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1、2022-5-2712.1 测量误差的基本原理测量误差的基本原理2.1.1 研究误差的目的研究误差的目的1、合理处理测量数据使其接近真值。、合理处理测量数据使其接近真值。（真值是真值是理想结果，虽然理想结果，虽然真值真值不可知但可以逼近）。不可知但可以逼近）。2、合理选取所得结果误差。、合理选取所得结果误差。（误差误差过大会造成过大会造成危害，危害，误差误差过小会产生浪费过小会产生浪费）。）。3、合理选择仪器，设计出最佳的实验方案，低成本、合理选择仪器，设计出最佳的实验方案，低成本获得预期结果。获得预期结果。第第2章章 误差理论与测量不确定度的评定误差理论与测量不确定度的评定 电子测量技术电子
2、测量技术2022-5-2722.1.2 测量误差的表示方法测量误差的表示方法 测量误差有绝对误差和相对误差两种表示方法。测量误差有绝对误差和相对误差两种表示方法。1、 绝对误差绝对误差定义定义：由测量所得到的被测量值由测量所得到的被测量值x与其真值与其真值A0之差：之差： ) 1 . 1 . 2(0AxxxxA （2.1.2）修正修正值：值：) 3 . 1 . 2 (xAxC)4 . 1 . 2(CxA被测实际值：被测实际值：例例2.1.2 用毫伏表的用毫伏表的10mV档测量时，档测量时，示值示值为为8mV，在检定时在检定时8mV8mV刻度处的修正值是刻度处的修正值是 0.03mV，则被测电则
3、被测电压的实际值为压的实际值为： U= x + C = 8+( 0.03) =7.97（mV）2.1 测量误差的基本原理测量误差的基本原理2022-5-2732、相对误差、相对误差（1）定义）定义：绝对误差与其真值之比：绝对误差与其真值之比。衡量测量准确衡量测量准确度用相对误差。度用相对误差。例例：测量足球场的长度为测量足球场的长度为400米米，测量南京到徐州的，测量南京到徐州的距离为距离为360千米千米，若绝对误差都为，若绝对误差都为1米米，测量的准确，测量的准确程度是否相同？程度是否相同？所以所以一个量的准确程度，不仅与它的绝对误差的大小，而且与一个量的准确程度，不仅与它的绝对误差的大小，
4、而且与它本身的大小有关。它本身的大小有关。相对误差相对误差：)5 . 1 . 2(%10000Ax特点：只有大小、符号，没有量纲和单位的纯数。特点：只有大小、符号，没有量纲和单位的纯数。实际相对误差实际相对误差： (2.1.6)用实际值用实际值A代替真值代替真值A0100%AxA 示值相对误差示值相对误差： (2.1.7)用测量值用测量值X 代替实际值代替实际值A100%xxx 2.1.2 测量误差的表示方法测量误差的表示方法2022-5-2742、相对误差、相对误差实实际际相相对对误误差差：(2.1.6)用用实实际际值值A代代替替真真值值A0100%AxA 实实际际相相对对误误差差：(2.1
5、.6)用用实实际际值值A代代替替真真值值A0100%AxA 示示值值相相对对误误差差：(2.1.7)用用测测量量值值X 代代替替实实际际值值A100%xxx 示示值值相相对对误误差差：(2.1.7)用用测测量量值值X 代代替替实实际际值值A100%xxx 2022-5-275 满度相对误差（满度相对误差（提前讲提前讲） 指最大绝对误差指最大绝对误差 xm与该量程值与该量程值xm（上限值或（上限值或下限值）之比来表示的相对误差。下限值）之比来表示的相对误差。100%mmmxx （2.1.13） 其中其中S为为指针表的最大满度相对误差，共分七级：指针表的最大满度相对误差，共分七级：0.1、0.2、
6、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0。若。若S=2.5，表示，表示该仪表的最大满度相对误差不超过该仪表的最大满度相对误差不超过S%即即 2.5%。 例例：检定一个检定一个1.5级级量程量程50mA的电流表，发现在某的电流表，发现在某处的最大误差为处的最大误差为0.7mA。其它刻度处的误差均小于。其它刻度处的误差均小于0.7mA，问这块电流表是否合格？，问这块电流表是否合格？%5 . 1%4 . 1500.7IImmaxnmax解：该表最大解：该表最大满度满度相对误差：相对误差： 可见这块可见这块电流表合格电流表合格。xm=mxm=s%xm (2.1.14)xm=s%xm%mxxSx（2.1.
