第三章第3节向量间的线性关系

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1、3.3 3.3 向量间的线性关系向量间的线性关系 ) 1 . 3(22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa线性方程组（线性方程组（3.1）写成常数列向量与系数列向量如下的线性关系写成常数列向量与系数列向量如下的线性关系1 12 2nnxxx称为方程组（称为方程组（3.1）的向量形式。）的向量形式。一、线性组合一、线性组合其中其中1122j(1,2, );jjmjmababjnab都是都是m维列向量。维列向量。1212,)mmxxx （线性方程组（线性方程组（3.1）也可写成）也可写成线性方程组（线性方程组（3.1）是否有解，相当于是

2、否存在一组）是否有解，相当于是否存在一组数，数，1122,nnxk xkxk使线性关系式使线性关系式1122nnkkk成立。成立。 即常数列向量即常数列向量是否可以表示成上述系数是否可以表示成上述系数列向量组列向量组12,n 的线性关系式。的线性关系式。，组实数组实数，对于任何一，对于任何一给定向量组给定向量组mmkkkA,: 2121 定义定义., 21个线性组合的系数个线性组合的系数称为这称为这，mkkk，称为向量组的一个称为向量组的一个向量向量 2211mmkkk 线性组合线性组合mmb 2211，使，使，一组数一组数如果存在如果存在和向量和向量给定向量组给定向量组mmbA ,: 212

3、1. 2211有解有解即线性方程组即线性方程组bxxxmm 的线性组合，这时称的线性组合，这时称是向量组是向量组则向量则向量Ab 向量向量 能能由向量组由向量组 线性表示线性表示bA1122 .mmxxxb线性方程组有解1212,)mmxxbx （也可写成：也可写成：.),(),( 2121的秩的秩，的秩等于矩阵的秩等于矩阵，条件是矩阵条件是矩阵线性表示的充分必要线性表示的充分必要能由向量组能由向量组向量向量bBAAbmm 定理定理: :【例【例1 】 零向量是任何一组向量的线性组合零向量是任何一组向量的线性组合. .,)1(,2121的的线线性性组组合合都都是是此此向向量量组组中中的的任任一

4、一向向量量向向量量组组sjssj 【例【例2】都是都是n维单位向量组维单位向量组1, 0, 00, 1, 00, 0, 121n 的线性组合的线性组合. . naaan,21 维维向向量量任任何何一一个个【例【例3】 ) 1 . 3(22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa令令njaaamjjjj, 2 , 121 mbbb21 对应的向量形式为对应的向量形式为 nnxxx2211)()(ArAr结论结论线线性性表表示示向向量量组组可可由由n ,21非齐次线性方程组非齐次线性方程组(3.1)有解有解即即).,(),(2121 nnr

5、r1212430114311112152111. 判判断断（ ， ， ，）, ,（ ， ，）是是否否为为向向量量组组（ ， ，），（ ， ， ）的的线线性性组组合合【例【例4】 121TTT 1115011312421 990430550421 1104210 0 10 0 012121(,)2(,)3TTTTTrr 112. 不不能能由由，线线性性表表示示【解】【解】11221,kk 设设121()TTT对对矩矩阵阵施以初等行变换：施以初等行变换： 122TTT 1242131115111 124055033099 1104210 0 00 0 012122(,)2(,)TTTTTrr 11

6、2. 不不能能由由，线线性性表表示示【解】【解】11222,kk 设设122()TTT对对矩矩阵阵施以初等行变换：施以初等行变换：二、线性相关与线性无关二、线性相关与线性无关.,0,021221121线线性性相相关关称称向向量量组组，使使得得的的数数如如果果存存在在一一组组不不全全为为sssskkkkkk .,0021221121线线性性无无关关称称向向量量组组，才才能能使使如如果果只只有有sssskkkkkk 定义定义 )9 . 3(000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa02211 nnxxx njaaamjjjj, 2 , 121

7、对应的向量形式为对应的向量形式为结论结论线线性性无无关关n ,)1(21齐次线性方程组齐次线性方程组(3.9)(3.9)只有零解只有零解nrn),(21 当当m= =n时时0212222111211nnnnnnaaaaaaaaa线线性性相相关关n ,)2(21齐次线性方程组齐次线性方程组(3.9)(3.9)有非零解有非零解nrn),(21 当当m=n时时0212222111211nnnnnnaaaaaaaaa【例【例5】仅由一个零向量组成的向量组线性相关仅由一个零向量组成的向量组线性相关. .【例【例6】包含零向量的向量组必线性相关包含零向量的向量组必线性相关. .仅由一个非零向量组成的向量组

8、线性无关仅由一个非零向量组成的向量组线性无关. .【例【例7】 n n维单位向量组维单位向量组n ,21线性无关线性无关. .nnkkk 2211nkkk,21=0=0. 021nkkk 1234213142542123 ,3212 ; ， ， ， ， ，【例【例8】判断下列向量组是否线性相关】判断下列向量组是否线性相关?1、【解解】对矩阵对矩阵 施以初等变换化为阶梯形矩阵施以初等变换化为阶梯形矩阵 TTTT4321, 2341125321213242.,4321线线性性相相关关所所以以 2121234112533242 21210 0 0 10 1 1 50 2 2 0 2121 0 1 1

9、 50 0 0 1 0 0 0 10 01010 1 1 00 0 0 10 0 0 0所以秩所以秩 TTTT4321, =34, 1231203251103412 . ， ， ， ， ，2、TTT321, 2103110452321可知可知, 3,321TTTr 因此因此.,321线性无关线性无关 7401101090321 3001101900321 3001900110321 1001103210 0 0【解】【解】定理定理3.4推论：推论： 当向量组中所含向量的个数大于向量的当向量组中所含向量的个数大于向量的 维数时，此向量组线性相关。维数时，此向量组线性相关。证：设证：设12(, ,