类错误，第二类错误，显著性水平, 显著性检验。65 假设检验的一般步骤。知道以下问题6673中的原假设H。，备择假设Hj，检验统计量，拒绝域，会求解相应的问题：66 .单一止态总体，方差2，对总体均值的假设检验
11、。分别针对“(1)双边检验，(2)单边检验。67.单一止态总体，方差22未知，对总体均值的假设检验。分别针对“(1)双边检验，(2)单边检验。68 .单一正态总体，均值，对总体方差2的假设检验。分别针对“(1)双边检验，(2)单边检验。69.单一正态总体，均值未知，对总体方差2的假设检验。分别针对“(1)双边检验，(2)单边检验。70.两个正态总体，方差2 21 ,2 ,对 Ho :12的双边检验；或对Ho:1 2 ( 12)的单边检验。71.两个正态总体，方差2 2 , , 21 ,2未知，但 12 22 ,，对 H o :12的双边检验；或对Ho: 12 ( 12)的单边检验。72 .两个
12、正态总体，数学期望1,2，对Ho :2 212的双边检验；或对Ho12( 12 )的单边检验。73 .两个正态总体，数学期望1,2未知，对Ho :2 212的双边检验；或对Ho2 2 22( 12 )的单边检验。74.相关关系，正相关，负相关，线性相关，非线性相关，样本相关系数；样本相关系数的性 质，总体相关系数的假设检验。275 .回归函数，一元线性回归的数学模型；一元线性回归的未知参数a,b, 的最小二乘估计，残差平方和，回归平方和，估计量的性质；线性相关假设检验的根本定理，线性相关假设检验的t检 验法、F检验法(方差分析法)；预测和控制。76. 单因素试验，单因素方差分析的数学模型，单因
13、素方差分析的任务。77. 平方和分解公式，SA和SE的统计特征，单因素方差分析的假设检验步骤，方差分析表。78. 局部总体均值 j和方差 2的估计。第二局部：试题类型一、填空题68小题1. 利用事件之间的关系，由概率求未知概率2. X服从六种常用分布之一，求X落在某个区间内的概率3. 分布律或概率密度，求待定系数4. 二维离散型随机变量的分布律，求一个边缘分布的分布律5. 判别样本的函数是否为统计量6. 判别未知参数的估计量是否为无偏估计7. X , Y都服从正态分布且相互独立，求aX bY服从的分布28. 关于正态分布，t, F分布的判定9利用切比雪夫不等式估计概率的值二、单项选择题68小题
14、1古典概型的概率计算2. 独立重复试验求概率23. 知XN,，求概率用到 0 0.54. 给出分布律，求分布函数，数学期望，方差5. 方差、协方差、相关系数的关系6. X,Y服从六大分布之一且相互独立，求数学期望或方差7. 条件概率8. 由的概率密度，求随机变量的函数的概率密度 29. 由给定的样本值，求 x,s三、计算题与应用题68小题1. 利用事件之间的关系包括独立性，由概率求未知概率2. 全概率公式或贝叶斯公式3. 给出概率密度，求分布函数，数学期望，方差4. 知f(x, y)，求待定系数，边缘概率密度，判别独立性，区域上的概率5. 利用中心极限定理求概率(独立同分布)6. 求总体分布中
15、未知参数的矩估计7. 求总体分布中未知参数的极大似然估计8. ,2的置信区间9假设检验(单个正态总体单边检验)10.回归方程，样本相关系数四、证明题(1小题)考试考前须知：1. 带计算器，但不允许互相借用计算器2. 不允许使用课本、笔记等，禁止作弊3. 在试卷后的附件中统一提供解题中需要的局部公式、数据，包括：(1) 正态总体均值、方差的置信水平为1的置信区间-区间估计(2) 正态总体均值、方差的检验法(显著性水平为)的有关公式：原假设H0备样假设H1检验统计量拒绝域(3) 需要查表的局部数据，包括：标准正态分布函数值，各种分位点的有关数值第三局部：历年试题一、填空题1. 设两事件 A, B
16、满足 P (A) =0.8 , P ( B) =0.6 , P ( B|A) =0.8，贝U P (AU B) =2某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02,独立射击 10次，至少击中两次的概率为 .3设随机变量(X,Y)有 D(X) 25,D(Y)36, XY 0.6，那么 D(X 2Y) .4设 X N(2,4), Y N(3,2)且 X 与 Y 相互独立，那么 2X Y .5 .设总体X的数学期望和方差,E(X) ,D(X)9,试用切比雪夫不等式估计P| X | 4 .6. t (n)为 t(n)分布的上 分位点，那么当 0.025时，Pt(n) to.025 (n) 7P(A) 0.