7、15）测量点测量点x相对误差：相对误差：2、相对误差、相对误差作业作业2.102022-5-276例例2.1.6 某待测电流约为某待测电流约为100mA，现有，现有0.5级量程为级量程为400mA和和1.5级量程为级量程为100mA的两个电流表，问用的两个电流表，问用哪一个电流表测量较好？哪一个电流表测量较好？1400%0.5%2%100mxxsx 2100%1.5% 1.5%100mxxSx误差较小误差较小%mxxSx（2.1.15） 测量点的最大相对误差：测量点的最大相对误差： 在使用这类仪表测量时，应选择适当的量程，使示在使用这类仪表测量时，应选择适当的量程，使示值值x x尽可能接近于满
8、度值，指针最好能偏转在不小尽可能接近于满度值，指针最好能偏转在不小于满度值于满度值2/3以上的区域以上的区域。2、相对误差、相对误差作业作业2.112022-5-277（2）分贝误差（）分贝误差（dB）相对误差的对数相对误差的对数（2.1.8）（2.1.9）2、相对误差、相对误差作业作业2.122022-5-278例例2.1.4：2、相对误差、相对误差2022-5-2792.2测量误差的分类测量误差的分类2.2.1 按来源分按来源分 （1）仪器误差）仪器误差：由制造不完善、仪器老化等引起的由制造不完善、仪器老化等引起的。（2）影响误差）影响误差：由环境（温度、电源等）引起的由环境（温度、电源等
9、）引起的。（3）人身误差）人身误差：由生理原因或由生理原因或缺乏责任心缺乏责任心引起的引起的。（4）测量对象变化误差）测量对象变化误差：被测量变化引起动态误差被测量变化引起动态误差。（5）方法误差）方法误差：由由理论不严密理论不严密、方法不合理引起的、方法不合理引起的。例：振荡频率例：振荡频率LCfo1212.2.2 按性质分类按性质分类 可分为系统误差、随机误差、粗大误差三类。可分为系统误差、随机误差、粗大误差三类。 射击误射击误差示图差示图 系差小系差小随差大随差大系差大系差大随差小随差小系差小系差小随差小随差小第第2章误差分析与数据处理章误差分析与数据处理 图图2.2.3.2022-5-
10、27102.2.2 测量误差的分类测量误差的分类 1、系统误差（、系统误差（ ） 定义定义：在同一测量条件下，多次测量重复同一量时在同一测量条件下，多次测量重复同一量时，测量误差的绝对值和符号都保持不变测量误差的绝对值和符号都保持不变或在测量条件或在测量条件改变时按一定规律变化的误差。如仪器刻度误差等改变时按一定规律变化的误差。如仪器刻度误差等。 产生的产生的原因原因有有：设备问题设备问题、设备使用不当、环境因素设备使用不当、环境因素（温度、电源电压等）影响、使用近似公式等（温度、电源电压等）影响、使用近似公式等。 系统误差表明测量系统误差表明测量结果偏离真值结果偏离真值或实际值的或实际值的程
11、度程度。 系统误差的系统误差的定量定量：在重复性条件下，测量结果的平均在重复性条件下，测量结果的平均值值Ex（或（或 x）与真值）与真值A0之差。即之差。即：niixxnxEAx101)2 . 2 . 2( 特点特点：误差恒定、不易排除误差恒定、不易排除（除非改变恒差条件、对（除非改变恒差条件、对不同测量原理需要不同的处理方法）。不同测量原理需要不同的处理方法）。2022-5-2711 随机误差结果随机误差结果：单次单次测量结果测量结果与无限多次测量结果的与无限多次测量结果的平均平均值值之差。之差。 2、随机误差（、随机误差（ ） 定义定义: 在同一测量条件下重复测量同一量值时在同一测量条件下
12、重复测量同一量值时，每次每次误差的绝对值和符号都不可预知的误差的绝对值和符号都不可预知的误差。简称随差误差。简称随差。 产生产生原因原因：技术问题技术问题、由对测量值影响微小但却互不由对测量值影响微小但却互不相关的众因素共同造成。如噪声干扰等无规律变化。相关的众因素共同造成。如噪声干扰等无规律变化。 特点特点：符合符合正态分布正态分布（误差对称、正负可抵消、有界（误差对称、正负可抵消、有界限、误差小的概率大），限、误差小的概率大），不易排除不易排除。2.2.2 测量误差的分类测量误差的分类例例：对一不变的电压在相同条件下，多次测量得到对一不变的电压在相同条件下，多次测量得到 1.235V，1.
13、237V，1.234V，1.236V，1.235V。单次测量的随差没有规律，多次测量总体呈统计规律。单次测量的随差没有规律，多次测量总体呈统计规律。可由数理统计方法求算术平均值：可由数理统计方法求算术平均值：当 时 （2.2.1）iixx()n niixxnxE112022-5-2712 4、系差和随差的合成、系差和随差的合成 在剔除粗大误差后，只剩下系差和随差，合成后为在剔除粗大误差后，只剩下系差和随差，合成后为： 各次各次测得值的测得值的系差系差和和随差随差的代数的代数和和等于等于绝对误差绝对误差。 在任一次测量中，系差和随差一般是同时存在的在任一次测量中，系差和随差一般是同时存在的。 系
14、差和随差之间在一定条件下是可以相互转化系差和随差之间在一定条件下是可以相互转化。 2.2.2 测量误差的分类测量误差的分类 3、粗大误差、粗大误差 定义定义：一种显然与实际值不符的误差一种显然与实际值不符的误差。 产生产生原因原因有有：操作失误操作失误 （如测错、读错、记错、未（如测错、读错、记错、未达到预定的要求而达到预定的要求而匆忙实验匆忙实验等）、测量等）、测量方法不当方法不当（）、）、环环境突变境突变（）。）。 确认粗差的测量值称为确认粗差的测量值称为坏值坏值，在数据处理时应在数据处理时应剔除剔除。 iiiixAxxxAx2022-5-2713 测量值：测量值：|xA 是粗大误差是粗大
