第五章__导热问题的数值解

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1、 高等传热学内容4第一章 导热理论和导热微分方程4第二章 稳态导热 4第三章 非稳态导热 4第四章 凝固和熔化时的导热 4第五章 导热问题的数值解 4第六章 对流换热基本方程 4第七章 层流边界层的流动与换热 4第八章 槽道内层流流动与换热 4第九章 湍流流动与换热 4第十章 自然对流 4第十一章 热辐射基础 4第十二章 辐射换热计算 4第十三章 复合换热 第五章第五章 导热问题的数值解导热问题的数值解 4数值求解方法是以离散数学为基础，以计算机为工具的一种求解方法。与各种分析求解的方法相比，它在应用方面表现出很大的适用性，对于处理诸如非线性、复杂几何形状、复杂边界条件的问题以及藕合的偏微分方

2、程组等都能较好地解决。尤其是随着计算机技术的迅速发展，数值计算的精度和速度都大大提高。因此，稍微复杂一些的导热问题现在主要依靠数值法求解。4目前用于求解偏微分方程的数值方法主要有有限差分法(FDM)、有限元法(FEM) 1,2和边界元法(BEM)。有限元法起源于固体力学和结构分析。与有限差分法相比，有限元法在整个区域内单元的划分比较随意，更易于处理不规则几何形状的问题。有限差分法涉及的数学基础及其表达式比较简单，本章将主要介绍有限差分法及其在导热中的应用。 5-1 导数的有限差分近似表达式导数的有限差分近似表达式 4有限差分的数学基础是用差商代替微商，即用有限差分代替导数。若f(x)是连续函数

3、，则它的导数定义为4 (5-1-1) 4在这里，df /dx称为微商(导数)，f/x 称为有限差商。微商是有限差商当x趋于零时的极限。在x没有达到零以前，f/x只是df/dx的近似，而两者的差值就是用差商代替微商的偏差。 4利用泰勒级数可以得到一个函数的导数的有限差分近似表达式，如图5-1所示 4朝前差分 (5-l-7 )4朝后差分 (5-1-8) 00()( )limlimxxdtf xxf xfdxxx ()()()dff xxf xxOxdxx( )()()dff xf xxOxdxx5-1 导数的有限差分近似表达式导数的有限差分近似表达式 图5-1 函数的微商与差商 5-1 导数的有限

4、差分近似表达式导数的有限差分近似表达式 4式中的O(x)是用差商代替微商的误差，即舍去泰勒级数的高阶项引起的误差，称为截断误差。这里O 表示数量级，O(x)表示该截断误差是与x 同量级的小量。4一阶导数的中心差分表达式4 (5-1-9) 4注意中心差分格式的截断误差是(x)2量级的。4二阶导数的中心差分格式4 (5-l-10)4前面介绍的一阶导数的差分格式都只用到两个点的函数值，为了得到更高精度的差分格式，可以利用更多点的函数值。 二阶导数的朝前差分：4 (5-1-14) 4将以上方法推广，可以得到更高精度的各种有限差分表达式。 2()()()2dff xxf xxOxdxx2222()2 (

5、 )()()()d ff xxf xf xxOxdxx22222 ( )5 ()4 (2)(3)()()d ff xf xxf xxf xxOxdxx 4这里以二维稳态导热为例讨论有限差分法的应用。为了进行数值求解，首先要把求解的区域离散化。有限差分法要求来用正交的网格，在直角坐标系中就是矩形网格，如图5-2 所示。网线的交点称为节点，在区域内的节点称为内节点，落在边界上的节点为边界节点。网线之间的距离称为步长。x 方向的步长记为x，y 方向的步长记为y。为了便于计算，需要对节点编号。若节点P的坐标为(x, y)，xix，yiy，则用(i, j )表示节点的位置，节点的温度t(x，y)则记为t

