第三讲相似理论

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1、相似理论 同济大学汽车实验室同济大学汽车实验室周周 鋐鋐同济大学汽车实验室同济大学汽车实验室相似理论概述v概述概述v相似的概念相似的概念v相似原理相似原理 相似第一定理（正定理） 相似第二定理（逆定理） 相似第三定理（定理）v相似准则的求法相似准则的求法 方程分析 量纲分析 同济大学汽车实验室同济大学汽车实验室相似理论概述v研究自然现象的方法研究自然现象的方法理论分析方法：理论分析方法：以数学为主要工具实验方法：实验方法：1.1. 直接试验法直接试验法 - - 可对试验对象直接进行试验不受试验条件的限制，如汽车性能试验。2.2. 模型试验法模型试验法 - 受到试验条件的限制，不能对试验对象直接

2、进行试验，只能对模型进行试验，用其试验结果来反映实物，如汽车空气动力学试验。模型试验的原则：试验结果能真正反映实物规律。同济大学汽车实验室同济大学汽车实验室相似的概念 v几何相似几何相似（空间相似）L3 32 21 1Cllllll其中CL为常数。同济大学汽车实验室同济大学汽车实验室相似的概念 v时间相似时间相似：对应的时间间隔互成比例 t5 52 21 1Ctttttt某系统压力和时间的关系图 其中Ct为常数同济大学汽车实验室同济大学汽车实验室相似的概念 v运动相似：运动相似：方向一致，大小成一定比例方向一致，大小成一定比例其中CV为常数。 Vi i2 21 1Cvvvvvv 不同直径圆管中

3、流体运动 同济大学汽车实验室同济大学汽车实验室相似的概念v动力相似：动力相似：对应时刻，对应点所受的力互成比例v应力场相似：应力场相似：对应时刻，对应点应力方向一致，大小互成比例v温度场相似，电磁场相似温度场相似，电磁场相似 其中C为常数。aCmmamamFF 其中Ca为常数。C2 21 1同济大学汽车实验室同济大学汽车实验室相似定理v 相似第一定理：相似第一定理： 凡彼此相似现象，必定具有数值相同的相似准则。v 相似第二定理：相似第二定理： 凡具有同一特性的现象（即被同一关系方程式或完整的关系方程式组所描述的现象）当单值条件彼此相似，且由单值条件所包含的物理量组成的相似准则在数值上相等，则这

4、些现象必须相似。v 相似第三定理：相似第三定理： 描述现象的关系方程式可以转变成相似准则之间的关系式。同济大学汽车实验室同济大学汽车实验室相似第一定理v什么是相似准则？ 例1：两三角形相似，则 其中 称相似倍数称相似倍数 同一三角形两边之比： 或 代入得： 或：11 1LCll22 2LCll33 3LCll1221Kll 12 2 1Kll21212211 2 1lllllClCllLL 1212 12KKK 称各相似三角形间数值都以这一相同的比值21ll为为相似准则相似准则。相似三角形的相似准则就是同一三角形某两边长之比。321LLLccc同济大学汽车实验室同济大学汽车实验室相似第一定理v

5、 相似第一定理相似第一定理 凡彼此相似现象，必定具有数值相同的相似准则。凡彼此相似现象，必定具有数值相同的相似准则。特点：特点：1. 相似准则的个数取决于所研究现象的内在规律。2. 相似准则是无量纲的（零因次）不变量，可用表示。同济大学汽车实验室同济大学汽车实验室相似第一定理v 运动相似的相似准则运动相似的相似准则 相似的两系统瞬间速度分别为 ， 由两系统相似 ： 相似倍数相似倍数 进一步改写： dtdlV ， , ,dtdlVv CvvtCtt ltvccc dtCdlCdtdlVCtlv 即：dtdlVCCCltv由 可得：dtdlV 1CCCltv上式左端称为相似指标，它标志着两个运动系

6、统是否相似。 彼此相似的现象，其相似指标等于1。（相似第一定理另一表达） lCll 同济大学汽车实验室同济大学汽车实验室相似第一定理 1ltvCCC改写为1 llttVV不变量lVtltVltV 即 称两个运动相似系统间数值相同的综合量 为相似准则. lVtv 力相似的相似准则力相似的相似准则)N(e也称牛顿准则，不变量mvFt1CmCvCtCF相似指标 运动相似的相似准则运动相似的相似准则同济大学汽车实验室同济大学汽车实验室相似第一定理2222221zzzzzzxyzzvvvvvvpvvvgxyzzxyz0yxzvvzxyz2222221xxxxxxxyzxvvvvvvpvvvgxyzxxy

7、z2222221yyyyyyxyzyvvvvvvpvvvgxyzyxyz 粘性不可压缩流体的稳定等温运动物理现象，以下用四个方程来描述。在气流不超过0.30.4倍声速时，气流密度相对变化小，可视为性不可压缩流体。 X轴 Y轴 Z轴 式中： 各轴的重力加速度分量 流体动力粘度 流体密度 压力,xyzg g gp同济大学汽车实验室同济大学汽车实验室相似第一定理例2：汽车风洞中空气流动、管路中液体流动等不可压缩流体稳定等温运动物理现象的数学描述为以下用四个方程组，根据质量守恒定律，粘性不可压缩流体稳定等温运动现象有三个相似准则：vlRe1（雷诺准则）22vglFr（傅鲁德准则）23vpEu（欧拉准则

