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1、工程流体力学、水力学的问题，由于边界条件复杂，大多数工程流体力学、水力学的问题，由于边界条件复杂，大多数不能单纯依靠数学方法求得严谨的解析解；即使是少数可以不能单纯依靠数学方法求得严谨的解析解；即使是少数可以求解的问题，也要做相当多的简化和假定；对于重要的工程，求解的问题，也要做相当多的简化和假定；对于重要的工程，为确保工程安全，在付诸实施之前，一般还要经过模型实验为确保工程安全，在付诸实施之前，一般还要经过模型实验的验证。本章在量纲分析法的基础上探讨流动的相似理论，的验证。本章在量纲分析法的基础上探讨流动的相似理论，对流体力学试验研究具有重要的指导意义。对流体力学试验研究具有重要的指导意义。
2、主要内容：主要内容：v量纲分析的意义和量纲和谐原理量纲分析的意义和量纲和谐原理v量纲分析法量纲分析法v相似理论基础相似理论基础v模型实验模型实验（1 1） 量纲的概念量纲的概念单位单位是指量度物理量数值大小的标准，单位确定之后，一个是指量度物理量数值大小的标准，单位确定之后，一个具体的物理量就有了对应的一个数值，有了比较意义上的大小，具体的物理量就有了对应的一个数值，有了比较意义上的大小，这是物理量的这是物理量的“量量”的特征。的特征。 量纲量纲是指物理量的物理属性。它包含物理量的基本物理要素是指物理量的物理属性。它包含物理量的基本物理要素及其结合形式，表示物理量的类别，是物理量的及其结合形式
3、，表示物理量的类别，是物理量的“质质”的特征。的特征。任何物理量都是由自身的物理属性（任何物理量都是由自身的物理属性（类别类别）和为度量该物理）和为度量该物理属性而规定的量度标准（属性而规定的量度标准（单位单位）两个因素构成的。即）两个因素构成的。即“质质”的的特征和特征和“量量”的特征的特征。5.1 量纲分析的意义和量纲和谐原理量纲分析的意义和量纲和谐原理 基本量纲具有独立性，比基本量纲具有独立性，比如与温度无关的动力学问题如与温度无关的动力学问题可选取长度可选取长度L、时间、时间T和质和质量量M为基本量纲。为基本量纲。,基本量纲基本量纲诱导量纲诱导量纲 量纲量纲 诱导量纲可由量纲公式通过基
4、本量纲导出诱导量纲可由量纲公式通过基本量纲导出称为量纲指数称为量纲指数0,0,00,0,00,0,0则则 x 为几何学的量为几何学的量则则 x 为动力学的量为动力学的量则则 x 为运动学的量为运动学的量MTLx 如如12TL运动粘性系数运动粘性系数11MTL动力粘性系数动力粘性系数思考：加速度的量纲是什么？力的量纲是什么？221UppCp相同量纲量的比值相同量纲量的比值 几个有量纲量通过乘除组合而成几个有量纲量通过乘除组合而成如三角函数，无量纲速度等如三角函数，无量纲速度等 定义：定义：物理量物理量的所有的所有量纲指量纲指数为零数为零如压力系数如压力系数（2 2） 无量纲量无量纲量 无量纲量的
5、特性 客观性 不受运动规模影响 可进行超越函数运算 对正确反映客观物理规律的函数关系式或方程式，其中各项对正确反映客观物理规律的函数关系式或方程式，其中各项的量纲指数都分别相同。的量纲指数都分别相同。（3）量纲和谐原理量纲和谐原理 任何表示客观物理规律的数学关系式，其数学形式不随单位任何表示客观物理规律的数学关系式，其数学形式不随单位制变换而改变形式。制变换而改变形式。 客观物理规律必定可以通过无量纲量之间的关系式来表达。客观物理规律必定可以通过无量纲量之间的关系式来表达。 量纲分析法量纲分析法是用于寻求一定物理过程中，相关物理量是用于寻求一定物理过程中，相关物理量之间规律性联系的一种方法。它
6、对于正确地分析、科之间规律性联系的一种方法。它对于正确地分析、科学地表达物理过程是十分有益的。学地表达物理过程是十分有益的。5.2 量纲分析法量纲分析法量纲分析法量纲分析法是基于量纲和谐原理发展起来的。共有是基于量纲和谐原理发展起来的。共有2种：瑞利法和种：瑞利法和 定理。定理。（1 1） 瑞利法瑞利法则其中任何一个物理量则其中任何一个物理量qi可以表示为其他物理量的指数的乘积可以表示为其他物理量的指数的乘积瑞利法的基本原理如下：若某一物理过程可用下面的函数表瑞利法的基本原理如下：若某一物理过程可用下面的函数表示示0),(321nqqqqf将各物理量的量纲代入上式，并根据量纲和谐原理，确定出指
