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1、第三篇第三篇 振动与波动振动与波动第八章第八章 机械机械波波第七章第七章 机械振动机械振动uxPOyx 振动在空间的传播过程叫做波动振动在空间的传播过程叫做波动常见的波有常见的波有: 机械波机械波 , 电磁电磁波波等等 1 机械波的几个概念机械波的几个概念一一. . 机械波的产生机械波的产生1. 产生条件产生条件: : 波源波源 媒媒质质2. 机械机械波波: : 机械振动在弹性机械振动在弹性媒质中的传播媒质中的传播 横波横波第八章第八章 机械波机械波 振向垂直速度振向垂直速度. 特征特征:有波峰有波峰波谷波谷. 它是由一层介质相对它是由一层介质相对另一层介质发生平移另一层介质发生平移(剪切剪切
2、形变形变)形成的形成的. 纵波纵波振向平行速度振向平行速度. 特征特征:有疏密有疏密区域区域.它是由介质内部产生容它是由介质内部产生容变的压缩和扩张形成的变的压缩和扩张形成的.3. 简谐波简谐波: 波源作简谐振波源作简谐振动动, 在波传到的区域在波传到的区域, 媒质媒质中的质元均作简谐振动中的质元均作简谐振动 。 说明：说明：(1) 质元并未质元并未“随波逐流随波逐流” ” 波的传播不是媒质质元的波的传播不是媒质质元的传播传播(2) “上游上游”的质元依次的质元依次带动带动“下游下游”的质元振动的质元振动, ,波是振动状态波是振动状态的传播的传播(4) (4) 同相点同相点-质元的振质元的振动
3、状态相同动状态相同(3) 振动具有时间周期性振动具有时间周期性,则则波动在空间上也有周期性波动在空间上也有周期性相邻两同振动状态的点相邻两同振动状态的点波长波长 相位差相位差2 沿波的传播方向沿波的传播方向, ,各质各质元的相位依次落后。元的相位依次落后。二二. 波是相位的传播波是相位的传播 ab xxu传播方向传播方向图中图中b点比点比a点的相位点的相位落后落后x 2三三. 波形曲线波形曲线(波形图波形图)o xuty不同时刻对应有不同的波形曲线不同时刻对应有不同的波形曲线 波形曲线能反映横波、纵波形曲线能反映横波、纵波的位移情况波的位移情况3. 简谐波简谐波: 波源作简谐振波源作简谐振动动
4、, 在波传到的区域在波传到的区域, 媒质媒质中的质元均作简谐振动中的质元均作简谐振动 。(1) 质元并未质元并未“随波逐流随波逐流” ” 波的传播不是媒质质元的波的传播不是媒质质元的传播传播(2) “上游上游”的质元依次的质元依次带动带动“下游下游”的质元振动的质元振动, ,波是振动状态波是振动状态的传播的传播(4) (4) 同相点同相点-质元的振质元的振动状态相同动状态相同(3) 振动具有时间周期性振动具有时间周期性,则则波动在空间上也有周期性波动在空间上也有周期性相邻两同振动状态的点相邻两同振动状态的点波长波长 相位差相位差2 四四. 波的特征量波的特征量1.1.波长波长 : : 在同一波
5、线上在同一波线上两相邻同相点间的距离两相邻同相点间的距离2.波的周期波的周期T: 波动传播一个波动传播一个波长所需的时间波长所需的时间.波的频率波的频率 : : 媒质质点媒质质点( (元元) )的振动频率的振动频率. . 即单即单位时间内波动所传播的位时间内波动所传播的完整波的数目完整波的数目. . 一般情况下一般情况下,波的周期波的周期(频率频率)等于波源的振动周期等于波源的振动周期(频率频率)沿波的传播方向沿波的传播方向, ,各质各质元的相位依次落后。元的相位依次落后。二二. 波是相位的传播波是相位的传播 ab xxu传播方向传播方向图中图中b点比点比a点的相位点的相位落后落后x 2三三.
