概率论与数理统计(2.3 随机变量的分布函数与连续型随机变量

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1、返回返回上页上页下页下页目录目录2022年5月30日星期一1第三节第三节 随机变量的分布函数随机变量的分布函数 与连续型随机变量与连续型随机变量分布函数的定义及其性质分布函数的定义及其性质连续型随机变量的定义及其概率密度的性质连续型随机变量的定义及其概率密度的性质几种重要的连续型随机变量几种重要的连续型随机变量 返回返回上页上页下页下页目录目录2022年5月30日星期一2一、分布函数的定义及性质由于1221()()()P xXxP XxP Xx为此我们引入随机变量的分布函数的概念如下：定义： 设X是一个随机变量，x是任意实数，函数( )()F xP Xx称为随机变量X的分布函数分布函数。从而1

2、221()()()P xXxP XxP Xx21()()F xF x也就是说，可以通过分布函数，计算随机变量落在任意一个区间的概率。返回返回上页上页下页下页目录目录2022年5月30日星期一3不加证明地给出分布函数的一些性质:(1)(单调性) 对于任意实数 ，有1212,()x xxx12()()F xF x(2)(有界性)0( )1, lim( )0, lim( )1xxF xF xF x(3)(右连续性)00lim( )()xxF xF x() FP X不可能事件() FP X必然事件返回返回上页上页下页下页目录目录2022年5月30日星期一4例：例：若随机变量X的分布律为12341111

3、4288kXp则随机变量X的分布函数为( )F x1x0,12x1 ,P X23x12P XP X34x123P XP XP X4 x1234P XP XP XP X返回返回上页上页下页下页目录目录2022年5月30日星期一5即0,1,1,12,43( ),23,47,34,81,4.xxF xxxx分布函数的图像如下： 分布函数的图像是一个右连续的阶梯形。且在间断点处的跳跃值等于X取这个值的概率。例如。14783411234( )F xx311(2)442P X 返回返回上页上页下页下页目录目录2022年5月30日星期一6二、连续型随机变量的定义及其概率密度的性质 定义：设F(x)是随机变量

4、X的分布函数，若存在非负可积函数f(x),使得对任意实数x，有( )( )dxF xf tt称X为连续型随机变量，称f(x)为X的概率密度函数，或密度函数，也称概率密度。返回返回上页上页下页下页目录目录2022年5月30日星期一7 性质：1.( )0f x 2.( )d1f x x从图形上来看，性质1表示X的概率密度f(x)位于x轴上方， 性质2表示f(x)与x轴所围区域面积等于1.返回返回上页上页下页下页目录目录2022年5月30日星期一8 3.对于任意实数 ，有1212,()x xxx211221()()()( )dxxP xXxF xF xf xx从图形上来看，性质3表示X落在区域 的概

5、率等于相应的曲边梯形的面积。12( ,x x 4.若f(x)在点x处连续，则( )( )F xf x对于连续型随机变量X 来说，通过F(x)求导得f(x) ，通过f(x)积分得F(x)。返回返回上页上页下页下页目录目录2022年5月30日星期一9 5.连续型随机变量取任一指定实数值的概率为零 即00P Xx由性质5，易得：121212()()()P xXxP xXxP xXx2112()( )dxxP xXxf xx注：对离散型随机变量，上式不成立。返回返回上页上页下页下页目录目录2022年5月30日星期一10例：例：若随机变量X的概率密度为2(42),02,( )0,Cxxxf x其它.(1

6、)求C的值； (2)X的分布函数；(3)PX1.解：解：(1)由于 ，有( )d1f x x220(42)d1Cxxx得38C 返回返回上页上页下页下页目录目录2022年5月30日星期一11(2)由 ，有( )( )dxF xf tt202200200d ,0,3( )0d(42)d ,02,830d(42)d0d ,2.8xxxxxF xxxxxxxxxxxx230,0,31( ),02,441,2.xF xxxxx即分段分段讨论讨论返回返回上页上页下页下页目录目录2022年5月30日星期一12(3)1P X1( )df xx2213(42)d8xxx12111111(1)122P XP X

7、F 或返回返回上页上页下页下页目录目录2022年5月30日星期一13几种常见的连续型随机变量的分布几种常见的连续型随机变量的分布一、均匀分布一、均匀分布定义：若连续型随机变量X的概率密度为1,( )0,axbf xba其它.则称X服从 上的均匀分布。, a b记为,XU a b 意义：意义：X“等可能等可能”地取区间地取区间 中的值，这里的中的值，这里的“等可等可能能”理解为：理解为： X落在区间落在区间 中中任意等长度任意等长度的子区间内的可能的子区间内的可能性是相同的。即等长度，等概率。性是相同的。即等长度，等概率。, a b, a b1()d, , , dcdcP cXdxc da bb

8、aba返回返回上页上页下页下页目录目录2022年5月30日星期一14均匀分布的概率密度和分布函数图形如下：0,( ),1,.xaxaF xaxbbaxb分布函数：返回返回上页上页下页下页目录目录2022年5月30日星期一15 例：例：设某公共汽车站从早上7:00开始每隔15分钟到站一辆汽车，即7:00，7:15，7:30，7:45等时刻有汽车达到此站如果一个乘客到达该站的时刻服从7:00到7:30之间的均匀分布求他等待时间不超过5分钟的概率 解：解：设X表示乘客到达该车站的时间，则0,30XU 乘客等待时间不超过5分钟当且仅当他在7:10到7:15之间或在7:25到7:30之间到达车站 因此所

9、求概率为10152025PXPX1,030,( )300,xf x其它.1525102011dd3030 xx13返回返回上页上页下页下页目录目录2022年5月30日星期一16设在-1，5上服从均匀分布，求方程2210 xx 有实根的概率。解 方程有实数根 2440即 1而 的密度函数为 1 ( 15)( )60 xf x 其它故所求概率为 1121( )( )3Pf x dxf x dx返回返回上页上页下页下页目录目录2022年5月30日星期一17二、指数分布二、指数分布定义：若连续型随机变量X的概率密度为e,0,( )0,0.xxf xx其中 0,则称X服从参数为的指数分布。 记为 XE(