15、误差4x图图2.2.1、2.2.22.2.3 测量结果的评定测量结果的评定2022-5-27142.2.3 测量结果的评定测量结果的评定 准确度准确度表示系统误差的大小表示系统误差的大小。系统误差越小，则准系统误差越小，则准确度越高，即测量值与实际值符合的程度越高。确度越高，即测量值与实际值符合的程度越高。 精密度精密度表示随机误差的影响表示随机误差的影响。精密度越高，表示随精密度越高，表示随机误差越小。随机因素使测量值呈现分散而不确定，机误差越小。随机因素使测量值呈现分散而不确定，但总是分布在平均值附近。但总是分布在平均值附近。 精确度精确度用来反映系统误差和随机误差的综合影响用来反映系统误
16、差和随机误差的综合影响。精确度越高，表示正确度和精密度都高，意味着系精确度越高，表示正确度和精密度都高，意味着系统误差和随机误差都小。统误差和随机误差都小。射击误差射击误差示意图示意图 精密度低精密度低准确度低准确度低精密度高准确度低精密度高准确度低精确度高精确度高2.2测量误差的分类测量误差的分类图图2.2.32022-5-27152.3 随机误差的统计特性及其估算方法随机误差的统计特性及其估算方法 随机误差是随机误差是不可避免的不可避免的，由，由众多无规律因素引起众多无规律因素引起。 可用可用数理统计数理统计方法处理数据，分析随机误差的影响。方法处理数据，分析随机误差的影响。 2.3.1
17、测量值的测量值的 数学期望与标准差数学期望与标准差1、数学期望、数学期望（反映测量次数（反映测量次数n时的平均特性）时的平均特性）)2 . 3 . 2()1(lim1niinxxnE考虑二个误差：考虑二个误差：iixixixAxExAE00)()(仅考虑随机误差：仅考虑随机误差：)4 . 3 . 2(0iixiixAxEx随机误差数学期望：随机误差数学期望：)5 . 3 . 2(0)1(lim1niinn测量次数有限时：测量次数有限时：)8 . 3 . 2(0AExx为为A0的估值的估值0A因为残差因为残差 所以所以 例例1略略)10. 3 . 2(01niiiiuxxu2022-5-2716
18、2.3.2 贝塞尔公式及其应用贝塞尔公式及其应用1、随机误差的正态分布、随机误差的正态分布 高数概率论中的高数概率论中的中心极限定理中心极限定理：假设被研究的随机：假设被研究的随机变量可以表示为大量独立的随机变量的和，其中每变量可以表示为大量独立的随机变量的和，其中每一个随机变量对于总和只起微小作用，则可认为这一个随机变量对于总和只起微小作用，则可认为这个个随机变量服从正态分布随机变量服从正态分布。为什么？为什么？ 2、方差与标准差、方差与标准差 用来确定变量用来确定变量xi与其数学期望与其数学期望Ex的偏离程度。的偏离程度。 2.3.1 测量值的数学期望与标准差测量值的数学期望与标准差标准误
19、差标准误差：)13. 3 . 2(112niin)12. 3 . 2(1)(1)()(12122niinixinExnxxD方差方差：有限次测量，有限次测量，标准偏差估计值标准偏差估计值：)22. 3 . 2()(1112niixxn贝塞尔公式：贝塞尔公式：2022-5-2717 随机误差随机误差ui 和测量数据和测量数据xi 的分布形状相同，因为它们的分布形状相同，因为它们的标准偏差的标准偏差 相同，只是横坐标相差数学期望相同，只是横坐标相差数学期望Ex。 随机误差具有：随机误差具有：对称性对称性单峰性单峰性有界性有界性抵偿性抵偿性 测量数据测量数据xi 的正态分布的正态分布图图2.3.20
20、ui( (ui) )14. 3 . 2(21)(222)(xiExiex随机误差随机误差ui 的正态分布的正态分布22221)(iuieu图图2.3.1 xi (xi)0 0Ex 标准偏差标准偏差 表征测量数据和测量误差分布的离散程度。表征测量数据和测量误差分布的离散程度。 标准偏差标准偏差 越小越小，则密度函数，则密度函数 越大越大，曲线形状，曲线形状越尖锐越尖锐，说明数据越说明数据越集中集中；反之曲线平坦、数据分散。反之曲线平坦、数据分散。 小小 大大2022-5-2718其估计值其估计值)25.3 .2(nx)24.3 .2(nx 对同一变量值分作对同一变量值分作m 组，每组测组，每组测
21、n次，每组的平次，每组的平均值也是随机变量，其标准差为算术平均值的标准差。均值也是随机变量，其标准差为算术平均值的标准差。2、贝塞尔公式、贝塞尔公式（不证明了）（不证明了）)23. 3 . 2()(11)(1121212xnxnxxnniinii)(1)(1)1(2222122122122nnniixnxxxnxn是等精度测量是等精度测量 1 1= = 2 2 n n= = ，则：，则：222211nnnx3、算术平均值的标准偏差、算术平均值的标准偏差)(x2.3.2贝塞尔公式及其应用贝塞尔公式及其应用)12. 3 . 2(1)(1)()(12122niinixinExnxxD算术平均值的标准
22、差比任意组测量值的标准差小算术平均值的标准差比任意组测量值的标准差小 倍倍n2022-5-2719例例2.3.1用温度计重复测量某个不变的温度，得用温度计重复测量某个不变的温度，得11个个测量值测量值(见下表见下表)。求测量值的平均值及其标准差。求测量值的平均值及其标准差。解：解：平均值平均值 用残差公式用残差公式 计算各测量值残差列于上表中计算各测量值残差列于上表中标准偏差估计值标准偏差估计值 标准偏差标准偏差)( 1 .530)531530532530529533531527529531528(11111Cxnxonii xxuii)(767.11112Cunonii)(53.011767
