船体振动学 第2章

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1、船体振动学船体振动学 第第2 2章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动 Ship Vibration 2.1 多自由度系统的振动及其运动方程多自由度系统的振动及其运动方程 2.2 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 2.3 多自由度系统的强迫振动多自由度系统的强迫振动Ship Vibration 2.1 2.1 多自由度系统的振动及其运动方程多自由度系统的振动及其运动方程Ship Vibration在第在第1章讨论安装在船底骨架上的往复式发动机章讨论安装在船底骨架上的往复式发动机的振动问题时，曾指出如果仅关心发动机的上下的振动问题时，曾指出如果仅关心发动机的上下振动，则可以简化为

2、一个单自由度的质量振动，则可以简化为一个单自由度的质量-弹簧弹簧-阻尼器系统。但是发动机除了有上下振动外还有阻尼器系统。但是发动机除了有上下振动外还有其它方向的振动，如果关心发动机的各个方向的其它方向的振动，如果关心发动机的各个方向的振动，其简化模型将不再是一个单自由度系统，振动，其简化模型将不再是一个单自由度系统，而是一个多自由度系统。而是一个多自由度系统。 Ship Vibration 2.1 2.1 多自由度系统的振动及其运动方程多自由度系统的振动及其运动方程实际的工程振动问题往往需要简化为多自由度系实际的工程振动问题往往需要简化为多自由度系统，即系统在空间任意瞬间的位置不能仅由一个统，

3、即系统在空间任意瞬间的位置不能仅由一个广义坐标来确定。例如对于图示的具有若干个集广义坐标来确定。例如对于图示的具有若干个集中质量的梁。中质量的梁。 Ship Vibration 2.1 2.1 多自由度系统的振动及其运动方程多自由度系统的振动及其运动方程假设梁自身的质量可以忽略不计，则在讨论梁的假设梁自身的质量可以忽略不计，则在讨论梁的横向弯曲振动时，对横向弯曲振动时，对 个集中质量就需要有个集中质量就需要有 个个广义坐标才能确定系统在空间的位置，这根梁的广义坐标才能确定系统在空间的位置，这根梁的弯曲振动就称为多自由度系统的振动。弯曲振动就称为多自由度系统的振动。NN此外，实际的工程结构的质量

4、和弹性是连续分布此外，实际的工程结构的质量和弹性是连续分布的，它们在空间任意瞬间的位置都需要用无限个的，它们在空间任意瞬间的位置都需要用无限个广义坐标才能确定，是无限个自由度系统（或称广义坐标才能确定，是无限个自由度系统（或称连续系统）。但实际上在研究这类问题的振动时，连续系统）。但实际上在研究这类问题的振动时，经常采用离散方法，把无限个自由度系统简化为经常采用离散方法，把无限个自由度系统简化为有限个自由度系统（或称多自由度系统）进行分有限个自由度系统（或称多自由度系统）进行分析。例如对于图示的简支梁。析。例如对于图示的简支梁。 Ship Vibration 2.1 2.1 多自由度系统多自由

5、度系统的的振动及其运动方程振动及其运动方程在讨论这根梁的横向振动时，可以用有限个离散在讨论这根梁的横向振动时，可以用有限个离散点处的横向位移点处的横向位移 作为广义坐标来代替作为广义坐标来代替连续的挠度曲线。至于取多少个广义坐标则根据连续的挠度曲线。至于取多少个广义坐标则根据具体需要而定。一般来说，具体需要而定。一般来说， 广义坐标数目越多，广义坐标数目越多，越接近实际的情况。因此，研究多自由度系统的越接近实际的情况。因此，研究多自由度系统的振动，对实际工程结构的振动具有很重要的意义。振动，对实际工程结构的振动具有很重要的意义。 Ship Vibration 2.1 2.1 多自由度系统多自由

