概率论第一章第三节

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1、1.3 概率概率 概率论作为应用数学的一个重要分支，它研究的是随机现象量的规律性.因此，对于一个随机试验，仅仅知道试验中可能出现哪些事件是不够的，还必须对事件发生的可能性大小进行量的描述.即希望用一个数字来描述一个随机事件发生的可能性大小，这就是概率的粗略含义. 描述事件发生可能性大小的数量指标称为事件发事件发生的概率，记作生的概率，记作P(A).概率的统计定义:概率的客观存在性的描述性定义；古典定义：特定试验中概率的古典定义，在概率论发展史上人们最早研究的是概率的古典定义；描述概率的基本属性的公理化定义.1.3.1 概率的古典定义概率的古典定义把具有以下两个特点的随机试验的数学模型称为古典概

2、型古典概型： （1）有限性有限性 试验的基本事件总数为有限个； （2）等可能性等可能性 每次试验中，各个基本事件出现的可能性相同. #( )#1.3.#1#.AAP AAA在古典概型中，随机事件 发生的概率为其中、分别表示 包含的基本事件个数和试验的基定本事件总数义例例1.3.1 一个五位数字的号码锁，每位上都有0,1, 9十个数码，若不知道该锁的号码，问开一次锁就能将改锁打开的概率有多大？55#1 #10#1( )0.00001.#10 AAAP A 设“开一次就把锁打开”， 则，于是解 若不知道锁的号码，要想一次就将锁打开的可能性是很小的.通常我们把这种概率很小的事件称为小概率事件. 例例

3、1.3.2 12个球中有5个红球，4个白球，3个黑球，从中任取2个球，计算没有取到红球的概率.22712#21, #66.#217( ).#6622 AACCAP A 记取到的2个球中没有红球 ，则 解例例1.3.3 一箱产品有100个，其中有10个次品，90个正品.从中任取3个.计算： （1）没有取到次品的概率； （2）最多取到1个次品的概率.0,1.iAii 记“取出的3个产品中有 个次品”，解309003100#117480(1) ()0.727.#161700ACP AC则31201901090013100#()(2) ()#AACCCP AAC31001174804005015753

4、00.974.161700C例例1.3.4 从从5 5双不同尺码的手套中任取双不同尺码的手套中任取4 4只，求至少有只，求至少有2 2只配成一双的概率只配成一双的概率. .4.A 设只手套中至少2只配成双解410#210.C 解一 121154224CCCC只中恰有2只配成一双的取法数，254C只中恰好配成2双的取法数，1211254225#130.ACCCCC于是0#13013( ).#21021AP A 得解法二解法二 4只中恰好有2只配成1双的取法按下列步骤进行：先从5双中任取1双，再从余下的8只中任取2只，但须剔除其中配成1双的种数.于是12125845#()130.ACCCC0#13

5、013( ).#21021AP A 122585#130.ACCC或（1）指定的）指定的n个箱子各放一球；个箱子各放一球；（2）每个箱子最多放入一球；）每个箱子最多放入一球；（3）某指定的箱子不空；）某指定的箱子不空；（4）某指定的箱子恰好放入）某指定的箱子恰好放入k（kn）个球。）个球。123N例例1.3.5 分球入箱问题分球入箱问题（分房问题，生日问题）（分房问题，生日问题）将将n个球个球( (可辨认可辨认) )随意地放入随意地放入N个箱子中个箱子中( (Nn),),其中每个球都其中每个球都等可能地放入任意一个箱子，等可能地放入任意一个箱子，求下列各事件的概率：求下列各事件的概率：!(1)

6、()nnP AN (2)( !)( ).nNnnNNnnnCnPPP BN 每每个个箱箱子子最最多多放放入入一一球球等等价价于于将将 个个球球放放进进任任意意的的 个个箱箱子子中中，每每箱箱一一个个球球，其其放放法法有有（或或记记作作）种种，则则有有将将n个球随意地放入个球随意地放入N个箱子，共有个箱子，共有nN种放法，种放法，分别记上述四事件为分别记上述四事件为A,B,C,D。解：解：(1)(3)()(1)()1()nnnnnNP CNNNP CP CN (1)(4)()knknnCNPDN )3! 3:(3答案答案练习练习1o 分房问题分房问题 将张三、李四、王五将张三、李四、王五3人等可

7、能地人等可能地分配到分配到3 间房中去间房中去,试求每个房间恰有试求每个房间恰有1人的概率人的概率.解解: :他他们们的的生生日日各各不不相相同同的的概概率率为为365364(3651)365nn (365).nn 2 2. . 求求 个个人人中中至至少少有有两两个个人人生生日日相相同同的的概概率率nnp365)1365(3643651 人数人数至少有两人生日相同的至少有两人生日相同的 概率概率100.11694817771107765187200.41143838358057998762300.70631624271926865996400.89123180981794898965500.9

8、7037357957798839992600.99412266086534794247700.99915957596515709135800.99991433194931349469900.999993848356123603551000.999999692751072148421100.999999989471294306211200.999999999756085218951300.999999999996240323171400.999999999999962103951500.99999999999999975491600.99999999999999999900我们利用软件包进行数值

9、计算我们利用软件包进行数值计算.1.3.2 概率的统计定义概率的统计定义.随机试验并不限于古典概型一类，若随机试验不是古典概型，为判定事件发生的可能性大小，一个可靠的方法是进行大量重复地试验( )( )( )( ).n AnAAAnAn AAAn一般地，记为 次试验中事件 出现的次数，称为 的.记为 次试频数频率验中事件 出现的次数与试验总次数的比值，称为 的，即 频率也可以反映事件发生的可能性大小，它是从多次试验的结果来考察随机事件发生的可能性大小，因而有随机性.它的数值依赖于试验.对于同一事件，不仅试验次数不同可以得出不同的频率，就是试验次数相同，得到的频率也可能不同. 概率是由随机事件本

10、身的结构决定的，它反映了随机事件所固有的客观属性，它是客观存在的，它的大小与是否试验及试验的次数无关. 在大量重复试验的条件下，随机事件出现的频率将会随着试验次数n的增大而逐渐趋于稳定.我们称频率的稳定值为事件A发生的概率P.以抛掷一枚硬币的试验为例，设事件表示以抛掷一枚硬币的试验为例，设事件表示“正面向上正面向上”即徽花向上即徽花向上.表表1-1列举了几位著名学者的试验结果列举了几位著名学者的试验结果. 表表1-1 当n充分大时，事件A发生的频率稳定于常数值0.5.称这一现象为频率的稳定性.事实上，上述试验属于古典概型，利用概率的古典定义很容易计算出事件A发生的概率为P(A)=0.5 .定义

11、定义1.3.2 在相同的条件下，重复进行n次试验，当试验次数n充分大时，事件A发生的频率稳定地在某一数值p附近摆动.而且一般说来，随着试验次数的增加，这种摆动的幅度将减小.我们称这个客观存在的频率的稳定值p为事件A在上述条件下，一次试验中发生的概率概率.记为p(A)=p.这个定义通常称为概率的统计定统计定义义. 严格地讲，概率的统计定义只是一种描述性的定义.在大多数情况下，定义中提到的客观存在的数值p无法具体地确定.一般只是在大量重复试验的条件下，通过频率值或一系列频率的均值作为概率p(A)的近似值.但是，频率的稳定性及频率与概率之间的联系为我们进一步研究概率奠定了基础.1.3.3 概率的公理