23、.1Cnoxx2.3.2 贝塞尔公式及其应用贝塞尔公式及其应用ui作业作业2.132022-5-27202.4 系统误差的特征及其减小方法系统误差的特征及其减小方法 2.4.1 系统误差的特征：系统误差的特征： 在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和值和符号符号保持保持不变不变，或者在条件改变时，误差按一定，或者在条件改变时，误差按一定的规律变化。的规律变化。 多次测量求平均不能减少系差多次测量求平均不能减少系差。 c a 0 t 图3 7 多 种 系 统 误 差 的 特 征 其 中 ： a -不 变 系 差 b -线 性 变 化 系 差
24、c -周 期 性 系 差 d -复 杂 规 律 变 化 系 差 d b 2.4.1图图2022-5-27212.4.2 系统误差的判断系统误差的判断 1、实验比对、实验比对 不变的系统误差：不变的系统误差： 校准、修正和和实验对比。校准、修正和和实验对比。2、残差观察法、残差观察法 适用于系统误差比随机误差大的情况适用于系统误差比随机误差大的情况 将所测数据及其残差按先后次序列表或图，观察将所测数据及其残差按先后次序列表或图，观察各数据的残差值的大小和符号的变化。各数据的残差值的大小和符号的变化。 ii0ii0 存在线性变化的系统误差存在线性变化的系统误差无明显系统误差无明显系统误差如表如表2
25、.4.1中的数据中的数据2.4 系差特征及减小方法系差特征及减小方法2022-5-2722niiiniiniiixxxnuu12112111) 3 . 4 . 2(1即：)2 . 4 . 2(11auukinkiii2.4.2 系统误差的判断系统误差的判断 3、马利科夫判据、马利科夫判据残差列：残差列：u1 ukun，k=n/2若若 =0表示表示无线无线性系差性系差；若若0表示表示有线性系差有线性系差。当当n为奇数时，中间值为奇数时，中间值不不用用(2.4.2b)或两段或两段都用都用。 4、阿贝赫梅特判据、阿贝赫梅特判据 当有周期性系差时满足当有周期性系差时满足 ii0ii0 存在线性变化的系
26、统误差存在线性变化的系统误差有周期性系差有周期性系差如表如表2.4.1中的数据中的数据残差残差xxuii可以检验一下可以检验一下图图2.4.22022-5-27232.5 疏失误差及其判断准则疏失误差及其判断准则 粗大误差出现的概率很小，列出可疑数据，分析是粗大误差出现的概率很小，列出可疑数据，分析是否是否是粗大误差粗大误差，若是，则应将对应的测量值，若是，则应将对应的测量值剔除剔除。 粗大误差产生原因以及防止与消除的方法粗大误差产生原因以及防止与消除的方法 粗大误差的产生原因粗大误差的产生原因 测量人员的主观原因测量人员的主观原因：操作失误或错误记录操作失误或错误记录； 客观外界条件的原因客
27、观外界条件的原因：测量条件意外改变、受测量条件意外改变、受较大的电磁干扰，或测量仪器偶然失效等较大的电磁干扰，或测量仪器偶然失效等。防止和消除粗大误差的方法防止和消除粗大误差的方法重要的是在重要的是在思想上要重视思想上要重视采取各种措施，采取各种措施，防止产生防止产生粗大误差粗大误差。第第2章测量误差分析与数据处理章测量误差分析与数据处理 2022-5-27242.5.1 测量结果的置信问题测量结果的置信问题1、置信概率与置信区间、置信概率与置信区间置信概率阴影面置信概率阴影面积积,该该阴影是阴影是 1 情况情况,置信系数置信系数用用k表示表示,教材用教材用tn 有稳定的有稳定的Ex及及 理论
28、值，当理论值，当n有限有限 时用时用 代替，代替，有误差有误差 ，有随机性有随机性存在误差概存在误差概率率 ，置信区间置信区间 内内的概率为置信概率的概率为置信概率 ，信度信度a=1 2 (t)，置信置信限限 , t为置信系数为置信系数， (t)与与 t 的关系见的关系见表表2.5.1(2)。 )()(XEXPPXkExXm和xtkExx)(2tPt2 (t)n=1/a1 0.68332 0.955223 0.997370%73.999973. 021)(22233deP(2.5.2)图图2.5.2数据数据2022-5-27252、t分布的置信限分布的置信限2.5.1 测量结果的置信问题测量结
29、果的置信问题0t( (t) ) 正态正态分布分布t分布分布图图2.5.30t( (t) ) 图图2.5.4ta ta*t分布与测量次数有关。当分布与测量次数有关。当n20以后，以后，t分布分布趋于正态趋于正态分布分布。正态分布是。正态分布是t分布的极限分布。分布的极限分布。*当当n很小很小时，时，t分布的分布的中心值比较小中心值比较小，分散度较大，对，分散度较大，对于相同的概率，于相同的概率，t分布的分布的置信区间置信区间比正态分布比正态分布大大。 *给定置信概率给定置信概率 P(t)= 0.95、0.99，测量次数，测量次数n，自由度，自由度v = n-1，查表，查表2.5.3得置信系数得置