6、i,j。4数值求解的第二步是建立节点方程，即对每一个节点写出一个代数方程。建立节点方程的方法之一是从微分形式出发，也就是在微分方程或边界条件中用差商近似微商，可以得到以节点温度为未知量的代数方程。 5-2 稳态导热的数值分析稳态导热的数值分析 5-2 稳态导热的数值分析稳态导热的数值分析 图5-2 差分区域的离散化、节点和步长 4有内热源的二维稳态问题，在常物性条件下可由泊松方程描述：4 (5-2-1)4区域内的所有点，包括内节点(i, j)都应满足以上的方程。把节点(i, j)处的二阶偏导数用对应的差商来近似，有4 (5-2-2)4 (5-2 -3) 4把以上两式舍去截断误差并代入式(5-2

7、-1)，就得到内节点的差分方程4 (5-2-4) 5-2 稳态导热的数值分析稳态导热的数值分析 22220Vqttxy21,1,222,2()()iji jiji jtttd tOxdxx2,1,1222,2()()i ji ji ji jtttd tOydyy1,1,1,1, ,22220()()iji jiji ji ji jV i jttttttqxy4如果采用正方形的网格，即xy ，且无内热源(qV0) ，则式(5-2-4 ) 简化为 4 ( 5-2-5 ) 4注意到该差分方程的截断误差是O(x)2 + (y)2。利用边界条件也可导得边界节点的差分方程。若边界节点(1, j)和(n,

8、j)分别满足绝热边界条件和第三类边界条件： 4 (5-2-6) 4 (5-2-7) 4把式(5-l-7 )的朝前差分格式代入式(5-2-6)，可得边界节点(1，j)的差分方程4 (5-2-8) 5-2 稳态导热的数值分析稳态导热的数值分析 ,1,1,1,114i jijiji ji jttttt0,0txx,()0ftxLh ttx1,2,0jjtt4注意到，该节点方程的截断误差为x量级，与内节点差分方程的截断误差相比，其精度低于一个量级。为了使各节点方程的精度能够均衡，可以利用“虚节点”的概念对边界节点进行适当的处理。 假设在边界节点(l, j)的外面还有个节点(0, j )，且 。注意该处

9、的边界还是维持绝热，而节点(1, j)可以按内节点处理，得到4 (5-2-9)4很显然，该节点方程的截断误差是(x)2量级的。4对于第三类边界条件的节点(n, j ) ，出于同样的考虑，也可以假设有一个虚节点(n+1, j )。这样，一方面边界节点(n, j )可以按内节点处理，得到4 (5-2-10) 5-2 稳态导热的数值分析稳态导热的数值分析 0,2,jjtt1,2,1,1,1124jjji jtttt,1,1,1,114n jnjnjn jn jttttt4另一方面该节点还应满足边界条件式(5-2-14)。采用截断误差为O(x)2的中心差分格式的式(5-l-9)代入边界条件，得4 (5

10、-2-11) 4联立式(5-2-10)、(5-2-11)消去虚节点的温度，整理得4 (5-2-12)4其他边界节点，如两个边界相交处的节点，也可以按同样的思路加以处理。 5-2 稳态导热的数值分析稳态导热的数值分析 1,1,02njnjn jftth ttx,1,1,12224n jnjn jn jfh xh xttttt4建立节点方程的另一个方法是“元体热平衡法”。这一方法不是从偏微分方程的边值问题出发考虑问题，而是以积分形式对一些有限的元体从能量守恒关系建立方程，因此方程的物理概念更加清晰。两者处理问题的步骤基本相同，对大多数情况也得到形式相同的差分方程。但是，从微分方程出发的方法要求温度

11、场在节点处的函数值和一阶、二阶导数值连续，而元体热平衡法则没有这样的要求。因此，在处理位于边界上、复合介质的结合面上、有接触热阻处等温度分布不光滑、不连续的节点时，元体热平衡法就更为方便和灵活。4用元体热平衡法建立节点方程，第一步仍是把区域离散化，需要把整个区域划分为有限个小单元体。在每个元体内近似地取一点的温度代表整个元体的温度，该点也称为节点。从原则上说，节点位置的选取可以是任意的，但从建立节点方程的方便考虑，内部单元的节点总是取在它的中心，边界单元的节点则取在边界上。 5-2 稳态导热的数值分析稳态导热的数值分析 4把能量守恒关系应用于每个元体，在稳态导热的情况下，从所有相邻的元体导入的