6、度系统的的振动及其运动方程振动及其运动方程nwww,.,21研究系统振动的第一步是建立系统的运动微分方研究系统振动的第一步是建立系统的运动微分方程，下面主要介绍程，下面主要介绍3种建立系统的运动微分方程种建立系统的运动微分方程的方法。的方法。 1. 质点系动能定理的微分形式质点系动能定理的微分形式（a）质点的运动微分方程质点的运动微分方程根据牛顿第二定律，质点在惯性坐标系中的运动根据牛顿第二定律，质点在惯性坐标系中的运动微分方程是微分方程是 Ship Vibration 2.1 2.1 多自由度系统多自由度系统的的振动及其运动方程振动及其运动方程zyxFtzmFtymFtxm222222ddd

7、ddd（b）刚体的平面运动微分方程刚体的平面运动微分方程 刚体的平面运动可以简化为具有相同质量的平面刚体的平面运动可以简化为具有相同质量的平面图形在固定平面内的运动图形在固定平面内的运动。应用应用质心运动定理质心运动定理和相对质心的和相对质心的动量矩定理动量矩定理，刚，刚体的平面运动微分方程是体的平面运动微分方程是 Ship Vibration 2.1 2.1 多自由度系统多自由度系统的的振动及其运动方程振动及其运动方程ccycxcMJFymFxm 式中式中 是质心，是质心， 绕质心轴的转动惯量绕质心轴的转动惯量 。 ccJ（c）质点系动能定理的微分形式质点系动能定理的微分形式 假设质点系由假

8、设质点系由 个质点组成，在理想约束的条件个质点组成，在理想约束的条件下，质点系的动能的微分等于作用在质点系上的下，质点系的动能的微分等于作用在质点系上的主动力所做的元功之和，即主动力所做的元功之和，即 Ship Vibration 2.1 2.1 多自由度系统多自由度系统的的振动及其运动方程振动及其运动方程FWTd式中式中 表示作用在质点系上的主动力所做的元表示作用在质点系上的主动力所做的元功，功， 表示质点系的动能的微分。表示质点系的动能的微分。 nFWTd例例：如图所示，无重量不可伸长的细绳绕过质量：如图所示，无重量不可伸长的细绳绕过质量为为 、半径为、半径为 的均质圆盘。弹簧刚度是的均质

9、圆盘。弹簧刚度是 ，与，与细绳相连，建立该系统的运动微分方程。细绳相连，建立该系统的运动微分方程。Ship Vibration 2.1 2.1 多自由度系统多自由度系统的的振动及其运动方程振动及其运动方程mRk解：系统仅有一个自由度，假设广义坐标为解：系统仅有一个自由度，假设广义坐标为 ，坐标原点位于弹簧具有静伸长时圆盘中心的静平坐标原点位于弹簧具有静伸长时圆盘中心的静平衡位置，坐标衡位置，坐标 向下为正。向下为正。当圆盘中心从静平衡位置向下运动当圆盘中心从静平衡位置向下运动 时，系统的时，系统的动能是动能是 Ship Vibration 2.1 2.1 多自由度系统多自由度系统的的振动及其运

10、动方程振动及其运动方程x222121ccJmvTxx式中式中 是圆盘中心的速度，是圆盘中心的速度， 是圆盘的转动惯量（绕通过圆盘中心且垂直于是圆盘的转动惯量（绕通过圆盘中心且垂直于圆盘的轴），圆盘的轴）， 是圆盘的角速度，是圆盘的角速度， Ship Vibration 2.1 2.1 多自由度系统多自由度系统的的振动及其运动方程振动及其运动方程cJ222121ccJmvTcvxvc221mRJcRxRvcShip Vibration 2.1 2.1 多自由度系统多自由度系统的的振动及其运动方程振动及其运动方程222121ccJmvT222222321212121xmRxmRxmTxvc221m

11、RJcRxRvc假设初始条件为假设初始条件为 ， ，圆盘中心由圆盘中心由 运动到运动到 时主动力所做的功是时主动力所做的功是0 xx 0t0 xx 0 xx2200)2(221)(0ststxxxxkmgxmgxWShip Vibration 2.1 2.1 多自由度系统多自由度系统的的振动及其运动方程振动及其运动方程利用动能定理的积分形式利用动能定理的积分形式 2200022221)(2321ststxxkxxmgTxmxxWTT00 xxkxmgxxmst )2(223stkmg20423 kxxm 上述方程两边对时间求导数上述方程两边对时间求导数 注意到在静平衡位置满足注意到在静平衡位置