数学模型第四版_姜启源_ch6_代数方程与差分方程模型

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1、6.1 投入产出模型投入产出模型6.2 CT技术的图像重建技术的图像重建6.3 原子弹爆炸的能量估计原子弹爆炸的能量估计与量纲分析与量纲分析6.4 市场经济中的蛛网模型市场经济中的蛛网模型6.5 减肥计划减肥计划节食与运动节食与运动6.6 按年龄分组的人按年龄分组的人口模型口模型第六章第六章 代数方程与差分方程模型代数方程与差分方程模型 国民经济各个部门之间存在着国民经济各个部门之间存在着相互依存和制约相互依存和制约关系，关系，每个部门将其他部门的产品或半成品经过加工（每个部门将其他部门的产品或半成品经过加工（投入投入）变为自己的产品（变为自己的产品（产出产出）. 根据各部门间根据各部门间投入

2、和产出的平衡投入和产出的平衡关系，确定各部关系，确定各部门的产出水平以满足社会的需求门的产出水平以满足社会的需求 . 20世纪世纪30年代由美国经济学家列昂节夫提出和研究年代由美国经济学家列昂节夫提出和研究. 从静态扩展到动态，与数量经济分析方法日益融合，从静态扩展到动态，与数量经济分析方法日益融合，应用领域不断扩大应用领域不断扩大 .6.1 投入产出模型投入产出模型背景背景建立静态投入产出数学模型，讨论具体应用建立静态投入产出数学模型，讨论具体应用. 投入产出表投入产出表 国民经济各部门间生产和消耗、投入和产出的数量关系国民经济各部门间生产和消耗、投入和产出的数量关系 产出产出投入投入农业农

3、业工业工业建筑建筑业业运输运输邮电邮电批零批零餐饮餐饮其他其他服务服务外部外部需求需求总产出总产出农业农业464788229131271312842918工业工业499860514444035571223408316814建筑业建筑业593202312426912875运输邮电运输邮电62527128163671464771570批零餐饮批零餐饮79749140431302739272341其他服务其他服务146128527222521954227255414初始投入初始投入1663485165970312183093总投入总投入2918168142875157023415414中国中国200

4、2年投入产出表（产值单位：亿元）年投入产出表（产值单位：亿元） 直接消耗系数表直接消耗系数表 产出产出投入投入农业农业工业工业建筑业建筑业运输邮电运输邮电批零餐饮批零餐饮其他服务其他服务农业农业0.1590.0470.0800.0080.0540.002工业工业0.1710.5120.5020.2570.2380.226建筑业建筑业0.0020.0010.0010.0130.0100.023运输邮电运输邮电0.0210.0310.0450.1040.0290.027批零餐饮批零餐饮0.0270.0450.0490.0270.0560.050其他服务其他服务0.0500.0760.0950.14

5、30.0940.100一个部门的单位产出对各个部门的直接消耗一个部门的单位产出对各个部门的直接消耗 中国中国2002年直接消耗系数表年直接消耗系数表 由投入产出表直接得到由投入产出表直接得到 农业每农业每1亿元产出直接消耗亿元产出直接消耗0.159亿元农业产品亿元农业产品 直接消耗直接消耗0.171亿元工业产品亿元工业产品 反映国民经济各个部门之间的投入产出关系反映国民经济各个部门之间的投入产出关系投入产出的数学模型投入产出的数学模型 xi第第i部门的总产出部门的总产出di对第对第i部门的部门的外部需求外部需求xij第第i部门对第部门对第j部门的投入部门的投入aij直接消耗系数直接消耗系数第第

6、j部门部门单位产出单位产出对对第第i部门的直接消耗部门的直接消耗 xij第第j部门总产出对第部门总产出对第i部门的直接消耗部门的直接消耗每个部门的总产出等于总投入每个部门的总产出等于总投入 xj第第j部门的总投入部门的总投入 injijidxx1jijijxxa/ijnjijidxax1设共有设共有n个个部门部门nnijaA)(T1( ,)nxxxT1(,)nddddAxx技术水平没有明显提高技术水平没有明显提高模型应用模型应用 假设直接消耗系数不变假设直接消耗系数不变 问题问题1 如果某年对农业、工业、建筑业、运输邮如果某年对农业、工业、建筑业、运输邮电、批零餐饮和其他服务的外部需求分别为电

