第二章传递函数-梅逊公式

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1、第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型2.3 传递函数与系统动态结构图传递函数与系统动态结构图2.3.1 传递函数的定义传递函数的定义nn 1nn 110nn 1mm 1mm 110mm 1d c(t)dc(t)dc(t)aaaa c(t)dtdtdtd r(t)dr(t)dr(t)bbbb r(t)dtdtdt设系统的标准微分方程为C(t)为输出量， r（t）为输入量在系统满足零初始条件下进行拉氏变换，得到在系统满足零初始条件下进行拉氏变换，得到nn-1nn-110mm-1mm-110a s C(s) a s C(s)asC(s) a C(s)b s R(s) b s R

2、(s)bsR(s) b R(s)+整理得mm 1mm 110nn 1nn 110b sbsbs bC(s)R(s)a sasa s a传递函数，记作G（s） 传递函数的定义：对线性定常系统（环节），在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，记作G(s)mm 1mm 110nn 1nn 110b sbsb sbC(s)G(s)|R(s)a sasa sa零初始条件用方框图表示 G(s)R(s)C(s)C(s)=G(s)R(s)2.3.2传递函数的性质传递函数的性质1）只适用于线性定常系统，不适用于非线性系统或时变系统。）只适用于线性定常系统，不适用于非线性系统或时变系统。2）传递函

3、数是表征线性定常系统或元件自身的固有特性，取决于它本）传递函数是表征线性定常系统或元件自身的固有特性，取决于它本身的结构和参数，与其输入信号的大小、形式无关。身的结构和参数，与其输入信号的大小、形式无关。3）表示了特定的输出量与输入量之间的关系。）表示了特定的输出量与输入量之间的关系。4）传递函数是复变量）传递函数是复变量S的有理分式，且分子、分母多项式的各项系数的有理分式，且分子、分母多项式的各项系数均为实数，分母多项式的次数均为实数，分母多项式的次数n大于等于分子多项式的次数大于等于分子多项式的次数m。 5）传递函数具有正、负号（输入量和输出量的变化方向）。）传递函数具有正、负号（输入量和

4、输出量的变化方向）。 6）传递函数的单位是输出量的单位与输入量的单位之比。）传递函数的单位是输出量的单位与输入量的单位之比。7）传递函数可以写成）传递函数可以写成 ，K=bm/an，称为增益。称为增益。-zj(j=1,2,m)成为传递函数的零点，成为传递函数的零点，-pi(i=1,2,n)成为传递函数的极成为传递函数的极点点mjj1nii1(sz )G (s )K(sp )上图所示的是)22)(3()2)(1()(2ssssssG的零、极点分布图。 比比例例环环节节的的传传递递函函数数r(t)c(t)t01C(t)r(t)微微分分环环节节的的传传递递函函数数4tKdttdKtut)()()()

5、(ssKsUtsKssUsGt)()()(输入量取角度时的传递函数即为微分环节。表示电机单位角速度的输出电压。则测速发电机输出电压与输入角速度之间的关系为进行拉氏变换得到那么该元件的传递函数为微微分分环环节节的的传传递递函函数数5)()()()()()()(1)()()(112212111RtiRtitutititidttiCRtiRtitucrRRRK21()2121RRCRRT)() 1()(sUTsKsUrc) 1()()()(TsKsUsUsGrc积积分分环环节节的的传传递递函函数数3 惯惯性性环环节节的的传传递递函函数数2C(t)r(t)振振荡荡环环节节的的传传递递函函数数6延延迟迟

6、环环节节的的传传递递函函数数72.3.1 动态结构图动态结构图是数学模型的图解化，它描述了组成系统的各元部件的特性及相互之间信号传递的关系，表达了系统中各变量所进行的运算。 动动态态结结构构图图的的组组成成 1）信号线带有表示信号传递方向箭头的直线。一般在线上写明该信号的拉氏变换表达式。2）综合点3）引出点4）方 框在信号线上的“”，表示信号引出的位置。方框中为元部件或系统的传递函数，方框的输出量等于方框内的传递函数与输入量的乘积。它完成两个以上信号的加减运算，以O 表示。如果输入的信号带“”号，就执行加法；带“”号就执行减法。动态结构图建立步骤是 建立系统各元部件的微分建立系统各元部件的微分