30、信系数ta，结果，结果 。 xatxx95%99%92.263.25102.233.17302.042.75Ptav由由(2.3.25)00958. 0100303. 0nx解解:1.2.查表查表2.5.3 v=9、ta=2.26例例1已知已知n=10、x=75.045、 、P=95%，估算，估算x。0303. 03. x=75.045 0.022将表将表2.5.3中的中的n改成改成v2022-5-27262.5.1 测量结果的置信问题测量结果的置信问题教材教材P41表表2.5.3中的次数中的次数n应改为自由度应改为自由度v = n 12022-5-27272.5.1 测量结果的置信问题测量结
31、果的置信问题niixnx11平均平均xxuii残差残差niiun1211标差标差nx平均标差平均标差xatxx测量结果测量结果2022-5-27282.5.2 粗大误差的判别准则粗大误差的判别准则 统计学的方法的基本思想是：给定一置信概率，统计学的方法的基本思想是：给定一置信概率，确定相应的置信区间，凡残差确定相应的置信区间，凡残差超过置信区超过置信区间的误差间的误差就认为是粗大误差，并予以就认为是粗大误差，并予以剔除剔除。莱特检验法：莱特检验法： 格拉布斯检验法格拉布斯检验法 ：)9.5.2(3iu)10. 5 . 2( Gui式中式中G值值按重复测量次数按重复测量次数n及置信概率及置信概率
32、P确定确定(表表2.5.4) 3456789101195%1.151.461.671.821.942.032.112.182.2399%1.161.491.751.942.12.222.322.412.4812131415161718192095%2.292.332.372.412.442.472.52.532.5699%2.552.612.662.72.742.782.822.852.88cpncpn次数次数n不大时不可靠不大时不可靠2.5粗大误差及其判断准则粗大误差及其判断准则 2022-5-2729注意注意3个问题：个问题：当偏离正态分布和测量当偏离正态分布和测量次数少时检验不一定可靠次
33、数少时检验不一定可靠。多个坏值在置信区外应多个坏值在置信区外应逐个剔除，逐个剔除，再计算，再判别。再计算，再判别。在一组数据中在一组数据中可疑的应很少可疑的应很少。反之说明系统有问题。反之说明系统有问题。2.5.2 粗大误差的判别准则粗大误差的判别准则 例例 对某电炉的温度进行多次重复测量，结果列于下对某电炉的温度进行多次重复测量，结果列于下表，试检查测量数据中有无粗大误差（异常数据）。表，试检查测量数据中有无粗大误差（异常数据）。 2022-5-2730)9.5.2(3iuniixnx11平均平均xxuiiniiun1211标差标差xxuiiniiun1211标差标差2.5.2 粗大误差的判
34、别准则粗大误差的判别准则niixnx11平均平均xxuii残差残差niiun1211标差标差nx平均标差平均标差xatxx测量结果测量结果2022-5-27312.5.2 粗大误差的判别准则粗大误差的判别准则niixnx11平均平均xxuii残差残差niiun1211标差标差nx平均标差平均标差xatxx测量结果测量结果)10. 5 . 2( Gui0.104作业作业2.132022-5-2732 由于测量数据和测量结果是近似数，其位数各不相同。由于测量数据和测量结果是近似数，其位数各不相同。为了使测量结果的表示准确唯一，计算简便，在数据为了使测量结果的表示准确唯一，计算简便，在数据处理时需对
35、测量数据和所用常数进行修约处理处理时需对测量数据和所用常数进行修约处理。 2.6.1 数据舍入规则数据舍入规则 1、小数的舍入、小数的舍入：4舍舍6入，入，5前是偶数前是偶数(奇数奇数)舍舍(入入)。 举例举例：2.6 测量数据处理测量数据处理保留保留1位小数位小数 12.345612.3（4舍）舍）保留保留3位小数位小数 12.345612.346（6入）入）保留保留2位小数位小数 12.345612.34（5前是偶数）前是偶数）保留保留2位小数位小数 12.375612.38（5前是奇数）前是奇数）保留保留2位小数位小数 12.305612.30（5前是偶数）前是偶数） 在在“5”的舍入上
36、，采用取偶数规则，是为了在比较多的舍入上，采用取偶数规则，是为了在比较多的数据舍入处理中，使产生正负误差的概率近似相等。的数据舍入处理中，使产生正负误差的概率近似相等。第第2章测量误差分析与数据处理章测量误差分析与数据处理 作业作业2.142022-5-2733 2、有效数字、有效数字（1）前）前0不算后不算后0算：算：0.0807，有效数字，有效数字3位。位。（2）误差为末位的估值：）误差为末位的估值：43.21？，?0.005(误差误差)。2.6.1 数字舍入规则（数字舍入规则（补充补充） 8.7103 有效数字有效数字2位，误差位，误差0.051033、运算、运算（1）加减法）加减法相加
37、减时，两数的小数部分相加减时，两数的小数部分位数不同位数不同，和差必须，和差必须取位数少的取位数少的。其余各数可多取一位。例如：。其余各数可多取一位。例如：2022-5-2734（2）乘除法）乘除法 n位数位数 (或或 )m位数，运算结果取位数，运算结果取位数少的。例如：位数少的。例如： 100 67=67 102（3）乘方、开方）乘方、开方 求求n位数位数乘方、开方，乘方、开方，结果取结果取n位或位或n+1位。例如：位。例如： 672 45 102或或4.49 102、4.81/2=2.19或或2.2（4）对数）对数 求求n位数对数，运算结果取位数对数，运算结果取n位或位或n+1位。例如：位