17、8,P(AB)0.5,且事件A与B相互独立，那么 P(B).&假设二维随机变量(X,Y)的联合概率分布为10.08 a 0.12,且X与Y相互独立,10.12 b 0.189随机变量 X U (0,2),那么 D(X)E(X)210正常男性成人血液中，每毫升白细胞平均数是7300,均方差是700 设X表示每毫升白细胞数，利用切比雪夫不等式估计P5200 X 9400 1111.设 X1,X2,X3是总体 X 的样本，？ 一(Xj aX2 X3),篦 -(bX1 X2 X3)是总46体均值的两个无偏估计，那么a , b 、单项选择题(每题2分，共14 分)1. 6本中文书和4本外文书，任
18、意往书架上摆放，那么4本外文书放在一起的概率是(A)4! 6!10!(B)10(C)4! 7!10!(D)4102设随机变量 X N(0,1)，那么Y e X的概率密度是(1 已2 y 00其它(C)ln2 y1T-=ey 0r-20其它)0y 0其它y 0其它3设X,Y是相互独立的两个随机变量,它们的分布函数分别为 Fx(x), FY(y),那么Z max(X,Y)的分布函数是()(A) Fz(z) maxFx(x), FY(y)(B) Fz(z) max| Fx(x)|,| FY(y)|4. 设随机变量X和Y的概率密度分别为fx(X)10 x0 其它fY (y)=14：2一 °(
19、x 3)232假设X和Y相互独立，那么E(XY)9(A)-22(B)-37(C) 23(D) -25设 Xi( i 1,2,n)为取自总体N(,2)的一个样本，其中未知，那么以下变量中哪一个是统计量(A)nXi211；(B)n(Xii 1)2(C)nXii 1(D)nXi ni 16在假设检验中，不拒绝原假设意味着(A) 原假设肯定是正确的(B) 原假设肯定是错误的(C) 没有证据证明原假设是正确的(D )没有证据证明原假设是错误的的无偏估计的是().(A)丫12X2；(B)Y2X1-X233231323(C)Y3X1X2;(D)Y4X1X244557.设X1,X2为总体X的一个样本，那么以下
20、统计量中不是总体数学期望8. 甲、乙、丙三人独立地译一密码，他们每人译出密码的概率分别是0.5 , 0.6 , 0.7，那么密码被译出的概率为()A. 0.94 B. 0.92 C. 0.95 D. 0.909. 某人打靶的命中率为0.8，现独立射击5次，那么5次中有2次命中的概率为()A. 0.82B.0.82 0.2322223C. 0.82 D.C50.80.25A. 2X N(2 ,2 2)B.22X Y N( ,5)10. 设随机变量X和丫独立同分布，XN( ,2),那么()2 2C. X 2y N(3 ,3) D.X 2YN(3 ,5)11 对于任意两个随机变量 X和Y，假设E(X
21、Y) E(X) E(Y)，那么(A. D(XY) D(X) D(Y) B.D(X Y) D(X) D(Y)C. X和Y独立D.X和Y不独立12.设X N , 2 ，其中 ，2未知，X1,X2,X3为其样本,计量的是().A.Xf Xf )B. X13F列各项不是统C.max(X! ,X2 ,X3)1D.3(X1 x2 X3)13.在假设检验中,H。表示原假设,H1表示备择假设，那么称为犯第二类错误的选项是(A. H 1不真，接受 比B.H 0不真，接受H 1C. H0不真，接受H0D.H 0为真，接受H1三、计算题与应用题0,x1,1.假设随机变量X的分布函数为F(x)A Barcs inx,