7、将各物理量的量纲代入上式，并根据量纲和谐原理，确定出指数数a,b,ca,b,c, ,p,p,即可得到表达该物理过程的方程式。即可得到表达该物理过程的方程式。)(321项不含ipncbaiqqqqKqq瑞利法只能用于一些比较简单的过程瑞利法只能用于一些比较简单的过程。例求初速度为零的自由落体运动位移求初速度为零的自由落体运动位移 s的计算式（不计空的计算式（不计空气阻力）气阻力）解：（1）已知位移s和重力加速度 g和时间 t有关，物理过程可写为（2）写出指数乘积关系式（4）根据量纲和谐原理，有（3）写出量纲式0),(tgsfbatKgs baTLTKL22201bbaa（5）所以2Kgts 无量
8、纲系数K可以用实验测定。 物理过程的有量纲表达形式为物理过程的有量纲表达形式为 , ,其中其中 m 个物个物理量的量纲被选为基本量纲，余下理量的量纲被选为基本量纲，余下 n-m 个物理量可各自与这个物理量可各自与这m 个物理量组合成无量纲量个物理量组合成无量纲量 ， 定理的结论是：物理定理的结论是：物理过程的无量纲表达形式为过程的无量纲表达形式为 0),(21nqqqfmn,210),(21mnF（2 2） 定理定理 若某物理过程涉及若某物理过程涉及 n 个物理量，其中有个物理量，其中有 m 个物理量的量纲个物理量的量纲是互相独立的（不能相互导出），选这些量纲为基本量纲，可组是互相独立的（不能
9、相互导出），选这些量纲为基本量纲，可组成成 n-m 个无量纲量，物理过程则可由这个无量纲量，物理过程则可由这 n-m 个无量纲量的关系个无量纲量的关系式描述。式描述。（3 3）基本量依次与余下）基本量依次与余下 n-m 个物理量组合成无量纲量个物理量组合成无量纲量mn,21应用应用 定理的基本步骤定理的基本步骤（1 1）找出与物理过程有关的）找出与物理过程有关的n 个物理量。个物理量。（2 2）选取）选取 m 个物理量为基本量。不可压缩流动中，个物理量为基本量。不可压缩流动中，m=3m=3，通常，通常取速度、密度和特征长度为基本量。取速度、密度和特征长度为基本量。0),(321nqqqqf11
10、132141cbaqqqq22232152cbaqqqq3333213nnncbannqqqq（5 5）整理方程式。）整理方程式。（4 4）定出各项指数。）定出各项指数。例求初速度为零的自由落体运动位移求初速度为零的自由落体运动位移 s的计算式（不计空的计算式（不计空气阻力）气阻力）解：（1）已知位移s和重力加速度 g和时间 t有关，物理过程可写为（2）选取基本量（4）定出指数（3）组合无量纲量0),(tgsftg,batgs1（5）整理方程式0)()(21gtsff无量纲系数K可以用实验测定。2, 112baTLTLba212)0(KgtsKfgts 在量纲分析法中，将物理过程表示成了无量纲
11、量的函数，似在量纲分析法中，将物理过程表示成了无量纲量的函数，似乎物理过程涉及的因素减少了，其实涉及的物理量并未减少，只乎物理过程涉及的因素减少了，其实涉及的物理量并未减少，只是这些物理量组合成了若干无量纲量相互关联。比起有量纲表达是这些物理量组合成了若干无量纲量相互关联。比起有量纲表达来，无量纲表达更接近于相关物理量之间规律性联系的实质，也来，无量纲表达更接近于相关物理量之间规律性联系的实质，也更具普遍性。更具普遍性。 应用应用 定理要点（也是难点）在于：确定物理过程涉及的物定理要点（也是难点）在于：确定物理过程涉及的物理量时，既不能遗漏，也不要多列。理量时，既不能遗漏，也不要多列。 例水流
12、围绕桥墩流动时，将产生绕流阻力水流围绕桥墩流动时，将产生绕流阻力D，该阻力与桥，该阻力与桥墩尺寸墩尺寸l，水流速度，水流速度v，水的密度，水的密度，动力粘度，动力粘度及重力加及重力加速度速度g有关，试求阻力有关，试求阻力D的表达式。的表达式。解：（1）物理过程可写为（2）选取基本量（3）组合无量纲量0),(gvlDfvl,1111cbavlD2222cbavl3333cbavlg（4）定出指数2122311111111111132111cbaccbabLTMLLMLTcba11113111222222221311222cbaccbabLTMLLTMLcba2012310133333333132