38、。例如： log321=2.51或或2.5072.6.1 数字舍入规则（数字舍入规则（补充补充）作业作业2.152022-5-27350 020204040606080800 05 510101515V VI I列表法列表法是其中之一，其是其中之一，其 优点是优点是简单、方便简单、方便，它对数据变化，它对数据变化趋势不趋势不如图解法如图解法明了和直观明了和直观，但它是图示法和，但它是图示法和经验公式经验公式法的基础。法的基础。 例：例：x=v024681012y=i1.512.1 19.1 31.3 42.1 48.6 59.1 曲线图示法曲线图示法与列表法比较与列表法比较 优点是优点是形象、
39、直观形象、直观，便于，便于观察函数的观察函数的变化规律变化规律(递增、递增、递减、极值、周期性变化递减、极值、周期性变化)，如图如图2.6.2/3/4。难在求难在求曲曲线的函数线的函数。例如：例如：二极管的二极管的伏安特性伏安特性电阻伏电阻伏安特性安特性TDVvSDeIi 二极管的伏安特性：二极管的伏安特性：2.6 测量数据处理测量数据处理2.6.4 最小二乘法（方）原理最小二乘法（方）原理2022-5-2736补充补充函数类型的选择函数类型的选择2.6.4 最小二乘法（方）原理最小二乘法（方）原理y1y2y3y42y12y22y3y的阶差的阶差y 2y x1x2x3x4x定值定值序号序号 定
40、值定值 方程类型方程类型xCCkiiikeCyxyxCyxyxCxCCxyyxxCCCyyxCCyyxCyyxCxCCyyxCCyy2211232122132122211112321221log8loglog7)(6)()(51)1(4321 二极管伏安特性二极管伏安特性C1=IS，C2=1/VTTDVvSDeIi 测测 量量数数 据据x1x2x3x4x5 y1y2y3y4y52022-5-2737 数据数据：(x1 y1)(xi yi)(xn yn) 函数函数：y=f(x,C1,Cm) 残差残差：f(xi,C1,Cm) yi= ui 若若C1Cm使使 最小最小, 分别对分别对C1Cn的偏导为
41、零的的偏导为零的 条件条件 即：即： 可求出可求出C1Cn的值。此时的值。此时 y=f(x,C1,Cm)为最佳公式。为最佳公式。min12niiu000211111112nimiiiniiniiiniiCuuCuuCuuCu3422122211102014021ueCeCueCeCueCeC残差残差: :0219830364240300424632121CCCC代入代入整理整理00233222211312133122111311CuuCuuCuuCuuCuuCuuCuuCuuiiiiii举例举例测量点测量点(x、y)分别是分别是(0、1)，(1、-2)，(2、-40)用用最小二乘法最小二乘法求
42、拟合公式。求拟合公式。解：选函数为解：选函数为xxeCeCy221 使所有测量值与函数关使所有测量值与函数关系式的系式的残差平方和最小残差平方和最小的的方法称为方法称为最小二乘法原理最小二乘法原理。9810.08406.121CC解之解之xxeey29810. 08406. 1最后最后2022-5-2738由（由（3）（）（4）解得：）解得：C1=1.8406、C2= 0.9810 则：则：xxeey29810. 08406. 13422122211102014021ueCeCueCeCueCeC残残差差) 2(0) 1 (0333222211312133122111311CuuCuuCuuC
43、uuCuuCuuCuuCuuiiiiii) 3(030042463)4021()1 ()1 ()40()2() 1() 1 (2121263142242211221100201CCeeCeeCeeeeCeCeeCeCeeCeC由)4(021983036424)4021()1 ()1 ()40()2() 1()2(2142284163442212221100201CCeeCeeCeeeeCeCeeCeCeeCeC由2.6.4 最小二乘法（方）原理最小二乘法（方）原理详细过程详细过程2022-5-27392.8 误差的合成与分配误差的合成与分配2.8.1 误差传递公式误差传递公式概述概述功率功率R
44、IRIfRVRVfIVIVfP22)(/)()(1、知分求总、知分求总合成合成2、知总求分知总求分分配分配3、若有最小总误差若有最小总误差最最佳测量方案佳测量方案)2.7.2()1.7.2(),(1111nniinnnixxfxxfxxfyxxxfy若若根据根据全微分全微分公式公式则则绝对误差绝对误差)3 .7 .2(ln)2 .7 .2(1111iniiiniiyiniiyxxfxxffxxffyy相对误差相对误差vdvvdvdvvd1lnln或第第2章测量误差分析与数据处理章测量误差分析与数据处理 2022-5-27402.8 误差的合成与分配误差的合成与分配 2.8.2常用函数的合成误差
45、常用函数的合成误差（1）积函数的合成误差）积函数的合成误差（2）商函数的合成误差）商函数的合成误差（3）幂函数的合成误差）幂函数的合成误差（4）和差函数的合成误差）和差函数的合成误差（5）和差积商函数的合成误差）和差积商函数的合成误差)2.7.2()1.7.2(),(1111nniinnnixxfxxfxxfyxxxfy若若根据根据全微分全微分公式公式则则绝对误差绝对误差)3/2 . 7 . 2(ln1111iniiiniiiniiyxxfxxffxxffyy相对误差相对误差2022-5-27411 、积函数的合成误差、积函数的合成误差 , A与与B的误差为的误差为A与与B则则当两者都有当两者
