材料力学第5版(孙训方编)第六章.

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1、1第六章第六章 简单的超静定问题简单的超静定问题6- -1 超静定问题及其解法超静定问题及其解法6- -2 拉压超静定问题拉压超静定问题6- -3 扭转超静定问题扭转超静定问题6- -4 简单超静定梁简单超静定梁26- -1 超静定问题及其解法超静定问题及其解法. 关于超静定问题的概述第六章第六章 简单的超静定问题简单的超静定问题(a)(b)3 图a所示静定杆系为减小杆1 ,2中的内力或节点A的位移(如图b)而增加了杆3。此时有三个未知内力FN1 ,FN2 ,FN3，但只有二个独立的平衡方程 一次超静定问题。第六章第六章 简单的超静定问题简单的超静定问题(a)(b)4 图a所示简支梁为减小内力

2、和位移而如图b增加了中间支座C成为连续梁。此时有四个未知约束力FAx, FA, FB, FC，但只有三个独立的静力平衡方程 一次超静定问题。 超静定问题(statically indeterminate problem)：单凭静力平衡方程不能求解约束力或构件内力的问题。第六章第六章 简单的超静定问题简单的超静定问题FAFBl(a)FAxABq(b)l/2l/2CFCFAxAB qFBFA5. 解超静定问题的基本思路例例1超静定结构(statically indeterminate structure)解除“多余”约束基本静定系(primary statically determinate sy

3、stem)(例如杆3与接点A的连接)第六章第六章 简单的超静定问题简单的超静定问题6在基本静定系上加上原有荷载及“多余”未知力并使“多余”约束处满足变形(位移)相容条件相当系统 (equivalent system)12BCAF AFN3AA FN3ADA 第六章第六章 简单的超静定问题简单的超静定问题7331N32111N3coscos2AElFAElFF于是可求出多余未知力FN3 。 由位移相容条件 ，利用物理关系(位移或变形计算公式)可得补充方程：AA 第六章第六章 简单的超静定问题简单的超静定问题12BCAF AFN3AA FN3ADA 8基本静定系ABl补充方程为048384534E

4、IlFEIqlC于是可求出多余未知力FC。第六章第六章 简单的超静定问题简单的超静定问题位移相容条件Cq+CFC=0 相相当系统当系统ABl/2qlFC例例2超静定梁yxl/2l/2CABq9. 注意事项 (1) 超静定次数=“多余”约束数=“多余”未知力=位移相容条件数=补充方程数，因而任何超静定问题都是可以求解的。 (2) 求出“多余”未知力后，超静定结构的内力和位移等均可利用相当系统进行计算。 (3) 无论怎样选择“多余”约束，只要相当系统的受力情况和约束条件确实与原超静定系统相同，则所得最终结果是一样的。第六章第六章 简单的超静定问题简单的超静定问题10 (4) “多余”约束的选择虽然

5、是任意的，但应以计算方便为原则。 如上所示连续梁若取B处铰支座为“多余”约束，则求解比较复杂。第六章第六章 简单的超静定问题简单的超静定问题xl/2l/2CABqFByxl/2l/2CABq116-2 6-2 拉压超静定问题拉压超静定问题. 拉压超静定基本问题 例题例题6- -1 求图a所示等直杆AB上,下端的约束力，并求C截面的位移。杆的拉压刚度为EA。 解解: 1. 有两个未知约束力FA , FB(见图a)，但只有一个独立的平衡方程 FA+FB-F=0故为一次超静定问题。第六章第六章 简单的超静定问题简单的超静定问题12 2. 取固定端B为“多余”约束。相应的相当系统如图b，它应满足相容条

6、件BF+BB=0，参见图c，d。第六章第六章 简单的超静定问题简单的超静定问题 3. 补充方程为 0EAlFEAFaBlFaFB由此求得所得FB为正值，表示FB的指向与假设的指向相符，即向上。13得 FA=F-Fa/l=Fb/l。5. 利用相当系统(如图)求得 lEAFabEAalFbEAaFAC 4. 由平衡方程 FA+FB-F=0第六章第六章 简单的超静定问题简单的超静定问题14 例题例题 求图a所示结构中杆1, 2, 3的内力FN1 , FN2 , FN3。杆AB为刚性杆，杆1, 2 , 3的拉压刚度均为EA。第六章第六章 简单的超静定问题简单的超静定问题aaaACDB132EFF(a)

