东北大学线性代数第五章课后习题详解 特征值与特征向量

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1、基本教学要求：1. 理解矩阵的特征值与特征向量的概念，会求矩阵的特征值与特征向量.2. 了解相似矩阵的概念和性质.3. 了解矩阵对角化的充分必要条件和对角化的方法.4. 会用正交矩阵把实对称矩阵相似对角化.第五章 矩阵的特征值与特征向量一、矩阵的特征值与特征向量(P107)1. 定义定义5.1 设A为n阶矩阵，如果存在数0和非零向量，使得A=0， (5.1)则称0是A的特征值，是A的属于特征值0的一个特征向量. 特征值与特征向量的含义：非零向量使A=0 (0E-A)x=有非零解 det(0E-A)=0 0是方程det(E-A)=0的根定义5.2 设A为n阶矩阵，称行列式det(E-A)为矩阵A

2、的特征多项式，det(E-A)=0为矩阵A的特征方程. 易见，若A=diag(1,2,n)，则1,2,n是A的全部特征值.2. 求特征值与特征向量的步骤步骤1：计算A的特征多项式det(E-A)；步骤2：因式分解det(E-A)，求出全部特征值1,2,n；步骤3：解齐次线性方程组(iE-A)x=(i=1,2,n)，求属于i的特征向量.例5.1(例5.1 P108)例5.2(例5.2 P109)两例说明，不同的矩阵可以有完全相同的特征值.例5.3(例5.3 P110) 这是一种类型题3. 特征值与特征向量的性质(P110) 性质5.1 设1,2,n是n阶矩阵A的全部特征值，则， (5.2). (

3、5.3)其中a11+a22+ann称为矩阵A的迹. (性质5.1 P110)推论 矩阵A可逆的充分必要条件是A的特征值都不为零. (推论 P110)性质5.2 设是矩阵A的特征值，是A的属于的特征向量，p(x)是关于x的多项式，则p()是矩阵p(A)的特征值，是p(A)属于特征值p()的特征向量. (性质5.2 P110)例5.4(例5.4 P111) 设三阶矩阵A的特征值是1,2,3，求行列式|A*-3A+2E|.解 A(A*-3A+2E)=|A|E-3A2+2A =-3A2+2A+6E|A*-3A+2E|=|-3A2+2A+6E|/|A|=(-312+21+6)(-322+22+6)(-3

4、32+23+6)/6=5(-2)(-15)/6=25.注意：如果A不可逆，在本题的条件下是不能计算|A*-3A+2E|的.性质5.3 设1,2,s是矩阵A的互异特征值，1,2,s是分别属于它们的特征向量，那么1,2,s线性无关. (性质5.3 P111)性质5.4 设1,2是矩阵A的两个互异的特征值，1,2,s和1,2,t分别是属于1,2的线性无关的特征向量，那么1,2,s,1,2,t线性无关. (性质5.4 P111)证 设数k1,k2,ks和l1,l2,lt使k11+k22+kss+l11+k22+ktt=. (1)令=k11+k22+kss，=l11+k22+ktt，则,分别是1,2的特

5、征向量. 若，则=-，那么由已知条件可知，k1,k2,ks与l1,l2,lt都不全为零，但+=却与性质5.3矛盾.矛盾说明=，式(1)成立当且仅当k1=k2=ks=l1=l2=lt=0，即1,2,s,1,2,t线性无关.推论 矩阵A的全部互异特征值的所有线性无关的特征向量都是线性无关的. (P112)二、矩阵相似对角化(P112)1. 定义定义5.3 设A,B为n阶矩阵，若有可逆矩阵P，使P-1AP = B，则称B是A的相似矩阵，或称A与B相似，称运算P-1AP是对A做相似变换，P是把A变为B的相似变换矩阵.A相似B P,P-1AP=B.2. 矩阵相似的性质 定理5.1 相似矩阵有相同的特征值