13、333cbaccbabLTMLLLTcba（5）整理方程式0),(),(2122321vlgvlvlDff),(),(22122glvvlfvglvlfvlD),(222glvvlfvlD为解决工程问题，需要进行实验。为解决工程问题，需要进行实验。大多数实验都是基于模型进行的。（扩大或缩小）大多数实验都是基于模型进行的。（扩大或缩小）欲从模型实验结果推知原型流动情况，必须保证模型试验中的欲从模型实验结果推知原型流动情况，必须保证模型试验中的流动和原型流动具有相似性。流动和原型流动具有相似性。什么样的流动才具有相似性？这就是相似理论要回答的问题。什么样的流动才具有相似性？这就是相似理论要回答的问
14、题。53 相似理论基础一一相似理论的意义相似理论的意义两个流动要相似，需满足以下四方面要求：两个流动要相似，需满足以下四方面要求：几何相似几何相似运动相似运动相似动力相似动力相似边界条件和初始条件相似边界条件和初始条件相似二二相似的概念相似的概念 几何相似几何相似：流场几何形状相似，相应长度成比例，相应角度相等。几何相：流场几何形状相似，相应长度成比例，相应角度相等。几何相似还可认为包括流场相应边界性质相同，如固体壁面，自由液面等。似还可认为包括流场相应边界性质相同，如固体壁面，自由液面等。长度比尺长度比尺mplll / 运动相似运动相似：以几何相似为前：以几何相似为前提。两个流动相应点的速度
15、方提。两个流动相应点的速度方向一致，大小成比例。向一致，大小成比例。 在对应瞬时，在对应瞬时，流场速度图相流场速度图相似，即相应点似，即相应点速度大小成比速度大小成比例，方向相同。例，方向相同。长度比尺长度比尺mplll /时间比尺时间比尺mpttt /速度比尺速度比尺tlmpuuu加速度比尺加速度比尺2/tla长度比尺长度比尺mplll /时间比尺时间比尺mpttt / 动力相似动力相似：在对应位置和对应瞬时，流场中各种成分的力：在对应位置和对应瞬时，流场中各种成分的力（惯性力、质量力、压差力和粘性力）矢量图都相似，即相应（惯性力、质量力、压差力和粘性力）矢量图都相似，即相应点力的大小成比例
16、，方向相同。并且各种成分力的相似比例数点力的大小成比例，方向相同。并且各种成分力的相似比例数也相同，即力多边形相似。也相同，即力多边形相似。作用力比尺作用力比尺mpFFF /TpGI 边界条件相似边界条件相似：相应边界性质相同，如固体壁面，自由液面等。：相应边界性质相同，如固体壁面，自由液面等。 初始条件相似初始条件相似：对非恒定流（非定常流），初始条件要相似。对恒定流，：对非恒定流（非定常流），初始条件要相似。对恒定流，则与初始条件无关。则与初始条件无关。有时可将边界条件相似归结为几何相似。有时可将边界条件相似归结为几何相似。 不可压流体的流动都受不可压流体的流动都受N-S方程的控制，那么我
17、们怎样来方程的控制，那么我们怎样来保证两个不同规模的流动是相似的呢？保证两个不同规模的流动是相似的呢？三三. . 相似准则相似准则 用流动的时间、用流动的时间、长度、流速和压强长度、流速和压强特征量特征量 ，将方程的自变量和将方程的自变量和因变量无量纲化：因变量无量纲化： 带带的量的量成为无量纲量。成为无量纲量。T LU P, , , 将变量代入将变量代入连续方程连续方程N-S方程方程得到无量纲方程得到无量纲方程和和其中其中将无量纲将无量纲 N-S 方程整理，得到方程整理，得到必须相等。它们都是无量纲量，分别反映了惯性力、重力、必须相等。它们都是无量纲量，分别反映了惯性力、重力、压差力和粘性力
18、在流动动力平衡中的相对重要性。压差力和粘性力在流动动力平衡中的相对重要性。两个相似流动的无量纲解应完全相同，则它们的无量纲方程两个相似流动的无量纲解应完全相同，则它们的无量纲方程和无量纲边界条件、初始条件应该完全一样，所以两个相似和无量纲边界条件、初始条件应该完全一样，所以两个相似流动对应的上式中的各项的无量纲系数流动对应的上式中的各项的无量纲系数 根据上面得到的四个无量纲量（有的作了取倒数、开方等改根据上面得到的四个无量纲量（有的作了取倒数、开方等改形）得到流动的相似参数：形）得到流动的相似参数：LUTSt 斯托哈尔数斯托哈尔数gLUFr弗劳德数弗劳德数2UPEu欧拉数欧拉数ULRe雷诺数雷