6、 波形曲线波形曲线(波形图波形图)o xuty不同时刻对应有不同的波形曲线不同时刻对应有不同的波形曲线 波形曲线能反映横波、波形曲线能反映横波、纵波的位移情况纵波的位移情况波在不同介质中波在不同介质中,周期周期(频频率率)不变不变,波长波长 变变. .波速波速又称又称相速度相速度( (相位相位传播速度传播速度) ) Tu三者关系三者关系固体内横波和纵波和传播固体内横波和纵波和传播速度速度u分别为分别为)(横波横波 Gu )(纵波纵波 Eu G：切变模量，：切变模量，E弹性模弹性模量，量， 固体的密度固体的密度液体和气体内，纵波的传液体和气体内，纵波的传播速度为播速度为3. 波速波速u : 单位
7、时间波所传单位时间波所传过的距离过的距离)(纵纵波波 Ku K为体积模量为体积模量四四. 波的特征量波的特征量1.1.波长波长 : : 在同一波线上在同一波线上两相邻同相点间的距离两相邻同相点间的距离2.波的周期波的周期T: 波动传播一个波动传播一个波长所需的时间波长所需的时间.波的频率波的频率 : : 媒质质点媒质质点( (元元) )的振动频率的振动频率. . 即单即单位时间内波动所传播的位时间内波动所传播的完整波的数目完整波的数目. . 一般情况下一般情况下,波的周期波的周期(频率频率)等于波源的振动周期等于波源的振动周期(频率频率) 弹性绳上的横波弹性绳上的横波 Tu T T- -绳的初
8、始张力绳的初始张力, , - -绳绳的线密度的线密度一一. . 平面简谐波的表达平面简谐波的表达式式( (波函数波函数) )讨论讨论: : 沿沿+ +方向传播方向传播的一维简谐波的一维简谐波( (u u , , ) )假设假设: : 媒质无吸收媒质无吸收( (质质元振幅均为元振幅均为A A) ) 设设: : 原点原点O O处质元处质元( (不一定不一定是振源是振源) )作谐振动（初相位作谐振动（初相位为零），其为零），其振动表达式为振动表达式为媒质中媒质中x处的质元在任意时处的质元在任意时刻刻t的位移的位移y(x,t)叫波函数叫波函数2 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数波在不同介质中波在不
9、同介质中,周期周期(频频率率)不变不变,波长波长 变变. .波速波速又称又称相速度相速度( (相位相位传播速度传播速度) ) Tu三者关系三者关系固体内横波和纵波和传播固体内横波和纵波和传播速度速度u分别为分别为)(横波横波 Gu )(纵波纵波 Eu G：切变模量，：切变模量，E弹性模弹性模量，量， 固体的密度固体的密度液体和气体内，纵波的传液体和气体内，纵波的传播速度为播速度为3. 波速波速u : 单位时间波所传单位时间波所传过的距离过的距离)(纵纵波波 Ku K为体积模量为体积模量 yO (t) = Acos t在在Ox轴轴(波线波线)上的上的P点，离点，离O点的距离为点的距离为xO点的振
10、动传播到点的振动传播到P点需时点需时t0 = x / u (u为波速）为波速）P点质元在点质元在t 时刻的振动就是时刻的振动就是o点质元在点质元在tx /u 时刻的振动时刻的振动P处质元的振动方程为处质元的振动方程为)(cosuxtAyP 由于由于P点的任意性，上式即点的任意性，上式即沿正方向传播的平面简谐波沿正方向传播的平面简谐波的的波动方程波动方程uxPOyx 弹性绳上的横波弹性绳上的横波 Tu T T- -绳的初始张力绳的初始张力, , - -绳绳的线密度的线密度一一. . 平面简谐波的表达平面简谐波的表达式式( (波函数波函数) )讨论讨论: : 沿沿+ +方向传播方向传播的一维简谐波
11、的一维简谐波( (u u , , ) )假设假设: : 媒质无吸收媒质无吸收( (质质元振幅均为元振幅均为A A) ) 设设: : 原点原点O O处质元处质元( (不一定不一定是振源是振源) )作谐振动（初相位作谐振动（初相位为零），其为零），其振动表达式为振动表达式为媒质中媒质中x处的质元在任意时处的质元在任意时刻刻t的位移的位移y(x,t)叫波函数叫波函数2 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数)(cos),(uxtAtxy 由由 = 2 /T ，u = = /T)(2cos),( xtAtxy 有有)(2cos),( xTtAtxy 或或取角波数取角波数kuk 2)cos(),(kxtA
