第十七章理论力学

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1、第十七章第十七章振动振动1.自由振动微分方程 17 171 1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 Ol设弹簧原长为gmP在重力 的作用下刚度系数为kst弹簧的变形为这一位置为平衡位置称为静变形平衡时stkP由此有kPst/（171）取重物的平衡位置点O为坐标原点)(xkkFstx其运动微分方程为取x轴的正向铅直向下则)(dd22xkPtxmst考虑式（ 17 1）则上式变为kxtxm22dd（ 17 2）上式表明物体偏离平衡位置于坐标x处将受到与偏离距离成正比而与偏离方向相反的合力称此力为恢复力只在恢复力作用下维持的振动称为无阻尼自由振动mk20（ 17 3）得0dd2022xtx

2、（ 17 4）上式为无阻尼自由振动微分方程的标准形式其解具有如下形式rtex 其中r为待定常数将上式代入微分方程（ 17 4）后消去公因子rte得本征方程0202r本征方程的两个根为0201iirr其中1i1r和2r是两个共轭虚根微分方程（17 4）的解为tCtCx0201sincos（ 17 5）其中 和 是积分常数1C2C由运动的起始条件确定令：212221tanCCCCA则式（ 17 5）可改写为)sin(0tAx（ 17 6）上式表示其运动图线如图所示无阻尼自由振动是简谐振动2.无阻尼自由振动的特点（1）固有频率所谓周期振动是指对任何瞬时t其规律x( t )总可以写为)()(Ttxtx

3、其中T为常数称为周期单位符号为s这种振动经过时间T后又重复原来的运动由式)sin(0tAx其角度周期为2则有2)()(00tTt由此得自由振动的周期为02T（ 17 7）从上式得fT2120（ 17 8）其中 称为振动的频率Tf1表示每秒钟的振动次数单位符号为1/s或Hz（赫兹）由式 知mk20mk0（ 17 9）因为f20表示2秒内的振动次数单位符号为rad/s（弧度/秒）上式表示0只与表征系统本身特性的质量m和刚度k有关而与运动的初始条件无关它是振动系统固有的特性所以称 为固有角（圆）频率（一般也称固有频率）0将m=P/g和 代入式（17 9）stPk/得stg0（17 10）上式表明对上

4、述振动系统只要知道重力作用下的静变形就可以求得系统的固有频率（2）振幅与初相角在谐振动表达式（17 6）中A表示相对于振动中心点O的最大位移 称为振幅称为相位（或相位角）)(0t相位决定了质点在某瞬时t的位置 具有角度的量纲而称为初相角它决定了质点运动的起始位置设在起始t =0时 物块的坐标0 xx 速度0为求A和现将式（17 6）两端对时间t求一阶导数得物块的速度)cos(dd00tAtx（1711）然后将初始条件代入（17 6）和（17 11）两式得cossin000AAx由上述两式得到振幅A和初始角的表达式为000202020tanxxA（17 12）从上式可以看出自由振动的振幅和初相角

5、都与初始条件有关3.弹簧的并联与串联（1）弹簧并联st11kF st22kF 在平衡时有st2121)(kkFFmg令eqk称为等效弹簧刚度系数 上式成为steqkmg 21eqkkk（17 13）或eqst/kmg因此上述并联系统的固有频率为mkkmk21eq0此系统相当于有一个等效弹簧当两个弹簧并联时其等效弹簧刚度系数等于两个弹簧刚度系数的和这个结论也可以推广到多个弹簧并联的情形（2）弹簧串联1st1kmg22stkmg两个弹簧总的静伸长)11(212st1ststkkmg若设串联弹簧系统的等效弹簧刚度系数为eqk则有eqst/kmg比较上面两式得21eq111kkk（17 14）或212

6、1eqkkkkk(17 14)上述串联弹簧系统的固有频率为)(2121eq0kkmkkmk由此可见当两个弹簧串联时其等效弹簧刚度系数的倒数等于两个弹簧刚度系数倒数的和这一结论也可以推广到多个弹簧串联的情形4.其他类型的单自由振动系统图为一扭振系统运动微分方程为tOktJ22dd令OtJk20则上式可变为0dd2022t此式与式（17 4）相同1.阻尼 172 单自由度系统的有阻尼自由振动 振动过程中的阻力习惯上称为阻尼当振动速度不大时由于介质粘性引起的阻力近似地与速度的一次方成正比这样的阻尼称为粘性阻尼设振动质点的运动速度为则粘性阻尼的阻力dF可以表示为cFd（ 17 15）其中比例常数c称为

7、粘性阻力系数（简称为阻力系数）负号表示阻力与速度的方向相反当振动系统中存在粘性阻尼时经常用右图所示的阻尼元件c表示一般的机械振动系统都可以简化为由惯性元件（m）弹性元件（k）阻尼元件（c）组成的系统2.振动微分方程如以平衡位置为坐标原点在建立此系统的振动微分方程时可以不再计入重力的作用这样在振动过程中作用在物块上的力有（1）恢复力eF方向指向平衡位置O大小与偏离平衡位置的距离成正比即kxFe（2）粘性阻尼力dF方向与速度方向相反大小与速度成正比即txccFxddd物块的运动微分方程为txckxtxmdddd22将上式两端除以m并令mk20mc2（ 17 16）为固有角（圆）频率0称为阻尼系数前