19、诺数它们分别是惯性力、重力、压差力、粘性力相似的参数。它们分别是惯性力、重力、压差力、粘性力相似的参数。时变惯性力时变惯性力位变惯性力位变惯性力表征表征LUTSt斯托哈尔数斯托哈尔数gLUFr弗劳德数弗劳德数2UPEu欧拉数欧拉数ULRe雷诺数雷诺数惯性力惯性力重力重力惯性力惯性力粘性力粘性力惯性力惯性力压差力压差力表征表征表征表征表征表征 流动的特征量一般应取流动中容易测量到的、能显著体现流流动的特征量一般应取流动中容易测量到的、能显著体现流动特征，或者对流动起到重要控制作用的量。如动特征，或者对流动起到重要控制作用的量。如 这些特征量常取在边界处，使相似参数中自然融进边界条件这些特征量常取
20、在边界处，使相似参数中自然融进边界条件的相似。的相似。 T 取为周期取为周期性运动的周期性运动的周期U 取 为取 为无穷远方无穷远方来流速度来流速度P 取 为取 为与无穷远与无穷远方的压差方的压差L 取为绕取为绕流物体的特流物体的特征长度或圆征长度或圆管直径管直径 相似准则：相似准则：弗劳德准则：重力相似准则，保证两现象的弗劳德数相等弗劳德准则：重力相似准则，保证两现象的弗劳德数相等非恒定相似准则：保证两现象的斯托哈尔数相等非恒定相似准则：保证两现象的斯托哈尔数相等欧拉准则：压差力相似，即欧拉数相等欧拉准则：压差力相似，即欧拉数相等雷诺准则：粘性相似准则，保证两现象的雷诺数相等雷诺准则：粘性相
21、似准则，保证两现象的雷诺数相等 在相似的条件下进行实验在相似的条件下进行实验 应该测量实验结果无量纲表应该测量实验结果无量纲表达式包含的所有物理量达式包含的所有物理量 实验结果应整理成以相似参实验结果应整理成以相似参数和其它无量纲量来表示的数和其它无量纲量来表示的函数关系式或绘制成曲线；函数关系式或绘制成曲线；实验结果只能应用于相似现实验结果只能应用于相似现象之间。象之间。在什么条件在什么条件下进行实验下进行实验?应该测量哪应该测量哪些物理量些物理量?实验结果实验结果如何应用如何应用? 如何进行实验?54 模型实验 可见粘性和重力相似条件产生矛盾，除非改变可见粘性和重力相似条件产生矛盾，除非改
22、变 g 和和 . . 而我而我们知道改变们知道改变 g 是不大可能的（由此可知为什么有些实验要在航是不大可能的（由此可知为什么有些实验要在航天飞机上做），改变天飞机上做），改变 的可能性也不大，因为流体力学实验可的可能性也不大，因为流体力学实验可供选择的流体种类是很少的。通常我们只能抓主要矛盾，保证供选择的流体种类是很少的。通常我们只能抓主要矛盾，保证起决定作用的那个相似参数相等，称为起决定作用的那个相似参数相等，称为 。部分相似部分相似 在相似的条件下进行实验在相似的条件下进行实验完全相似完全相似严格地要求四个相似参数都相同严格地要求四个相似参数都相同难以做难以做到到g相同相同 相同相同例如
23、例如例为研究风对高层建筑物的影响，在风洞中进行模型实验，为研究风对高层建筑物的影响，在风洞中进行模型实验，当风速为当风速为9m/s时，测得迎风面压强为时，测得迎风面压强为42N/m2，背风面，背风面压强为压强为-20N/m2，试求当风速增至，试求当风速增至12m/s时，迎风面和背时，迎风面和背风面的压强。风面的压强。解：假设风速为9m/s时为状态1，12m/s时为状态2，两种状态下流动是相似的，则各点的任意无量纲量均应相等。定义一无量纲量在迎风面处，2vp222212212222211N/m67.7491242vvppvpvp在背风面处，222212212222211N/m56.3591220vvppvpvp例一个潮汐模型，按弗劳德准则设计，长度比尺为一个潮汐模型，按弗劳德准则设计，长度比尺为2000，问原型中的一天，相当于模型时间的多少？问原型中的一天，相当于模型时间的多少？解：在原型和模型中，弗劳德数应相等，即整理，得mmmpppFrgLUgLUFr又因为，ppulmmULULmpltltlutt分钟天2 .3202236. 020001lpmtt习题 5-13 5-15 5-19 5-20 5-23