46、都有号时号时 BAyBAyBBAAABBAAByy()()BAABBBABAAABxxfyjnjj1)5 . 7 . 2()(BAy2.8.2常用函数的合成误差常用函数的合成误差例例2.8.1已知电阻上的电压及电流的相对误差分别为，已知电阻上的电压及电流的相对误差分别为， 问电阻消耗功率问电阻消耗功率P的相对误差是多少？的相对误差是多少？解：根据公式解：根据公式%2,%3Iu%5%)2%3()(IUP2022-5-27422、商函数的合成误差、商函数的合成误差设设 ，A 与与B 的误差为的误差为A 和和B，则绝对误差，则绝对误差BAy BBAABBBBAAABAxxfyinii211BAyBB
47、AABABBAAAyy212.8.2常用函数的合成误差常用函数的合成误差)8 . 7 . 2(）（号和最大误差考虑BAy2022-5-274321221121211)lnln(lnlnxxiiiiniiynmxxnxxmxxxnxmCxxf3、幂函数的合成误差、幂函数的合成误差设设 （C为常数），为常数），x1 与与x2的绝对误差分别的绝对误差分别为为x1 和和x2。nmxCxy21)12. 7 . 2()(21xxynm当当 有有时时y2.8.2常用函数的合成误差常用函数的合成误差vdvvd1ln例例2.8.2 电流通过电阻，发热量电流通过电阻，发热量Q=I2Rt。已知。已知 I= 2%，
48、R= 1%， t= 0.5%，求合成误差求合成误差 Q。解：解： Q=2 I+ R+ t = (22%+1%+0.5%)= 5.5%作业作业2.17作业作业2.162022-5-2744)16. 7 . 2(,BAABABBAABABAyBAy当)16. 7 . 2(,BABBABBAABABAyBAy当4、和差函数、和差函数(y=A B)的合成误差的合成误差321332311313211231)lnlnln(lnxxxiiiiniiynmnmxxxxnxxmxxxxnxmxxfxxxy例例例例2.8.4已知已知R1=1K 、R2=3K 的相对误差均为的相对误差均为5%，求串联后的总求串联后的
49、总相对误差相对误差。解：将解：将R1、R2代入代入2.7.16A式中得：式中得： R= R1= R2=5%可见：分误差相同的电阻可见：分误差相同的电阻串联串联后的后的总误差等于分误差总误差等于分误差作业作业2.182022-5-27455、和差积商函数的合成误差、和差积商函数的合成误差2121RRRRR)18. 7 . 2(22111212RRRRRRRRR假设假设则则2.8.2常用函数的合成误差常用函数的合成误差2.8.3 系统误差的合成系统误差的合成1、确定性系统误差的合成、确定性系统误差的合成jnjjjnjjyxfxxfy11jnjjyyxfy1ln例例2.8.5有有5个个1000欧姆的
50、电阻串联，若各电阻的系欧姆的电阻串联，若各电阻的系统误差分别为统误差分别为 1= 4 、 2=5 、 3= 3 、 4=6 、 5=4 ，求总电阻的相对误差求总电阻的相对误差。解：解：%16. 0500088543211RjnjjRRRR可见：分误差相同的电阻可见：分误差相同的电阻并联并联后的后的总误差等于分误差总误差等于分误差作业作业2.192022-5-27462.8.3系统误差的合成系统误差的合成2、系统不确定度的合成、系统不确定度的合成（1）绝对值合成法）绝对值合成法()22. 7 . 2()22. 7 . 2(2111baxfffxfnymnjjmjymymnjjmjym一般情况下一
51、般情况下%6)04. 002. 0()5002050010()(20%5400,10%10100,%5400,%10100,21212121RRRRRRRRRymRR解：求合成误差。例例)24. 7 . 2(22221bnym（2）方和根合成法）方和根合成法%5 . 404. 002. 02222221nym上例上例2022-5-27472.8.4 系统误差等精度分配系统误差等精度分配分配是合成的反问题，是分配是合成的反问题，是定总定总 y y、 y y，求分求分 i i、 i i过程过程按系统误差相同的原则分配误差按系统误差相同的原则分配误差是是等精度分配等精度分配，表示，表示分误差恒定，即
52、分误差恒定，即： 1= i= n； 1= i = n。)25. 7 . 2(1111njjyjjnjjnnyxfxfxfxf系分误差系分误差VVVVVVVVVVVVfViiV2 . 93/6 .27%2),(321321电表级别用多高？档测，用时要求求VVVV500%2例例220VV1=450VV2=460VV3=470VV%84. 1500/2 . 9/mimVV量程误差量程误差njiyxixf12)(标准分误差标准分误差答：用答：用1.5级表。级表。复习以前内容复习以前内容2.8 误差的合成与分配误差的合成与分配2022-5-2748( 0.1%)例例2.8.8jmRNRRjjmjNnjj
53、mjymRRRRRRRxfN3)lnln(lnln213121121等精度等精度)26. 7 . 2(nymj当函数为积商式时相对分误差为当函数为积商式时相对分误差为:2022-5-27492.8.5系统误差等作用分配系统误差等作用分配按对总误差影响相同的原则分配误差是按对总误差影响相同的原则分配误差是等作用分配等作用分配，表现在：表现在：)27. 7 . 2(2211jyjjjnnyxfnxfnxfxfxfjyjxfn同理同理nnnnxfxfxfxfxfxf22112211同理同理 2.8 误差的合成与分配误差的合成与分配2022-5-2750例例2.8.9 分分和和)27. 7 . 2(j
