郭硕鸿《电动力学》课后答案详解

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1、实用标准文档电动力学答案第一章电磁现象的普遍规律1.根据算符的微分性与向量性，推导下列公式：(AB)B(A)(B)AA(A (A)21A2(A )A解：（ 1）(A B)( A Bc )(B Ac)Bc(A) (Bc) A Ac(B(A)( B) AA(（ 2）在（ 1）中令AB 得：(A A)2A (A) 2(A所以A (A)1(A A)( A2即A(A)1A2( A22. 设 u 是空间坐标 x, y, z的函数，证明：B)(A)BB)( Ac)BB)(A)B) A ，) A) Af (u)df，A(u)dAA(u)udAuu，dududu证明：f (u)f (u)eyf (u)dfudf

2、udfu（1） f (u)exyzezduexdueyduezxxyzdf ( u exu eyu ez )dfuduxyzdu（ 2）A(u)Ax (u)Ay (u)Az (u)dAxudAyu dAzuxyzduxduyduzdAxexdAyeydAzuuudA(dududuez ) ( exeyez )uxyzdudAexeyez（ 3）u / xu / yu / zududAx/ du dAy / du dAz / dudAz udAyudAxudAzudAy udAxu( du yduz )ex( du zdux )ey( du xduy) ezAz (u)Ay (u)Ax (u)A

3、z (u)Ay (u)Ax (u)zexzxeyyezyxA(u)3. 设 r( x x' ) 2( yy') 2(zz' ) 2为源点 x' 到场点 x 的距离， r 的方向规定为精彩文案实用标准文档从源点指向场点。（ 1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系：r' rr / r；(1/ r )'(1/ r )r / r 3 ；(r / r 3 )0 ；( r / r 3 )' (r / r 3 )0， ( r0) 。（ 2）求r，r， (a)r，(a r ) ， E 0 sin(kr ) 及 E 0 sin( k

4、r )，其中a 、 k 及 E 0 均为常向量。（ 1）证明： r( xx')2( yy' )2(zz') 2r(1/r) (xx')ex (yy(zzr /r' )ey' )ez 1' r(1 / r)( xx' )ex( yy' )ey(zz') ez r / r可见r' r21d1r1rrrdrrr 2r 3'1d1' r1' rrrdrrr 2r 3可见1/ r' 1/ r3( r /r 3 )(1/r 3 )r (1/ r 3 )r(1/ r 3 )rd1rr03

5、rr0drr 3r 4r4( r / r 3 )(1/ r 3 )r (1/ r 3 )r1r3 r3r 3r0，(r0)（ 2）解：r 4rr 31r(exeyez ) ( xx' )ex( y y' )ey( z z' )ez 3xyzexeyez2r/x/y/ z0xx'yy'zz'3(a)r( axxa yyaz)( xx') ex( yy' )ey( zz' )ez zaxexay eyaz eza(a r)r (a)(r)a a (r )(a)r4因为， a为常向量，所以，a0 ，(r)a0 ，又r 0 ，(a

6、 r )(a)r a5 E 0 sin(kr )(E0 ) sin(k r )E0 sin(kr )E 0 为常向量，E 00 ，而sin( kr )cos(k r ) (kr)cos(kr) k ，精彩文案实用标准文档所以 E 0 sin(k r )k E 0 cos(k r )6 E0 sin(k r )sin(k r )E0kE 0 cos(k r )4.应 用 高 斯 定 理 证 明dVfdSf ， 应 用 斯 托 克 斯（ Stokes） 定 理 证 明VSdSdlSL证明：（ I ）设 c 为任意非零常矢量，则cdVfdV c (f )VV根据矢量分析公式(AB)(A) BA(B)

7、，令其中 Af ， Bc ，便得( f c)(f ) cf (c)(f ) c所以c dVfdV c (f )dV ( f c)( f c) dSVVVc ( dSf ) c dSf因为 c 是任意非零常向量，所以dVfdSfV（ II ）设 a 为任意非零常向量，令Fa ，代入斯托克斯公式，得F dSF dl（ 1）S（1）式左边为：S(a)dSaadSSSa dSadSSadSadSSSadS（ 2）S（ 1）式右边为：a dladl（ 3）所以adSadl（ 4）S因为 a 为任意非零常向量，所以SdSdl5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为p(t )( x' , t)x'

8、; dV ' ，利用电荷守恒定律VJ0 证明 p 的变化率为：dpJ ( x' , t)dVtdtV证明： 方法（ I）dpd(x', t) x' dV' (x', t) x' dV'dtdt VV tVdpe1( ' J) x1' e1dV'x1' ( ' J)dV'dtVVV( x' ,t) x' dV'(' J) x' dV'tV' (x1'J ) (' x1' )JdV '精彩文案实用标准

9、文档x1' J dS'J x1 dV 'SV因为封闭曲面S 为电荷系统的边界，所以电流不能流出这边界，故x1' J dS' 0 ，dp e1VJ x1 dV 'Sdtdp e2dp e3同理J x2 dV ' ，VJ x3dV 'dtVdt所以dpJdV 'dtV方法（ II ）dpd(x',t)x'dV'(x',t)x' dV'(x', t) x'dV'( ' J)x'dV'dtdtVVtVtV根据并矢的散度公式( fg )(

10、f ) g( f) g 得：( Jx' )(J ) x' (J)x'(J ) x' Jdp' ( Jx' )dV 'JdV 'dS(Jx' )JdV 'JdV 'dtVVVV6.若 m 是常向量，证明除R0 点以外，向量A （ m R）/ R 3的旋度等于标量m R / R3 的梯度的负值，即A，其中 R 为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。证明：（1/ r )r / r 3mr11A(r 3 ) m (r )(r )m(m)1(m )1(1) m (1)mrrrr(m)12 1m2 (1/ r )

11、rr其中0，（ r0）A( m)1，（ r0）r又m r1)(r 3) m ( rm (1) (1) (m)(m )(1) (1) m1rrrr(m)()r所以，当 r0 时，A7.有一内外半径分别为r1 和 r2的空心介质球，介质的电容率为，使介质球内均匀带静止自由电荷f，求：（ 1）空间各点的电场； （ 2）极化体电荷和极化面电荷分布。解：（ 1）设场点到球心距离为r 。以球心为中心，以 r为半径作一球面作为高斯面。由对称性可知，电场沿径向分布，且相同r 处场强大小相同。精彩文案实用标准文档当 rr1 时， D10， E10 。当 r1r r2 时，4 r 2D 24 (r 3r13 )