12、txy 有有讨论讨论:(1)波动方程的其它两种波动方程的其它两种常见形式常见形式(2)若波沿若波沿Ox轴负方向传播轴负方向传播)(cos),(uxtAtxy yO (t) = Acos t在在Ox轴轴(波线波线)上的上的P点，离点，离O点的距离为点的距离为xO点的振动传播到点的振动传播到P点需时点需时t0 = x / u (u为波速）为波速）P点质元在点质元在t 时刻的振动就是时刻的振动就是o点质元在点质元在tx /u 时刻的振动时刻的振动P处质元的振动方程为处质元的振动方程为)(cosuxtAyP uxPOyx由于由于P点的任意性，上式即点的任意性，上式即沿正方向传播的平面简谐波沿正方向传播
13、的平面简谐波的的波动方程波动方程(3)若振动方程为若振动方程为则相应的波函数为则相应的波函数为)cos(tAyuxtAycos2波函数的物理意义波函数的物理意义由由 y(x,t) cos( t - -k kx)从从几方面讨论几方面讨论1. 固定固定 x, (x= x0)cos(),(00kxtAtxy 波动方程变为波动方程变为x0点的振动方程点的振动方程比较原点处质元比较原点处质元, x0处质元在处质元在t时刻比原点处质元相位落时刻比原点处质元相位落kx0, x0的取值不同的取值不同, 则相位落则相位落后不同后不同.可见可见, 波动是相位依次落波动是相位依次落后的振动的集合后的振动的集合)(c
14、os),(uxtAtxy 由由 = 2 /T ，u = = /T)(2cos),( xtAtxy 有有)(2cos),( xTtAtxy 或或取角波数取角波数kuk 2)cos(),(kxtAtxy 有有讨论讨论:(1)波动方程的其它两种波动方程的其它两种常见形式常见形式(2)若波沿若波沿Ox轴负方向传播轴负方向传播)(cos),(uxtAtxy x0处质元的振动速度处质元的振动速度)(sin0uxtAty 不同于波传播的速度不同于波传播的速度ux0处质元振动的加速度处质元振动的加速度)(cos0222uxtAty 2. 固定固定 t, (t = t0 )cos(),(00kxtAtxy 给出
15、同一时刻的曲给出同一时刻的曲线线波形图波形图x2P2P1x1t 时刻波形时刻波形Oyx(3)若振动方程为若振动方程为则相应的波函数为则相应的波函数为)cos(tAyuxtAycos2波函数的物理意义波函数的物理意义由由 y(x,t) cos( t - -k kx)从从几方面讨论几方面讨论1. 固定固定 x, (x= x0)cos(),(00kxtAtxy 波动方程变为波动方程变为x0点的振动方程点的振动方程比较原点处质元比较原点处质元, x0处质元在处质元在t时刻比原点处质元相位落时刻比原点处质元相位落kx0, x0的取值不同的取值不同, 则相位落则相位落后不同后不同.可见可见, 波动是相位依
16、次落波动是相位依次落后的振动的集合后的振动的集合P1处质元的相位处质元的相位(t0 kx1)P2处质元的相位处质元的相位(t0- kx2)两点的相位差两点的相位差xxk 2当相位差当相位差 = 2 时时波程差波程差x = 可见，可见，波长是相位差为波长是相位差为2的两质元间的距离的两质元间的距离3 . y(x,t)表达了所有质元位表达了所有质元位移随时间变化的整体情况移随时间变化的整体情况oyxt=T/2/2t=3T/43/4t=T/4/4t=Tt = 0可见可见, 波形沿传播方向前进波形沿传播方向前进, 即为即为行波行波x0处质元的振动速度处质元的振动速度)(sin0uxtAty 不同于波传
17、播的速度不同于波传播的速度ux0处质元振动的加速度处质元振动的加速度)(cos0222uxtAty 2. 固定固定 t, (t = t0 )cos(),(00kxtAtxy 给出同一时刻的曲给出同一时刻的曲线线波形图波形图x2P2P1x1t 时刻波形时刻波形OyxoytT4. 波动方程波动方程反映了波的时反映了波的时间、空间双重周期性间、空间双重周期性 T T 时间时间周期性周期性 空间周空间周期性期性kTu 5. 波动方程波动方程反映了波是反映了波是振动状态的传播振动状态的传播uxOyxxt 时刻波形时刻波形t+t 时刻时刻波形波形P1处质元的相位处质元的相位(t0 kx1)P2处质元的相位
18、处质元的相位(t0- kx2)两点的相位差两点的相位差xxk 2当相位差当相位差 = 2 时时波程差波程差x = 可见，可见，波长是相位差为波长是相位差为2的两质元间的距离的两质元间的距离3 . y(x,t)表达了所有质元位表达了所有质元位移随时间变化的整体情况移随时间变化的整体情况oyxt=T/2/2t=3T/43/4t=T/4/4t=Tt = 0可见可见, 波形沿传播方向前进波形沿传播方向前进, 即为即为行波行波波传播的速度波传播的速度: 看某一特看某一特定振动状态即相位定振动状态即相位 ( t - kx) = 常数的传播速度常数的传播速度即相速度为即相速度为uktx ddy(x, t)