7、a15 解：解：1. 共有五个未知力，如图b所示，但只有三个独立的静力平衡方程，故为二次超静定问题。 2. 取杆1与结点C处的连接以及杆2与结点D处的连接为多余约束，得基本静定系如图c。CD3(c)第六章第六章 简单的超静定问题简单的超静定问题FFAyFAxFN1FN3FN2(b)16 3. 相当系统应满足的变形相容条件如图d所示为121322llll，FN2Dl2FFCAl1l3l2FBFN2DFN13(d)第六章第六章 简单的超静定问题简单的超静定问题FN1Cl1E 4. 根据相容条件，利用物理方程得补充方程：EAaFEAaFEAaFEAaFN12N1NN32 212，即 FN1=2FN3

8、, FN2=2FN1=4FN317 5. 将上述二个补充方程与由平衡条件MA=0所得平衡方程0)3()2(212N3N1NaFaFaFaF联立求解得2101212421012622101233N2N3N1NN3FFFFFFFF，第六章第六章 简单的超静定问题简单的超静定问题FN1=2FN3, FN2=2FN1=4FN3FFAyFAxFN1FN3FN2(b)18. 装配应力和温度应力(1) 装配应力 超静定杆系(结构)由于存在“多余”约束，因此如果各杆件在制造时长度不相匹配，则组装后各杆中将产生附加内力装配内力，以及相应的装配应力。第六章第六章 简单的超静定问题简单的超静定问题19 图a中所示杆

9、系(E1A1=E2A2)中杆3的长度较应有长度短了e，装配后各杆的位置将如图中虚线所示。此时，杆3在结点 A 处受到装配力FN3作用(图b)，而杆1,2在汇交点A 处共同承受与杆3相同的装配力FN3作用(图b)。第六章第六章 简单的超静定问题简单的超静定问题(a)(b)20求算FN3需利用位移(变形)相容条件(图a)列出补充方程由此可得装配力FN3，亦即杆3中的装配内力为eAAAA eAElFAElF21113N333N3cos221113333Ncos2AElAEleF第六章第六章 简单的超静定问题简单的超静定问题(拉力）(a)21 至于各杆横截面上的装配应力只需将装配内力(轴力)除以杆的横

10、截面面积即得。 由此可见，计算超静定杆系(结构)中的装配力和装配应力的关键,仍在于根据位移(变形)相容条件并利用物理关系列出补充方程。而杆1和杆2中的装配内力利用图b中右侧的图可知为压力21113333N2N1Ncos2cos2cos2AElAEleFFF第六章第六章 简单的超静定问题简单的超静定问题22 例题例题6- -3 两端用刚性块连接在一起的两根相同的钢杆1, 2(图a)，其长度l =200 mm，直径d =10 mm。试求将长度为200.11 mm，亦即e=0.11 mm的铜杆3(图b)装配在与杆1和杆2对称的位置后(图c)各杆横截面上的应力。已知：铜杆3的横截面为20 mm30 m

11、m的矩形，钢的弹性模量E=210 GPa，铜的弹性模量E3=100 GPa。第六章第六章 简单的超静定问题简单的超静定问题23 解解：1. 如图d所示有三个未知的装配内力FN1, FN2 , FN3，但对于平行力系却只有二个独立的平衡方程，故为一次超静定问题。也许有人认为，根据对称关系可判明FN1=FN2，故未知内力只有二个，但要注意此时就只能利用一个独立的静力平衡方程：所以这仍然是一次超静定问题。02 01NN3FFFx，第六章第六章 简单的超静定问题简单的超静定问题(d)242. 变形相容条件(图c)为这里的l3是指杆3在装配后的缩短值，不带负号。ell313. 利用物理关系得补充方程：e