IASK高等代数习题II.doc

IASK_高等代数****题II
IASK_高等代数****题II
IASK_高等代数****题II
高等代数（北大第三版）答案
目录
第一章
多项式
第二章
队列式
第三章
线性方程组
第四章
矩阵
第五章
二次型
第六章
线性空间
第七章
线性变换
第八章

—矩阵
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IASK_高等代数****题II
第九章
第十章

欧氏空间
双线性函数与辛空间
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注：
答案分三部分，该为第二部分，其他请搜索，谢谢！
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12．设A为一个n级实对称矩阵，且
A
0
，证明：必存在实
n维向量X
0，使
XAX
0。
证
因为A
0，于是A
0
，所以rankA
n，且A不是正定矩阵。故必存在非
退化线性替换X
C1Y使
XAXYC1
ACY
YBY
y12
y22
yp2
yp2
1
yp2
2
yn2，
且在规范形中必含带负号的平方项。于是只需在
Z
C1Y中，令y1y2
yp
0,yp1
yp2
yn
1,则可得一线性方程组
c11x1
c12x2
c1nxn
0
cp1x1
cp2x2
cpnxn
0
，
cp
1,1x1
cp
1,2x2
cp
1,nxn
1
cn1x1
cn2x2
cnnxn
1
由于C
0
，故可得唯一组非零解
Xs
x1s,x2s,
,xns使
XsAXs00
011
1
np0，
即证存在X
0，使XAX
0。
13．如果A,B都是n阶正定矩阵，证明：
A
B也是正定矩阵。
证
因为A,B为正定矩阵，所以
XAX,XBX为正定二次型，且
XAX
0，
XBX
0，
因此
X
ABX
XAX
XBX
0，
于是X
A
BX必为正定二次型，进而
A
B为正定矩阵。
14．证明：二次型fx1,x2,,xn是半正定的充分必要条件是它的正惯性指数与秩相等。
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证必要性。采用反证法。若正惯性指数

p

秩r

，则

p

r

。即
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fx1,x2,

,xn

y12

y22

y2p

y2p1

yr2，
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若令
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y1

y2

yp

0，

yp1

yr

1，
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则可得非零解

x1,x2,

,xn

使f

x1,x2,

,xn

0。这与所给条件

fx1,x2,

,xn
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