矩阵的标准形

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1、第第3 3章章 矩阵的标准形矩阵的标准形 3.1 矩阵的相似对角形矩阵的相似对角形3.2 矩阵的矩阵的Jordan标准形标准形3.3 哈密顿哈密顿开莱定理及矩阵的最小多项式开莱定理及矩阵的最小多项式3.4 多项式矩阵与多项式矩阵与Smith标准形标准形3.5 多项式矩阵的互质性和既约性多项式矩阵的互质性和既约性3.6 有理分式矩阵的标准形及其仿分式分解有理分式矩阵的标准形及其仿分式分解 3.7* 系统的传递性函数矩阵系统的传递性函数矩阵3.8 舒尔定理及矩阵的舒尔定理及矩阵的QR分解分解 3.9 矩阵的奇异值分解矩阵的奇异值分解 本章主要讨论数字矩阵、多项式矩阵、有理分本章主要讨论数字矩阵、多

2、项式矩阵、有理分式矩阵的标准形及矩阵的若干分解形式，这是矩阵式矩阵的标准形及矩阵的若干分解形式，这是矩阵理论中一个内容广泛而又十分重要的部分，在许多理论中一个内容广泛而又十分重要的部分，在许多领域中都有重要的应用领域中都有重要的应用. 并且介绍矩阵的并且介绍矩阵的QR分解、分解、奇异值分解等概念奇异值分解等概念.3.1 矩阵的相似对角形矩阵的相似对角形线性变换的特征值与特征向量的概念线性变换的特征值与特征向量的概念 由前面的例子可以看出，并非每个矩阵由前面的例子可以看出，并非每个矩阵A都可以相似对都可以相似对角形矩阵，那么当矩阵角形矩阵，那么当矩阵A不能和对角形矩阵相似时，能否找不能和对角形矩

3、阵相似时，能否找到一个构造比较简单的分块对角矩阵与它们相似呢？当我们到一个构造比较简单的分块对角矩阵与它们相似呢？当我们在复数域在复数域C内考虑这个问题时，这样的矩阵确实存在，这就内考虑这个问题时，这样的矩阵确实存在，这就是是约当约当(Jordan)形矩阵形矩阵，称为矩阵，称为矩阵A的的Jordan标准形标准形. 在矩阵在矩阵分析及其应用中，矩阵的分析及其应用中，矩阵的Jordan标准形是重要的工具，但其标准形是重要的工具，但其理论推导十分繁复，在这里只作扼要介绍理论推导十分繁复，在这里只作扼要介绍.3. .2 矩阵的矩阵的Jordan标准形标准形 在在3.1节中给出了矩阵的特征多项式，本节将

4、进一步给出节中给出了矩阵的特征多项式，本节将进一步给出特征多项式的性质，其中最重要的就是特征多项式的性质，其中最重要的就是哈密顿开莱定理哈密顿开莱定理；还将讨论另一个重要的多项式，即矩阵的还将讨论另一个重要的多项式，即矩阵的最小多项式最小多项式. 所得所得到的结果有重要的理论及应用价值到的结果有重要的理论及应用价值3.3 哈密顿开莱定理及矩阵的最小多项式哈密顿开莱定理及矩阵的最小多项式3.4 多项式矩阵与多项式矩阵与Smith标准形标准形多项式矩阵的初等变换概念多项式矩阵的初等变换概念Smith标准形概念标准形概念行列式因子的重要性在于它在初等变换下是不变的行列式因子的重要性在于它在初等变换下

5、是不变的不变因子的概念不变因子的概念3.5 多项式矩阵的互质性和既约性多项式矩阵的互质性和既约性 现转移到多项式矩阵的互质性问题现转移到多项式矩阵的互质性问题. 最后讨论多项式矩阵的既约性问题最后讨论多项式矩阵的既约性问题3.6 有理分式矩阵的标准形及其仿分式分解有理分式矩阵的标准形及其仿分式分解3.8 舒尔定理及矩阵的舒尔定理及矩阵的QR分解分解 以下转到另一重要定理，它为计算特征值的数值方法提以下转到另一重要定理，它为计算特征值的数值方法提供了重要理论依据供了重要理论依据3.9 矩阵的奇异值分解矩阵的奇异值分解 矩阵的奇异值分解在最优化问题、特征值问题、最小二矩阵的奇异值分解在最优化问题、特征值问题、最小二乘法问题、广义逆矩阵问题及统计学等方面都有重要应乘法问题、广义逆矩阵问题及统计学等方面都有重要应用本节介绍的下述定理，称为矩阵的奇异值分解定理用本节介绍的下述定理，称为矩阵的奇异值分解定理. 先给先给出一个引理出一个引理.