6、. (定理5.1 P112).证 因为A相似B P,P-1AP=B，所以det(E-B)=det(E-P-1AP)=detP-1(E-A)P=det(P-1)det(E-A)det(P)=det(E-A).从而A与B有相同的特征值.定理5.1 的逆命题不成立.例如，与的特征值相同，但它们不相似.推论1 若A与对角矩阵diag(1,2,n)相似，则1,2,n是A的n个特征值. (推论 P112)推论2 若A与B相似，则det(A)=det(B).推论3 设A与B相似，f(x)是多项式，则f(A)与f(B)相似，且detf(A)=detf(B).例5.5(例5.5 P112) 设矩阵与相似，求a,

7、b的值.解 A与B相似 例5.6 设A与D相似，且D=diag(-1,2,0,1)，求det(2A5-3A4+A2-4E).解 A与D相似 2A5-3A4+A2-4E与2D5-3D 4+D 2-4E相似 |2A5-3A4+A2-4E|=|2D 5-3D 4+D 2-4E|=(2(-1)5-3(-1)4+(-1)2-4)(225-324+22-4)(-4)(215-314+12-4)=-211.3. 矩阵相似对角化(P113) 分析：A与D=diag(1,2,n)相似 P,P-1AP=D. 若设P=(1,2,n)，则P-1AP=D A(1,2,n)= (1,2,n)D Ai=ii, i=1,2,

8、n i(i=1,2,n)是A的属于i的特征向量，且1,2,n线性无关由此，有如下重要结论： 定理5.2 n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量. (定理5.2 P114) 推论 如果n阶矩阵A有n个互异的特征值，则A与对角矩阵相似. (推论 P114) 例如，例5.1中的A不能与对角矩阵相似，而例5.2中的A与diag(1,1,4)相似.例5.7 对于例5.2中的A，求A2014. 解 由于A的3个特征向量1=(2,-1,0)T,2 =(4,0,-1)T,3=(1,1,0)T线性无关，所以A与diag(1,1,4)相似. 令P=(3,1,2)，则A=Pdiag(4,

9、1,1)P-1， 关于特征值与特征向量，还有如下结论. 定理5.3 设0是n阶矩阵A的k重特征值，则属于0的线性无关的特征向量的个数不大于k. (定理5.3 P115)定理5.3表明，若是n阶矩阵A的k重特征值，则n-R(0E-A)k，且A的线性无关特征向量的总数n.推论 设1,2,s是n阶矩阵A的全部互异特征值，其重数分别为k1,k2,ks，那么矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是属于i(i=1,2,s)的线性无关的特征向量恰有ki个，即R(iE-A)=n-ki (i=1,2,s). (推论2 P116)推论表明，矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是，每个特征值的重数等于属于它的线性无关特征

10、向量的个数.例如，例5.1、例5.2.例5.8(例5.6 P116) 把矩阵A相似变换为对角矩阵的步骤：步骤1 求n阶矩阵A的全部互异特征值1,2,s；步骤2 求齐次线性方程组(iE-A)x=(i=1,2,s)的基础解系(即求A的n个线性无关的特征向量1,2,n)；步骤3 相似变换矩阵P=(1,2,n)，P使得.三、实对称矩阵的相似对角化1. 实对称矩阵的特征值与特征向量的性质定理5.4 实对称矩阵的特征值都是实数. (定理5.4 P117)定理5.4表明：实对称矩阵的特征向量必为实向量，从而每个特征值的特征向量空间的“基础解系”可正交化.定理5.5 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是正交

11、的. (定理5.5 P118)定理5.5表明：实对称矩阵不同特征值的特征向量空间的“基础解系”互相正交.例5.9(例5.7 P118) 设3阶实对称矩阵A不可逆，且满足，求矩阵A的全部特征值与特征向量.解 已知条件表明k(1,1,0)T(k0)是A的属于1的全部特征向量， k(0,0,1)T(k0)是A的属于3的全部特征向量. 由于A不可逆，所以1,3,0是A的全部特征值，且属于0的一个特征向量显然为(1,-1,0)T，属于0的全部特征向量为k(1,-1,0)T(k0). 2. 实对称矩阵的正交相似对角化(P118)定理5.6 设A为实对称矩阵，则必有正交矩阵Q，使Q -1A Q = QTA