高数第七章(5) 可降阶的高阶微分方程

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1、某些二阶微分方程某些二阶微分方程变量代换变量代换一阶微分方程一阶微分方程可降阶的微分方程可降阶的微分方程降阶法降阶法一一. 型的微分方程型的微分方程) ,( yxfy 二二. 型的微分方程型的微分方程) ,( yyfy 五、小结五、小结 思考题思考题型型的的微微分分方方程程二二、),(yxfy ),(yyfy 三、三、 型的微分方程型的微分方程),(yyfy ( )( )nyf x一一、型型的的微微分分方方程程四、齐次方程四、齐次方程第四节 可降阶的高阶微分方程（differential equation of higher order）定义：二阶及二阶以上的微分方程统称为 高阶微分方程。一般

2、形式为：注：一般的高阶微分方程没有普遍的解法，处理问题的基本原则是降阶。( )( , , , ,)0.nF x y y yy( )( )nyf x一、型的微分方程解法：解法：特点：特点：.x等等式式右右端端仅仅含含有有自自变变量量(1)1(2)12( ).( )nnyf x dxCyf x dxC dxC 则同理可得依次积分下去，就可得通解依次积分下去，就可得通解.( )( )nyf x在两边积分cosyxx例. 求微分方程的通解.例.3sin2的的通通解解求求微微分分方方程程xeyx 解解次次，得得对对所所给给方方程程连连续续积积分分两两123cos321cxeyx 2123sin941cx

3、cxeyx ( , )yf x y二、型的微分方程py 设设,pdxdpy 则则特点：特点：. y 右右端端不不显显含含未未知知函函数数解法：解法：. ），（方程变为方程变为pxfp 关于关于x, p的的一一阶微分方程，设其通解为阶微分方程，设其通解为),(1Cxp 即即),(1Cxdxdyp 故方程的故方程的 通解为：通解为：21CdxCxy ),( 例(5)(4)0.xyy求微分方程的通解例0.xyy求微分方程的通解例例. 求微分方程求微分方程 yxyx 212)(满足初满足初始条件始条件3 100 xxyy,的特解的特解.)( )1()1ln(ln .12 , 12122CeCxCypC