8、） 同济大学汽车实验室同济大学汽车实验室相似第一定理v 总结总结1. 各相似倍数不能是任意的，它们受相似指标式的制约；2. 将相似倍数代入相似指标式得综合量相似准则；3. 无量纲是相似准则的主要属性；4. 相似准则的个数取决于现象的物理本质。 同济大学汽车实验室同济大学汽车实验室相似第二定理 v相似第二定理相似第二定理凡具有同一特性的现象（即被同一关系方程式或完整的关系方程式组所描述的现象）当单值条件彼此相似，且由单值条件所包含的物理量组成的相似准则在数值上相等，则这些现象必须相似。 定理作用：阐明了两个现象相似的充分条件，即模型实验必须遵守的条件和法则。同济大学汽车实验室同济大学汽车实验室相

9、似第二定理例3：以粘性不可压缩流体的稳定等温运动现象为例，当满足以下条件时，现象就彼此相似。（一）单值条件相似（一）单值条件相似， 包括： (1)(1)几何条件相似几何条件相似（即空间条件所有具体现象都发生在一定的几何空间内）LClldd d管径 l管长(2)(2)物理条件相似物理条件相似 (即所具有具体现象都在具有一定物理性质的介质下进行)gnCgCC , , 密度 粘度重力加速度同济大学汽车实验室同济大学汽车实验室相似第二定理(3)(3)边界条件相似边界条件相似（边界条件即所有具体现象都受到与其直接相邻的周围情况影响） 即在入口及出口处的(4)(4)初始条件相似初始条件相似（初始条件即现相

10、的演变与初始状态有关） 由于是稳定流动，故不计此条件。（二）由单值条件所包含的物理量所组成的相似准则相等（二）由单值条件所包含的物理量所组成的相似准则相等vzzyyxxCV VV VV V不变量2 2 VlgVlgFr不变量lVlVRe （傅鲁德准则） （雷诺准则）同济大学汽车实验室同济大学汽车实验室相似第二定理 例4：以运动为例，已知两个运动的相似准则数值相等 即： tlVtlV 1 LCCCtvllttVV 式中 为相似指标 LtvCCC 设：t dl dV 将对应量（相似倍数） lCll tCtt vCvv 代入t dl dv 得： dtdlvCCClvt即 dtdlv 所以，当 时（即

11、相似指标=1） 1lvtCCC表明两个运动能用完全相同的方程表示。 同济大学汽车实验室同济大学汽车实验室相似第二定理1. 若两个运动的单值条件完全相同，则两个运动是完全相同的同一运动。2. 若两个运动的单值条件相似，则两个运动彼此相似。3. 若两个运动的单值条件既不相同也不相似，则得到的仅是服从同一自然规律的两个互不相同也不相似的运动。现象相似相似准则数值相同 + 单值条件相似同济大学汽车实验室同济大学汽车实验室相似第三定理v相似第三定理相似第三定理 描述现象的关系方程式可以转变成相似准则之间的关系式。 准则关系式可表达为： 式中1，2，3，为正整数。 定理作用：提供了一种由模型实验研究来揭示

12、原型内在规律的方法。 只要用适当的方法求出相似准则，再用模型实验数据拟合出 ，就可获知原型的内在规律。0),(21nF0),(21nF同济大学汽车实验室同济大学汽车实验室相似第三定理 例5：讨论图示系统的动力相似问题 kmavx现已知该系统的动力相似准则为： m/kt21x/at22mkvx3 由相似第二定理知：模型与原型相似，必须相似准则相等，即1.1.用相似第二定理获得模型实验应遵守的条件用相似第二定理获得模型实验应遵守的条件22 tm k t m k为实物为模型， m k v x m k v x同济大学汽车实验室同济大学汽车实验室相似第三定理（a）若希望：时间相似倍数 位移相似倍数 则代

13、入上式得：（b）假如原型运动周期太大或太小，希望改变模型的周期。 则令时间的相似倍数为 代入前式得 实际条件： t t, 1Ct即 x xCxkm m kv v a akm m1 k2v va a2, t tCt借助相似第二定理借助相似第二定理可以得出模型实验可以得出模型实验必须遵循的条件。必须遵循的条件。同济大学汽车实验室同济大学汽车实验室相似第三定理2.2.应用相似第三、第一定理获得模型实验应遵守的条件应用相似第三、第一定理获得模型实验应遵守的条件 将 改写成： 将 每组的实验数据代入相似准则式 可求得许多组 对应值 将其拟合成曲线，获得函数关系 0,F321122f 133f a, v,