7、方程。要注意，必须先明确系方程。要注意，必须先明确系统的输入量和输出量，还要考统的输入量和输出量，还要考虑相邻元件间的负载效应。虑相邻元件间的负载效应。 按照系统中各变量传递顺按照系统中各变量传递顺序，依次连接序，依次连接3）中得到的结）中得到的结构图，系统的输入量放在左端，构图，系统的输入量放在左端，输出量放在右端，即可得到系输出量放在右端，即可得到系统的动态结构图。统的动态结构图。 将得到的系统将得到的系统微分方程组进行拉微分方程组进行拉氏变换。氏变换。 按照各元部件的输按照各元部件的输入、输出，对各方程进入、输出，对各方程进行一定的变换，并据此行一定的变换，并据此绘出各元部件的动态结绘出

8、各元部件的动态结构图。构图。1234CR2R1U1U2I1I2IR2U2(S)步骤一 列写方程组步骤二 画出对应方程的部分结构图1R1U2(S)U1(S)_U (S)CS步骤三 依次连接得到系统结构图CRirucu例：2.3-1 画出该系统的动态结构图解：该系统的输入量为ur，输出量为uc，根据电路其微分方程为：rccuR iudui=Cdt取拉氏变换rccU (s)RI(s)U (s)I(s)CsU (s)rccU (s)U (s) I(s)RI(s)U (s)Cs即动态结构图如下： 例2.3-2 画出两级RC滤波网络的动态结构图( (a a) ) 电电路路图图ru1i2i1R2Rcu1C2

9、C解：该系统的输入量为ur，输出量为uc，根据电路其微分方程为：rc111c1c22c1121c22uuiRuuiR1u(ii )dtC1ui dtC取拉氏变换取拉氏变换)4()()()3()()()()2()()()()1()()()(222212111111sCsIsURsUsUsIsCsIsIsURsUsUsIccCCCr动态结构图- - - -C CB BA A（c c）方方块块图图11sC21sC)(1sUC)(sUr)(1sI)(sUc)(sUc)(2sI11R21R)(1sUC2.4 系统结构图的等效变换与信号流程图、梅逊公式系统结构图的等效变换与信号流程图、梅逊公式2.4.1

10、系统结构图的等效变换系统结构图的等效变换 原则：变换前后保持系统中各信号间的传递关系不变一、三条基本法则：1、串联环节的等效传递函数为各环节传递函数之积 12( )( )( )( )( )C sG sG s G sR s即)()(1sGsGnii对于n个环节串联，则有2、并联环节的等效传递函数等于各并联环节传递函数的代数和 G1(s)G2(s)1C(s)2C(s)C(s)R(s)G(s)R(s)C(s)121212C(s)=C (s)+C (s)=R(s)G (s)+R(s)G (s)C(s) G(s)=G (s)G (s)R(s)若若G2(s)为负反馈，为负反馈，12G(s)=G (s)-G

11、 (s)则对于n个环节并联，则有niisGsG1)()(3、反馈联接（闭环）G(s)H(s)(+)R(s)E(s)C(s)B(s)(s)R(s)C(s)C(s)E(s)G(s)E(s)R(s)B(s)(B(s)C(s)H(s)C(s)G(s)R(s)-C(s)H(s)C(s)1+G(s)H(s)=G(s)R(s)C(s)G(s)(s)=R(s)1G(s)H(s)负反馈时）整理得E(s)R(s)B(s)(C(s)G(s)(s)=R(s)1G(s)H(s)同理正反馈时）(s)1闭环传递函数的通式为前向通道的传递函数闭环的开环传递函数负反馈时，分母项取负反馈时，分母项取“+”；正反馈时，取；正反馈时