19、= y(x+ x, t + t) 其中其中 x = u t由由 uxtAy cos三、波动微分方程三、波动微分方程uxtAtysin uxtAty cos222 uxtuAxy sinoytT4. 波动方程波动方程反映了波的时反映了波的时间、空间双重周期性间、空间双重周期性 T T 时间时间周期性周期性 空间周空间周期性期性kTu 5. 波动方程波动方程反映了波是反映了波是振动状态的传播振动状态的传播uxOyxxt 时刻波形时刻波形t+t 时刻时刻波形波形 uxtuAxy cos2222由上两式有由上两式有:222221tyuxy 波的波的动力学微分方程动力学微分方程实际上实际上,平面简谐波只
20、是平面简谐波只是上述方程的一个解上述方程的一个解.例题例题2.已知波动方程已知波动方程y=5cos(2.5t0.01x), 求波求波长、周期和频率长、周期和频率.(长度单位为长度单位为 cm,其它为其它为(SI)解解:方法一方法一(比较系数法比较系数法)将波动方程改写为将波动方程改写为 xty201. 025 . 22cos5 波传播的速度波传播的速度: 看某一特看某一特定振动状态即相位定振动状态即相位 ( t - kx) = 常数的传播速度常数的传播速度即相速度为即相速度为uktx ddy(x, t) = y(x+ x, t + t) 其中其中 x = u t由由 uxtAy cos三、波动
21、微分方程三、波动微分方程uxtAtysin uxtAty cos222 uxtuAxy sin与与 xTtAy2cos比较比较1scm250cm20001. 02s8 . 05 . 22TuT得得方法二（由物理定义）方法二（由物理定义）1.波长是指同一时刻波长是指同一时刻t, 波波线上相位差为线上相位差为2的两点间的两点间的距离的距离(2.5t0.01x1) (2.5t0.01x2)=2cm20001. 0212 xx2.周期周期:相位传播一个波相位传播一个波长所需时间长所需时间t1 时刻时刻x1点处的相点处的相位位,在在(t1+T)时刻传时刻传到到x2(=x1+)点点 uxtuAxy cos
22、2222由上两式有由上两式有:222221tyuxy 波的波的动力学微分方程动力学微分方程实际上实际上,平面简谐波只是平面简谐波只是上述方程的一个解上述方程的一个解.例题例题2.已知波动方程已知波动方程y=5cos(2.5t0.01x), 求波求波长、周期和频率长、周期和频率.(长度单位为长度单位为 cm,其它为其它为(SI)解解:方法一方法一(比较系数法比较系数法)将波动方程改写为将波动方程改写为 xty201. 025 . 22cos5 (2.5t10.01x1)=2.5(t1+T) 0.01(x1+)T=0.8s3.波速波速: 振动相位传播的速度振动相位传播的速度t1时刻时刻x1点的相位
23、点的相位,经过经过t=t2t1时间传到时间传到x2处处11212scm2508 . 0200 Tttxxu 例题例题3.一平面简谐波以速率一平面简谐波以速率u = 20m/s沿直线传播沿直线传播. 已知在传播路径上已知在传播路径上某 点某 点 A 的 简 谐 运 动 方 程 为的 简 谐 运 动 方 程 为 y =3cos4t (SI). (1)以点以点A为坐标原为坐标原点点,写出波动方程写出波动方程.(2)以距点以距点A为为5m处的点处的点B为坐标原点为坐标原点,写出波写出波动方程动方程;(3)写出传播方向上点写出传播方向上点与与 xTtAy2cos比较比较1scm250cm20001. 0
24、2s8 . 05 . 22TuT得得方法二（由物理定义）方法二（由物理定义）1.波长是指同一时刻波长是指同一时刻t, 波波线上相位差为线上相位差为2的两点间的两点间的距离的距离(2.5t0.01x1) (2.5t0.01x2)=2cm20001. 0212 xx2.周期周期:相位传播一个波相位传播一个波长所需时间长所需时间t1 时刻时刻x1点处的相点处的相位位,在在(t1+T)时刻传时刻传到到x2(=x1+)点点C、点、点D的简谐运动方的简谐运动方程程;(4)分别求出分别求出BC和和CD两点间的相位差两点间的相位差.解解:已知已知 u=20m/sABCDx8m5m9mum10s2241 u1.
