第三十六讲二阶常系数线性微分方程

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1、高等院校非数学类本科数学课程第七章 常微分方程本章学习要求：n了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念.n了解下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程、齐次方 程、一阶线性方程、伯努利（Bernoulli）方程和全微分 方程.熟练掌握分离变量法和一阶线性方程的解法.n会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程.n知道下列高阶方程的降阶法： . )()(xfyn ),(yxfy ),(yyfy n了解高阶线性微分方程阶的结构，并知道高阶常系数齐线 性微分方程的解法.n熟练掌握二阶常系数齐线性微分方程的解法.n掌握自由项（右端）为多项式、指数函数、正弦函数、余 弦函数以及它们的和或乘积的二阶常

2、系数非齐线性微分方 程的解法.第五节第五节 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程0 yqypy二阶常系数齐线性方程二阶常系数齐线性方程)(xfyqypy 二阶常系数非齐线性方程二阶常系数非齐线性方程特征方程特征方程02qp特征根特征根 , 21 2211yCyCy通解通解 * y特解特解 * yyy通解通解一、二阶常系数齐次线性微分方程一、二阶常系数齐次线性微分方程形如形如) 1 ( 0 yqypy )(常数。常数。实实为为的方程，称为二阶常系数齐线性微分方程，的方程，称为二阶常系数齐线性微分方程， qp、其中其中 得得的解，则代入方程后，的解，则代入方程后，假设方程有形如假设方程有形

3、如xey 02，xxxeqepe即即 02。qp二阶常系数齐线性微分方程二阶常系数齐线性微分方程) 1 ( 0 yqypy的特征方程为的特征方程为 02。qp ) 121，则，则实根实根特征方程有两个不同的特征方程有两个不同的xxeyey2121 ，是方程是方程 (1) 的两个线性无关的解，故方程的两个线性无关的解，故方程 (1) 的通解为的通解为 21212211。xxeCeCyCyCy二阶常系数齐线性微分方程二阶常系数齐线性微分方程) 1 ( 0 yqypy的特征方程为的特征方程为 02。qp )221，则，则实重根实重根特征方程有特征方程有 ) 1 ( 11的一个解。的一个解。是方程是方

4、程此时，此时，xey 042， qp由求根公式由求根公式 22422, 1，pqpp021p由刘维尔公式求另一个解：由刘维尔公式求另一个解：xeexeeeyxpxxxpxdd)()2(2d21111021p d11。xxexxe于是，当特征方程有重实根时，方程于是，当特征方程有重实根时，方程 ( 1 ) 的通解为的通解为 )(2121111。xCCeexCeCyxxx二阶常系数齐线性微分方程二阶常系数齐线性微分方程) 1 ( 0 yqypy的特征方程为的特征方程为 02。qp3) 特征方程有一对共轭复根：特征方程有一对共轭复根： i i21，则，则， )i(2)i(121xxxxeeyeey，

5、是方程是方程 ( 1 ) 的两个线性无关的解，其通解为的两个线性无关的解，其通解为 )i(2)i(12211。xxeCeCyCyCy利用欧拉公式去掉表达式中虚数单位利用欧拉公式去掉表达式中虚数单位 i 。 欧拉公式：欧拉公式： sinicosi。e )sini(cosi)i(1，xxeeeeyxxxx )sini(cosi)i(2。xxeeeeyxxxx由线性方程解的性质：由线性方程解的性质： cos)(21211，xeyyyx sin)(i21212xeyyyx均为方程均为方程 ( 1 ) 的解，且它们是线性无关的：的解，且它们是线性无关的： 0sin cos。，xexeWxx故当特征方程有

6、一对共轭复根故当特征方程有一对共轭复根 i i21，时，原方程的通解可表示为时，原方程的通解可表示为 )sincos(21。xCxCeyx二阶常系数齐线性微分方程二阶常系数齐线性微分方程 0 yqypy特征方程特征方程 02。qp特特 征征 根根通通 解解 形形 式式)( 21实根实根xxeCeCy2121)( 21实重根实重根)(211xCCeyx)( i2, 1共轭复根共轭复根)sincos(21xCxCeyx 例解解 032 的通解。的通解。求方程求方程 yyy 032 2，特征方程特征方程 3 1 21，特征根特征根 321。所求通解为所求通解为xxeCeCy 例解解 052 的通解。