8、式整理得0dd2dd2022xtxtx（1717）上式是有阻尼自由振动微分方程的标准形式其解可设为rtex 将上式代入微分方程（1717 ）中消去公因子rte得本征方程02202rr该方程的两个根为2021r2022r因此方程（ 1717 ）的通解为trt reCeCx2121（1718）3.欠阻尼状态当 时0阻力系数mkc2这时阻尼较小称为欠阻尼状态 这时本方程的两个根为共轭复数 即2201ir2202ir则)sin(220tAext（1719）或)sin(dtAext(17 19)其中A和为两个积分常数由运动的初始条件确定220d表示有阻尼自由振动的固有角频率设在初始瞬间t=0质点的坐标为

9、0 xx 速度0仿照求无阻尼自由振动的振幅和初相角的求法可求得有阻尼自由振动中的初始幅值和初相角22020020)(xxA（1720）002200tanxx（1721）式（1719）是欠阻尼状态的自由振动表达式这种振动的振幅是随时间不断衰减的所以又称为衰减振动衰减振动的运动图线如图由衰减振动表达式（1719）知这种振动不符合周期振动定义所以不是周期振动但这种振动仍然是围绕平衡位置的往复运动仍具有振动的特点我们将质点从一个最大偏离位置到下一个最大偏离位置所需要的时间称为衰减振动的周期 记为dT如上图由式（1719）知220dd22T（1722）或20200d12)(12T(1722)其中mkc2

10、0（1723）称为阻尼比在欠阻尼状态下1 2d1TT2d1 ff20d1由衰减振动的运动规律式（1719）可见其中 相当于振幅tAe设在某瞬时ti振动达到的最大偏离值为Ai有itiAeA经过一个周期 后dT系统到达另一个比前者略小的最大偏离值1iA有)(1dTtiiAeA这两个相邻振幅之比为dd)(1TTttiieAeAeAAii（1724）这个比值称为减幅因数 从上式可以看到任意两个相邻振幅之比为一常数所以衰减振动的振幅呈几何级数减小上述分析表明 在欠阻尼状态下阻尼对自由振动的频率影响较小但阻尼对自由振动的振幅影响较大使振幅呈几何级数下降对式（1724）的两端取自然对数得d1lnTAAii（

11、1725）称为对数减幅因数2122（1726）4.临界阻尼和过阻尼状态当 时) 1 (0称为临界阻尼状态这时系统的阻力系数用 表示crccrc称为临界阻力系数从式（1723）得mkc2cr（1727）在临界阻尼情况下本征方程的根为两个相等的实根即1r2r得微分方程（420）的解为)(21tCCext（1728）其中 和 为两个积分常数1C2C由运动的起始条件决定上式表明这时物体的运动是随时间的增长而无限地趋向平衡位置因此运动已不具有振动的特点当 时) 1 (0称为过阻尼状态此时阻力系数crcc 在这种情形下本征方程的根为两个不等的实根即2021r2022r所以微分方程（ 1717 ）的解为)(

12、20220221ttteCeCex（1729）其中 和 为两个积分常数1C2C由运动起始条件来确定运动图线如图也不再具有振动性质 17 173 3 单自由度系统的有阻尼受迫振动单自由度系统的有阻尼受迫振动 线性恢复力eF粘性阻尼力dF简谐激振力F选平衡位置O为坐标原点坐标轴铅直向下kxFetxccFdddtHFsin可建立质点运动微分方程tHtxckxtxmsindddd22将上式两端除以m并令mk20mc2mHh 整理得thxtxtxsindd2dd2022（1730）这是有阻尼受迫振动微分方程的标准形式其解由两部分组成21xxx其中 对应于方程（1730）的齐次方程的通解1x在欠阻尼 的状

13、态下有)(0)sin(2201tAext（1731）其中 为方程（1730）的特解2x设它有下面的形式)sin(2tBx（1732）其中表示受迫振动的相位角落后于激振力的相位角将上式代入方程（1730）可得thtBtBtBsin)sin()cos(2)sin(202再将上式右端改写为如下形式)cos(sin)sin(cos)sin(sinthththth这样前式可整理为0)cos(sin2)sin(cos)(220thBthB对任意瞬时t上式都必须是恒等式则有0cos)(220hB0sin2hB将上述两方程联立可解出2222204)(hB（1733）2202tan（1734）于是得方程（173

14、0）的通解为)sin()sin(220tBtAext（1735）其中A和为积分常数由运动的初始条件确定第一部分称为过渡过程（或称瞬态过程）过渡过程以后这段过程称为稳态过程受简谐振动力作用的受迫振动仍然是谐振动振幅频率关系用曲线如图表示采用量纲为1的形式横轴表示频率比0纵轴表示振幅比0bb阻尼的改变用阻尼比 的改变来表示0crcc这样表达式（1733）和（1734）可写为222204)1 (1BB（1736）212tan（1737）222204)1 (1BB（1736）从式（1736）和上图可以看出阻尼对振幅的影响程度与频率有关（1）当 时0阻尼对振幅的影响甚微这时可忽略系统的阻尼而当作无阻尼受迫振动处理（2）当时) 1即(0振幅B具有最大值maxB这时的频率称为共振频率在共振频率下的振幅为220max2hB或20max12BB在一般情况下 阻尼比1 这时可以认为共振频率0即当激振动力频率等于系统固有频率时 系统发生共振共振的振幅为20maxBB（3）当 时0阻尼对受迫振动的振幅影响也较小这时又可以忽略阻尼将系统当作无阻尼系统处理由式（1737）知有阻尼受迫振动的相位角总比激振力落后一个相位角称为相位差根据式（ 1737 ）可以画出相位差随激振力频率变化曲线如图212tan（1737）