7、、批零餐饮和其他服务的外部需求分别为1500, 4200, 3000, 500, 950, 3000亿元亿元, 问这问这6个部门的总产个部门的总产出分别应为多少？出分别应为多少？d=(1500, 4200, 3000, 500, 950, 3000)T A由直接消耗系数表给出由直接消耗系数表给出6个部门的总产出个部门的总产出 x=(3277, 17872, 3210, 1672, 2478, 5888)（亿元）（亿元）.dAxx(),IA xddAIx1)(求解求解模型应用模型应用 dAxx(),IA xddAIx1)(dAIx1)(总产出对外部需求线性总产出对外部需求线性dd增加增加1个单位

8、个单位 x的增量的增量若农业的外部需求增加若农业的外部需求增加1单位单位 Td)0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 1 (1)( AIx为为 的第的第1列列 6个部门的总产出分别增加个部门的总产出分别增加1.2266，0.5624，0.0075，0.0549，0.0709，0.1325单位单位. 问题问题2 如果如果6个部门的外部需求分别增加个部门的外部需求分别增加1个单位个单位, 问它们的总产出应分别增加多少？问它们的总产出应分别增加多少？求解求解其余外部需求增加其余外部需求增加1单位单位 1)( AIx为为 的其余各列的其余各列 6.2 CT技术的图像重建技术的图像重建 CT(计算机断

9、层成像计算机断层成像 )技术是技术是20世纪世纪50至至70年代由年代由美国科学家科马克和英国科学家豪斯费尔德发明的美国科学家科马克和英国科学家豪斯费尔德发明的. 1971年第一代供临床应用的年第一代供临床应用的CT设备问世设备问世. 螺旋式螺旋式CT机等新型设备被医疗机构普遍采用机等新型设备被医疗机构普遍采用. CT技术在工业无损探测、资源勘探、生态监测技术在工业无损探测、资源勘探、生态监测等领域也得到了广泛的应用等领域也得到了广泛的应用. 背景背景什么是什么是CT，它与传统的，它与传统的X射线成像有什么区别？射线成像有什么区别？ 光源光源人眼人眼光源光源人眼人眼一个半透明物体嵌入一个半透明

10、物体嵌入5个不同透明度的球个不同透明度的球 概念图示概念图示 单方向观察无法确定单方向观察无法确定球的数目和透明度球的数目和透明度 让物体旋转从多角度观察能让物体旋转从多角度观察能分辨出分辨出5个球及各自的透明度个球及各自的透明度 人体内脏人体内脏胶胶片片 传统的传统的X射线成像原理射线成像原理 CT技术原理技术原理 探探测测器器 X射射线线X光光管管人体内脏人体内脏CT技术技术: 在在不同深度不同深度的断面上的断面上,从从各个角度各个角度用探测器用探测器接接收旋转的收旋转的X光管发出、穿过人体而使光管发出、穿过人体而使强度衰减的射线强度衰减的射线;经过经过测量和计算测量和计算将人体器官和组织

11、的将人体器官和组织的影像影像重新重新构建构建. 图像图像重建重建 X射线强度衰减与图像重建的数学原理射线强度衰减与图像重建的数学原理 射线强度的衰减射线强度的衰减率与强度成正比率与强度成正比. I射线强度射线强度 l物质在射线方向的厚度物质在射线方向的厚度 物质对射线的衰减系数物质对射线的衰减系数 ddIIl I0入射强度入射强度 射线沿直线射线沿直线L穿行穿行, 穿过由穿过由不同衰减系数的物质组成的不同衰减系数的物质组成的非均匀物体非均匀物体(人体器官人体器官).0elII0( , )dlnLIx ylI0exp( , )d )LIIx ylI0LOyx(x, y)( ,)dLlx ylX射