7、的通解。求方程求方程 yyy 052 2，特征方程特征方程 i21 i21 21，特征根特征根 )2sin2cos( 21。所求通解为所求通解为xCxCeyx 例解解 0 d d2 dd 22满足初始条件的解：满足初始条件的解：求方程求方程ststs 012 2，特征方程特征方程 1 21，特征根特征根 ) ( 21。所求通解为所求通解为tCCeyt 2 d d 4 0 0 。，tttss 2 4 2 d d 4 210 0 ，得得，由初始条件由初始条件CCtsstt故所求特解为故所求特解为 ) 24(。test 例解解 的弹簧从静止状态的弹簧从静止状态用手将悬挂着的质量为用手将悬挂着的质量为

8、 m此时弹簧仅受到弹性恢复力此时弹簧仅受到弹性恢复力 f 的作用。求反映此弹的作用。求反映此弹 O 0时，时，的位移为的位移为当点当点xx 突然放手，突然放手，开始拉长，开始拉长，簧运动的规律（设其弹性系数为簧运动的规律（设其弹性系数为 k ）。）。O 例解解 的弹簧从静止状态的弹簧从静止状态用手将悬挂着的质量为用手将悬挂着的质量为 m此时弹簧仅受到弹性恢复力此时弹簧仅受到弹性恢复力 f 的作用。求反映此弹的作用。求反映此弹 O 0时，时，的位移为的位移为当点当点xx 突然放手，突然放手，开始拉长，开始拉长，簧运动的规律（设其弹性系数为簧运动的规律（设其弹性系数为 k ）。）。O0 xx取取

9、x 轴如如图所示。轴如如图所示。由力学的虎克定理，有由力学的虎克定理，有 。xkf（ 恢复力与运动方向相反恢复力与运动方向相反 ）由牛顿第二定律，得由牛顿第二定律，得 dd22。xktxm 2，则有，则有移项，并记移项，并记mka )0( 0 dd222。，axatx它能正确描述我它能正确描述我们的问题吗？们的问题吗？ 0 ，则有初始条件：，则有初始条件：t记拉长后，突然放手的时刻为记拉长后，突然放手的时刻为 00 ，初始位移初始位移xxt 0 dd 0 。初始速度初始速度ttx我们要找的规律是下列初值问题的解：我们要找的规律是下列初值问题的解： 0 dd222，xatx 00 ，xxt。 0

10、 dd 0 ttx 0 dd222，xatx 00 ，xxt。 0 dd 0 ttx 0 22，特征方程特征方程a i 2, 1，特征根特征根a sin cos 21。所求通解为所求通解为taCtaCy 0100 ；，得，得由由xCxxt 0 0) cos sin( dd 220 210 。，得，得由由CaCtaaCtaaCtxtt从而，所求运动规律为从而，所求运动规律为 ) ( cos0。，mkataxx二、二、n 阶常系数齐线性微分方程阶常系数齐线性微分方程形如形如) 1 ( 01)1(1)(ypypypynnnn )(常数。常数。实实为为的方程，称为的方程，称为 n 阶常系数齐线性微分方

11、程，阶常系数齐线性微分方程， , 1npp 其中其中n 阶常系数齐线性微分方程的特征方程为阶常系数齐线性微分方程的特征方程为 单实根单实根xCe 1 项项 实重根实重根k)( 121kkxxCxCCek项项 一对共轭复根一对共轭复根)sincos( 221xCxCex项项 011 1 nnnnpppi 2, 1 重复根重复根一对共轭一对共轭 ki 2, 1 2 项项k cos)(121xxCxCCekkx sin)(121xxDxDDkk特特 征征 根根通通 解解 中中 的的 对对 应应 项项 例解解 0dd3dd3dd 2233的通解。的通解。求方程求方程xxyxyxy 0133 23，特征