第07章05常系数线性微分方程

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1、第1章 集 合第5节 常系数线性微分方程 在上一节我们已经看到，一般线性微分方程的通解问题我们没有完全解决。那是因为一般线性微分方程对于我们来说太复杂了。但是，如果线性微分方程的系数都是常数就简单了。由此，为了完全解决问题，我们只讲常系数线性微分方程 我们从二阶常系数齐次线性微分方程开始。 设（待定）是（5.22）的解。代入（5.22）结论：是（5.22）的解的充要条件是是方程的根。称为（5.22）的特征方程。（1） 设有两个不相同的实根：。此时（5.22）有两个解且。所以（5.22）的通解（2）设有二重实根：。此时（5.22）有解。用常数变异法，设是（5.22）的解。代入（5.22）。取（我

2、们只需要一个简单的。为什么不取？），则有（5.22）另一个解。所以（5.22）的通解（3）设有复数根：。，。记。，。是（5.22）的解。完全类似可以验证也是（5.22）的解。所以（5.22）的通解 上面我们已经穷举了全部三种可能。现把我们得到的结果列于下表。特征方程的根的通解两个不相同的实根：二重实根：复数根：解的方法：（i）写出特征方程；（ii）解特征方程得到所有的根；（iii）根据特征方程根的情况和上表（熟练默写）给出通解。P3174 例5.1解、（1）方程的特征方程有两个不同的实根。的通解（2）方程的特征方程有两个不同的实根。的通解（3）方程的特征方程有二重实根。的通解（4）方程的特征方

3、程有复根。的通解【例5.2】求方程满足的特解解、方程的特征方程有二重实根。的通解 由得。所要求的特解我们把前表所列结果推广到阶常系数齐次线性方程（5.2）与下表。特征方程的根（5.2）的解单根实根：复根：重根实根：复根：（5.2）的特征方程的全部根，上表正好给出个线性无关的解。配上个任意常数再加起来就得到（5.2）的通解。【例5.3】(1)求方程的通解(2)求方程的通解(3)求方程的通解解、（1）方程的特征方程有三重实根。有三个线性无关的解。的通解（2）方程的特征方程有两个二重复根。有四个线性无关的解。的通解（3）方程的特征方程有二重实根和单复根。有四个线性无关的解。的通解5.2 二阶常系数非

4、齐次线性方程（考点） 二阶常系数非齐次线性方程的一般形式是前面我们已经懂得了求相应齐次方程的通解。如果我们能够求出（5.12）的随便一个特解，把上述通解和此特解加起来就是（5.12）的通解。因此，现在关键是求出（5.12）的随便一个特解。对于一般的来说，（5.12）太复杂了，我们无法求一个特解。我们只讲两种简单的。1（考点）。其中是可实可复的常数，而是已知的可实可复的多项式。因为多项式乘的各阶导数结果都是多项式乘，所以我们假设要找的特解是，其中是某个多项式。 （i）设不是特征方程的根。（5.3多）左边多项式的次数与的次数相等。而右边是次多项式。因而肯定是某次多项式其中待定。 （ii）设是特征方

5、程的单根。（5.3多）左边多项式的次数与的次数相等。而右边是次多项式。因而肯定是某次多项式注意到在（5.3多）中不出现，因而可任意。为了简单（我们只需要随便一个特解，当然越简单越好）取。其中待定。 （iii）设是特征方程的二重根。（5.3多）左边多项式的次数与的次数相等。而右边是次多项式。因而肯定是某次多项式注意到在（5.3多）中不出现，因而可任意。为了简单（我们只需要随便一个特解，当然越简单越好）取。其中待定。 上面我们已经穷举了全部三种可能。现把我们得到的结果总结于下。 当是特征方程的重根时，其中待定。（0重根即不是根）。特解是。这称为特解的形式（有时只考解的形式）。 待定系数的求法： （

6、i）设，把代入得（5.3多）；（ii）比较（5.3多）两边同次幂的系数得一个关于的方程组，解此方程组就得到。有了，也就有了特解。求通解的方法： （i）求出的通解；（ii）求出的特解；（iii）的通解是。【例5.4】求方程的特解解、在方程中，。不是特征方程的根。设。代入有，即。比较得解得。特解。有两不等实根。的通解【例5.5】求方程的通解解、在方程中，。是特征方程的二重根。设。代入有。解得。的通解【例5.6】设微分方程的积分曲线与另一曲线在处有相同切线，求此积分曲线方程解、对于参数方程，时。初值问题。的根是。设。代入有。的通解代入初值条件得。解得。所要求的积分曲线是2(i) 辨认类型：。记。模仿