54、yjxfn虽然虽然 U、 I 不同，但对功率误差的影响相同不同，但对功率误差的影响相同等作用等作用。2.8.5按对总误差影响相同的原则分配误差按对总误差影响相同的原则分配误差mWmAVIUImWVmAUUIIU202102025. 0802022-5-27512.9 最佳测量方案最佳测量方案 2.9.1 最佳测量条件的确定最佳测量条件的确定 一、函数的选择一、函数的选择 切实切实可行可行地选取地选取不确定度较小不确定度较小的测量值的函数公式。的测量值的函数公式。 ，则方案最佳，不确定度最小则方案最佳，不确定度最小。%0 . 2RRUUII例例 设设 求功率求功率P。P公式公式功率相对误差（功率
55、相对误差（ P/P）的）的计算计算性能性能IU I/I+ U/U= (0.2%+0.2%)= 0.4%最佳最佳U2/R2 U/U+ R/R= (0.4%+0.2%)= 0.6%常用常用I2R2 I/I+ R/R= (0.4%+0.2%)= 0.6%不可取不可取min,min2121xiniiyiniiyxfxf若能使若能使(2.9.2)(2.9.1)第第2章测量误差分析与数据处理章测量误差分析与数据处理 2022-5-2752二、测量点的选择二、测量点的选择2.8.1 最佳测量条件的确定最佳测量条件的确定当函数当函数 y=f(x1xixn)确定后，测量点确定后，测量点xi (i=1、2n)选择
56、合理，误差可进一步减小，则选择合理，误差可进一步减小，则xi 选择为佳值。选择为佳值。设设 存在、连续，若存在、连续，若xi的偏导为的偏导为0（有极值有极值），则求出的，则求出的xi为佳值。即：为佳值。即：0)(0)(iyiyxyxy或yyyy或例例2.9.1欧姆表原理欧姆表原理 IRiERxIERIIEIIEIREIRRyiixxy22)(函数函数 则则ixRIEIfRy)(IIERxy2令令 即即0)(IRRxx0)(222IERIEIRIEii故故22miIREI结论：测电阻时指针在中间位置是误差最小。结论：测电阻时指针在中间位置是误差最小。2022-5-2753第第2章章 总总 结结
57、1 1 随机误差随机误差 随机误差是由大量微小的没有确定规律的因素引起的，随机误差是由大量微小的没有确定规律的因素引起的，无法避免和控制，不能消除随机误差。但应采用数理无法避免和控制，不能消除随机误差。但应采用数理统计的方法，减少随机误差。统计的方法，减少随机误差。 算术平均值算术平均值 残差残差 实验标准偏差实验标准偏差 （贝塞尔公式）（贝塞尔公式） 算术平均值标准偏差的估计值算术平均值标准偏差的估计值 根据概率分布和置信概率确定置信因子，得到测根据概率分布和置信概率确定置信因子，得到测量结果的置信区间。正态分布或量结果的置信区间。正态分布或n20n20时，时，k k=2=23 3；n20n
58、20时，查时，查t t分布表得分布表得k k；均匀分布时；均匀分布时k k。 测量结果为：测量结果为： niiniixxnnxs1212)(1111)( nxsxs)()( xxii niixnx113)( xksx 2022-5-2754 2 2系统误差系统误差 系统误差的特点是固定不变的或按确定规律变系统误差的特点是固定不变的或按确定规律变化，主要由测量仪器、测量方法、测量环境和化，主要由测量仪器、测量方法、测量环境和测量人员等因素引起。多次测量不能减少系统测量人员等因素引起。多次测量不能减少系统误差。误差。 系统误差的发现方法有：校准的方法、残差观系统误差的发现方法有：校准的方法、残差观
59、察法、马利科夫判据和阿贝赫梅特判据。察法、马利科夫判据和阿贝赫梅特判据。 系统误差的削弱或消除方法：（系统误差的削弱或消除方法：（1 1）从产生系）从产生系统误差根源上采取措施；（统误差根源上采取措施；（2 2）修正方法；（）修正方法；（3 3）采用专门的测量方法，如采用专门的测量方法，如替代法、替代法、零示法、零示法、微差法微差法2022-5-2755 3 3 粗大误差粗大误差 粗大误差是由于测量人员的偶然出错和外界条粗大误差是由于测量人员的偶然出错和外界条件的改变、干扰和偶然失效等造成，应采取各件的改变、干扰和偶然失效等造成，应采取各种措施，防止产生粗大误差。对测量中的可疑种措施，防止产生
60、粗大误差。对测量中的可疑数据可采用莱特检验法或拉布斯检验法判断是数据可采用莱特检验法或拉布斯检验法判断是否是粗大误差，若是，应剔除不用。否是粗大误差，若是，应剔除不用。 4 4 测量结果的处理测量结果的处理 应区别对待等精度测量和不等精度测量，不等应区别对待等精度测量和不等精度测量，不等精度测量的测量结果用加权平均值表示，标准精度测量的测量结果用加权平均值表示，标准偏差越小，权值越大。偏差越小，权值越大。 对测量数据进行处理时，应首先检查和修正系对测量数据进行处理时，应首先检查和修正系统误差，判别并剔除粗大误差。统误差，判别并剔除粗大误差。2022-5-2756 有效数字处理和测量数据的表示方法有效数字处理和测量数据的表示方法 （1 1）数据修约规则：）数据修约规则：“四舍五入，等于五取四舍五入，等于五取偶数偶数”； （2 2）有效数字与数据的准确度密切相关，测）有效数字与数据的准确度密切相关，测量结果（或读数）的有效位数应由该测量的不量结果（或读数）的有效位数应由该测量的不确定度来确定；确定度来确定； (3)(3)把测量数据处理成一定的函数关系，通常把测量数据处理成一定的函数关系，通常采用方法有列表法、图示法和经验公式采用方法有列表法、图示法和经验公式 作业作业2.102.19