14、 x, t21 t m k x t a22 m k v x32 122f 1 133f31132,与122f133f 同济大学汽车实验室同济大学汽车实验室相似第三定理 根据第一定理，彼此相似的现象，相似准则必相等，准则函数关系也必相同。由此推广到实物,可得到v-t,a-t其他函数形式。 根据第二定理,可求出模型实验遵守的条件。 根据第三定理，可以求模型实验结果整理成相似准则间的函数式，以便把模型实验结果推广到原型中去。同济大学汽车实验室同济大学汽车实验室相似准则的求法1.1.方程分析方程分析 a.a.相似转换法相似转换法(以简单运动为例 )(1)写出现象(微分与方程描述 ) 原型中 模型中(2

15、)写出相似倍数的表示式 原型与模型方程中对应量之比(3)将相似倍数表示式代入方程组进行相似转换，得出相似指标式 因为 所以(4)把相似倍数表示式代入相似指标式中，求得相似准则。整理后 dtdl v dt dl v VC v vtCT TlC l ldtCdlCvCtlvdtdlCCCltv1ltvCCC1 l l t t v v不变量lvtltvltv 同济大学汽车实验室同济大学汽车实验室相似准则的求法1.1.方程分析方程分析 b.b.积分类比法积分类比法(以简单运动为例 )(1)写出现象的基本微分方程组和全部单值条件 原型中 模型中 (2)用方程式中的任何一项除以其他各项 原型方程中相应的两

16、项的比值，两者相等(3)将所有的导数用相应量的比值代替 ,便得出准则 对于两相似现象，其中某量l的相似倍数为： 则有 比较 和 得：dtdl v dt dl v 1dtdlV1 dt dl VdtdlV dt dl V常数lCll dtdlv 常数lCllllll 1212lC l llCdl dl l llim l ldl dl同济大学汽车实验室同济大学汽车实验室相似准则的求法 同理 两式相除得 将式 中的导数用积分类比来代替，即可得出相似准则 同理动力相似 可表达成 其结果与相似转换法完全一致。 只有当已知描述现象的方程式的具体形式时，才能用这种方法导出形式相似准则。 t tdt dt t

17、 l: t ldtdl: dt dldtdlV dt dl V不变量lvtltvltv dtdvmF mvFtmFmFdtdvdtdv 同济大学汽车实验室同济大学汽车实验室相似准则的求法2.量纲分析法量纲分析法 基本知识基本知识 因次（量纲）因次（量纲）物理量测量单位的种类。如米、厘米、毫米是不同的测量单位，但属长度单位，用符号L表示L长度各单位的因次 基本量基本量在国际单位制（SI）中，当研究力学和机械运动现象时，取长度、质量和时间为“基本量” 基本因次基本因次基本量相应的因次，如L、M和T 导出量导出量由上述基本量根据该物理量的定义或相应的物理定律导出的量。 同济大学汽车实验室同济大学汽车

18、实验室相似准则的求法a.a.量纲分析法的一般步骤量纲分析法的一般步骤(以物体受力运动为例 )(1)考察物体现象，决定表征该现象的所有物理量，写成一般函数关系式 表征受力运动现象 一般函数式(f、t、m、v) = 0(2)写出一般 项的式子(3)写出 项中各物理量的量纲(4)把各物理量的量纲代入(5)根据量纲齐次原则，列出物理量指数间的联立方程组(6)解联立方程 X2=1，X3=1，X4=1 则： -牛顿准则4x3x2x1xtvmf 4X3X12XXI2TLTMLMT 1X23X4X2X1X3X1XTMLNemvfttvfm11 f = L M T-2 (千克米/秒2)m= M (千克) t =

19、 T (秒) v =LT-1 (米/秒)X1+X3=0 L X1+X2=0 M 2X1X3+X4=0 T 同济大学汽车实验室同济大学汽车实验室相似准则的求法b.b.矩阵法矩阵法(以液体稳定流动现象为例 )(1)写出表征液体流动有关的物理量的一般函数式。(2)写出 项的指数式(3)列出量纲矩阵(4)写出各指数间的联立方程组 (5)列出 矩阵 变换上式v流速； l管道定性尺寸； p压力；介质 ；粘度；g重力加速度。6x5x4x3x2x1xlvgp x1 x2 x3 x4 x5 x6 p g v l M 1 0 1 0 0 1 L -1 1 -1 1 1 -3 T -2 -2 -1 -1 0 0 0

20、 631xxx0224321xxxx03654321xxxxxx321422xxxx316xxx325xxx0)l,v,g, , p f( 同济大学汽车实验室同济大学汽车实验室相似准则的求法(5)由上可得到三组独立解，可排到如下 矩阵(6)由 矩阵直接写出获得的相似准则 当研究对象过于复杂，不能列出微分方程时，量纲分析法往往成为获得相似准则的唯一方法。1212pvpv222gv lglv3111v lvl欧拉准则 傅鲁德准则 雷诺准则 x1 x2 x3 x4 x5 x6 p g v l 1 0 0 -2 0 1 0 1 0 -2 1 0 0 0 1 -1 -1 -1 132同济大学汽车实验室同济大学汽车实验室