有限元分析中的一些问题.docx

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有限元分析的一些基本考虑-----单元形状对于计算精度的影响
些很根本的错误,
笔者发现，在分析复杂问题时，我们所可能出现的错误，竟然是这些根本错误是由于对有限元的基本理论理解不清晰而造成的。
鉴于这个原因，笔者决定对一些基本问题（例如单元形状问题，单元大小问题，应力集中问题等）展开调查，从而形成了一系列文章，本篇文章是这些系列文章中的第一篇。
本篇文章先考虑有限元分析中的第一个基本问题：单元形状问题。
我们知道，单元形状对于有限元分析的结果精度有着重要影响，而对单元形状的衡量又有着诸多指标，为便于探讨，这里首先只讨论第一个最基本的指标：长宽比（四边形单元的最长尺度与最短尺度之比），而且仅考虑平面单元的长宽比对于计算精度的影响。
为此，我们给出一个成熟的算例。该算例是一根悬臂梁，在其端面施加竖直向下的抛物线分布载荷，我们现在考察用不同尺度的单元划分该梁时，对于A点位移的影响。
这五种不同的划分方式，都使用矩形单元，只不过各单元的长宽比不同。
例如第一种（1）AR=1.1,就是长宽比接近1；
第二种（2）AR=1.5,就是长宽比是1.5.其它类推。
第五种（5）AR=24，此时单元的长度是宽度的24倍。
现在我们看看按照这五种单元划分方式对于A点位移的影响，顺便我们也算出了B点的位移，结果见下表。
各冲长磁比詩杲的比较
单XRfl
点A点日
1
L1
-LWJ
-Q.346
5.2
2
3
-L.O78
6.4
5
3.4
77
-I.O14
11.9
年
6.0
?|
轴
wo
S
24_0
fiS
2
-0SK
-D.160
我们现在仔细查看一下上表，并分析其含义。
我们先考虑第一行，它是第一种单元划分情况，此时每个单元的长宽比是1.1,由此我们计算出A点，B点的垂直位移，可以看到，A点的竖直位移是-1.093英寸，而B点的竖直位移是-0.346英寸。而这两点我们都是可以用弹性力学的方式得到精确解的，其精确解分别是-1.152以及-0.360•这样，我们可以得到此时A点位移误差的百分比是
[(-1.093)-(-1.152)]/1.152=5.2%.
对于其它情况，也采用类似的方式得到A点位移误差的百分比。
从上表可以看出来，随着长宽比的增加，位移误差越来越大，竟然大到56%。因此，如果我们是用长宽比为24的单元进行划分的话，那么我们的结果可以说是完全错误的。
下面按照上表绘制出一张图，该图从形象的角度表达了上表的含义。
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由此可见，长宽比越接近于1,那么结算结果越精确，越远离1,则误差越大。
因此我们在进行有限元分析时，应该尽量保证划分的单元长宽比接近1,这意味着，如果我们使用了四边形单元，则最好是正方形单元；如果使用了三角形单元，则最好是等边三角形。
当然，对于一个复杂的零件而言，我们很难保证每个单元都满足这些要求，但是，我们一定要确保，在我们所关注的地方，例如应力