特殊数列求和

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1、 .) 1(212)(:n. 1:.11ndnnnaaanSann项和的前等差数列公式法一) 1(11)1 () 1(S:n. 2111nqqqaaqqaqnann项和等比数列前) 1(21:. 31nnnkSnk正整数数列的求和) 12)(1(61:. 412nnnnkSnk正整数平方和公式222113n) 1(41)(:. 5nnkkSnknk正整数立方和公式数列求和的方法之一:倒序相加法例1. 求和：.110108339221011222222222222 对某些前后具有对称性的数列，可运用倒序相加法求其前n项和.即：如果一个数列的前n项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用

2、倒序相加法求数列的前n项和. 111222121211421211221*m,.xnmmnfxPxyPxyfxP PPaafafmmmmafafmNammmS练习：已知函数点是函数图象上任意两点，且线段的中点横坐标为 ，求证：点 的纵坐标为定值.在数列中，若求数列的前项和3112m=mS数列求和的方法之二:分组求和法分组法求和:将已知数列的每一项进行适当的拆分后再分组，可组成几个等差数列或等比数列，进行求和.22222n)1()1()1(:nnxxxxxxS求和思考提示:通过分析通项,分组选用公式求和,但要注意分x1和x=1两种情况讨论.211 111 1111.1, , , .n例 求数列，

3、 的前 项和练习:求下列各数列前n项的和Sn：(1)1(2)1,1 2,1 2 4,1 2 42 ,n 22122nnnnSnSn221n1111234248161,，数列求和的方法之三:并项求和法在数列中相邻两项或几项的和是同一常数或有规律可循时，采用并项求和法.3121.,.nnnnaannS 例 已知数列的通项公式为求其前 项和,=, nn nSnn为奇数为偶数 11223,.nnnnnaaaananS练习：已知数列满足求数列的前 项和2232362, ,nnnnSnnn为偶数为奇数111(2)12231nn例4. 求和：111(1)11212312n典型例题1n2n11n数列求和的方法

4、之四:裂项相消法裂项相消法求和：将数列的通项分解成两项之差，从而在求和时产生相消为零的项的求和方法.351.(1)(2); 2.41 (2)312(2)nnnnnnnn，(1)11111 32 43 52+ +n n(2)44 77 10(32) 3111111+ +n-n1.求和：21232.,nnnnaannanS数列通项公式为求数列的前项和数列求和的方法之五:错位相减法错位相减法:主要运用于等差数列与等比数列的积. 解： 例5.设数列为,求此数列前n项和。 na1324 ,3 ,2 , 1nnxxxx0 xnnnnxxnxxxxS1321321324321nnnxxxxSnnnnxxxx

5、Sx1211nnnnxxxSxx1111时，当xnxxnnn111121111xnxxnSnnn2143211nnnSxn时，当(错位相减法) (1)122438n2n=n13572n1(2)248162n 1(n-1).2+2求和：我也会做!n13 (2n 3( )2）设an为等比数列,Tnna1+(n一一1)a2+2an-1+an， 已知T11，T24(1)求数列an的通项公式；(2)求数列Tn的通项公式n 1nn 1n(1)2(2)T2n2a 能力提升01114,( ,)(, ,)( ).nnxnnnnanSnNn Sybr bbb rna1.等比数列的前 项和为已知对任意的点在函数是常

6、数 的图象上求r的值(2)当b=2时,记b =,求数列b 的前n项和高考题选：2.已知数列an的各项均为正数,Sn为其前n项和，对于任意的nN*满足关系式2Sn3an3.(1)求数列an的通项公式；(2)设数列bn的通项公式是bn前n项和为Tn,求证:对于任意的正数n,总有Tn1.133loglog1nnaa3.设数列 an n 满足a1 13 3a2 23 32 2a3 33 3n n1 1an n ， nNnN* *. .(1)求数列 an n 的通项公式；(2)设b bn n ，求数列bn的前n项和Sn. .n3nna【解析【解析】(1)(1)a1 13 3a2 23 32 2a3 33

7、 3n n1 1an n 当当n2n2时，时，a1 13 3a2 23 32 2a3 33 3n n2 2an n1 1 得得3 3n n1 1an n ，an n . .在在中，令中，令n n1 1，得，得a1 1 ，适合，适合an n ，an n . .n3n-1313n1313n13n13(2)b(2)bn n ，b bn nn n3 3n n. .SSn n3 32 23 32 23 33 33 3n n3 3n n 3S3Sn n3 32 22 23 33 33 33 34 4n n3 3n n1 1 得2S2Sn nn n3 3n n1 1(3(33 32 23 33 33 3n

8、n) )，即即2S2Sn nn n3 3n n1 1 ，S Sn n nnan3(1-3 )1-3n 1(2n1)33.444.已知数列 an n 的前n项和为Sn, ,满足S Sn n=2=2an n-2n-2n, ,(1)求证:数列 an n+2+2为等比数列；(2)若数列 b bn n 满足b bn n=log=log2 2( (an n+2),T+2),Tn n为数列 的前n项和,求证:Tn .nn+2ba12【自主解答【自主解答】(1)(1)当nN*时,S,Sn n=2=2an n-2n -2n 则当n2,nN*时,S,Sn-1n-1=2=2an-1n-1-2(n-1) -2(n-1

9、) -，得an n=2=2an n-2-2an-1n-1-2-2，即an n=2=2an-1n-1+2,+2,an n+2=2(+2=2(an-1n-1+2), =2,+2), =2,当n=1时，S S1 1=2=2a1 1-2,-2,则a1 1=2.=2.an n+2+2是以a1 1+2=4+2=4为首项，2为公比的等比数列.nn-1+2+2aa课堂小结课堂小结:(1)公式法:直接运用等差数列,等比数列求和公式;(2)分组转化法:将已知数列的求和问题化为等差数列,等比数列求和问题；(3)倒序相加法:对前后项有对称性的数列求和；(4)错位相减法:等比数列与等差数列组合数列求和(5)裂项求和法:将数列的通项分解成两项之差,从 而在求和时产生相消为零的项的求和方法.常用数列求和方法有：常用数列求和方法有：课后作业:23412343.22222nn求的 值.,1616,814,412. 1项的和项的和前前求数列：求数列：n .nb,2b,11211,. 21项和的前求数列又中在数列nnnnnnaannnnaa