22、x1,1,x1.(1 )求A, B的值；(2)求概率密度f (x) ; (3)求概率PX0.52. 某厂有甲乙丙三台机床进行生产，各自的次品率分别为5%, 4% , 2%;它们各自的产品分别占总产量的25%, 35%, 40%。将它们的产品混在一起，现任取一件产品，(1 )求取到产品是次品的概率(2)假设取到的产品是次品，问它是甲机床生产的概率多大？3.用机器包装味精，每袋净重为随机变量，期望值为100克，标准差为10克，一箱内装200袋味精，试用中心极限定理求一箱味精净重大于20500克的概率。4.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f (x, y)Ae y,0 x 2,y 00, 其他(1
23、 )确定常数A,(2)分别求(X ,Y)关于X和Y的边缘概率密度且判断 X和Y是否相互独立。(3)求(X,Y)的分布函数F(x, y)。5.总体X的概率密度为x ，0 x 1，其中0,其他八0是未知参数,x1,x2, xn是来自总体X的一组样本观察值，求未知参数的极大似然估计值6. 从总体X N 2和总体YN 2,；中分别抽取容量为 m 10, n215的独立样2 2本，x 82, y 76,。假设! 64, 2 49，求!2的置信水平为95%的置信区间.7. 某厂生产的蓄电池使用寿命X服从正态分布，N( , 2) , 2 0均未知，该产品说明书上写明其标准差不超过0.9年。现随机抽取10只，
24、得样本标准差为 1.2年，在显著性水平0.05下检验厂方说明书上所写的标准差是否可信?8. 样本资料如下:X24681012Y1.81.51.41.11.10.9求Lxx , Lyy , Lxy(2)变量Y倚X的回归方程(3) 样本相关系数，并判断其相关方向和密切程度0.8.试用中心9某公司有200名员工参加一种资格证书考试，按往年经验，该考试通过率为 极限定理计算这200名员工至少有150人通过考试的概率.10. 某一城市有25%勺汽车废气排放量超过规定，一废气排放量超标的汽车有0.99的概率不能通过城市检验站的检验。而一废气排放量未超标的汽车也有0.17的概率不能通过检验，求(1)汽车未通
25、过检验的概率(2) 一辆未通过检验的汽车废气排放量确实超标的概率。11连续型随机变量X的概率密度为f(x)Ax2|x| 1其它求(1)系数A o( 2) P丄 X -.分布函数F(x)2 2Ae s 3y) x12.设(X,Y)的联合密度函数为 f (x, y)'0,y其它(1)确定常数A； (2)求边缘概率密度 fX(x)及fY(y)，并判断X与Y是否独立(3)求(X,Y)的分布函数13.设总体X的概率密度为f (x, 0)0 x 1其它0未知.Xi，X2,X n是来本， s：56.5,s： N 0,求 Lxx , Lyy , Lxy(2)变量Y倚X的回归方程(3)样本相关系数，并判
26、断其相关方向和密切程度17.设 X1, X2,X9为来自正态总体11X1X2X6，丫2X7X8 X6321972.2笔丫2SXiY2，Z2 i 7SX的简单随机样本，记证明：统计量Z服从自由度为2的t分布.四、证明题1.设总体X和丫相互独立，X N(2),Y 2(1) , X是来自总体X的容量为n的样本均值，丫是来自总体丫的容量为n的样本均值，试证明: t(n).2设 X1,X2,X9为来自正态总体 X的简单随机样本，记丫 1 X1 x261X6, 丫23X7X8X92丫2，Z2 ¥ 丫2S自X的样本,试求0的矩估计量14.检查一批保险丝，抽取10根，通过强电流后测得熔化平均熔化时间x 63.4,标准差s 11.1475，熔化时间服从正态分布，在一下，能否认为这批保险丝的平均熔化时间少于65秒？15从总体X N 1, 1和总体YN 2, 2中分别抽取容量为n1 10,n2 16的独立样2 i 252.4。求1 / 2的置信水平为95%的置信区间。16为研究某一化学反响过程中温度x对产品质量指标y的影响，测得数据如下:100 110 120 130 140 150 160 170 180 190y45 51 54 61 66 7074 78 8589证明：统计量Z服从自由度为2的t分布.假设x和y之间呈线性相关关系，即y a bx e,