25、以以A为原点为原点yA = 3cos4t (SI)A点的振动方程点的振动方程波动方程波动方程(2.5t10.01x1)=2.5(t1+T) 0.01(x1+)T=0.8s3.波速波速: 振动相位传播的速度振动相位传播的速度t1时刻时刻x1点的相位点的相位,经过经过t=t2t1时间传到时间传到x2处处11212scm2508 . 0200 Tttxxu 一平面简谐波以速率一平面简谐波以速率u = 20m/s沿直线传播沿直线传播. 已知在传播路径上已知在传播路径上某 点某 点 A 的 简 谐 运 动 方 程 为的 简 谐 运 动 方 程 为 y =3cos4t (SI). (1)以点以点A为坐标原
26、为坐标原点点,写出波动方程写出波动方程.(2)以距点以距点A为为5m处的点处的点B为坐标原点为坐标原点,写出波写出波动方程动方程;(3)写出传播方向上点写出传播方向上点3cos4 ()3cos(4)(SI)5xytuttx例题例题3.2.以以B为原点为原点,先写出先写出B点的点的振动方程振动方程把把xB=5m代入波动方程代入波动方程yB=3cos(4t+) (SI) uxtyB4cos3波波3.以以A为原点为原点,求求C点的振动点的振动)SI(54cos3 xt)SI(5134cos3 tyC振振同理对同理对D点点)SI(594cos3 tyD4. BC间的相位差间的相位差C、点、点D的简谐运
27、动方的简谐运动方程程;(4)分别求出分别求出BC和和CD两点间的相位差两点间的相位差.解解:已知已知 u=20m/sABCDx8m5m9mum10s2241 u1.以以A为原点为原点yA = 3cos4t (SI)A点的振动方程点的振动方程波动方程波动方程3cos4 ()3cos(4)(SI)5xytuttx 6 . 1)(2 CBBCxxCD间的相位差间的相位差 4 . 42 xC相位超前相位超前D4.43 3 波的能量波的能量一一. . 弹性波的能量弹性波的能量 动能动能 形变势能形变势能 += 波的能量波的能量波动过程就是能量传播的波动过程就是能量传播的过程过程)(cosuxtAy 振动
28、动能振动动能2)d(21dvmWk uxtAtyv sin而而2.以以B为原点为原点,先写出先写出B点的点的振动方程振动方程把把xB=5m代入波动方程代入波动方程yB=3cos(4t+) (SI) uxtyB4cos3波波3.以以A为原点为原点,求求C点的振动点的振动)SI(54cos3 xt)SI(5134cos3 tyC振振同理对同理对D点点)SI(594cos3 tyD4. BC间的相位差间的相位差所以：所以： uxtAVWk 222sin)d(21d弹性势能弹性势能 uxtAVWWkp 222sin)d(21dd体积元的总能：体积元的总能：uxtAVWWWkp222sin)d(ddd2
29、)d(21d xyuVWp uxtuAxy sin而而说明说明: 1. 在行波传播过程中在行波传播过程中,体体积元的动能和势能同相且相等积元的动能和势能同相且相等.CD间的相位差间的相位差 4 . 42 xC相位超前相位超前D4.43 3 波的能量波的能量一一. . 弹性波的能量弹性波的能量 动能动能 形变势能形变势能 += 波的能量波的能量波动过程就是能量传播的波动过程就是能量传播的过程过程)(cosuxtAy 振动动能振动动能2)d(21dvmWk uxtAtyv sin而而 6 . 1)(2 CBBCxx2. 体积元的总机械能随时体积元的总机械能随时间作周期性变化间作周期性变化.3. 体
30、积元的总机械能随位体积元的总机械能随位置作周期性变化置作周期性变化,说明任一说明任一体积元在不断放出和接受体积元在不断放出和接受能量能量,故波动传播能量故波动传播能量.4.能量密度能量密度: 单位体积媒单位体积媒质中的波动能量质中的波动能量. uxtAVWw 222sindd平均能量密度平均能量密度:TtwTw0d12221 A TtuxtAT0222dsin1所以：所以： uxtAVWk 222sin)d(21d弹性势能弹性势能 uxtAVWWkp 222sin)d(21dd体积元的总能：体积元的总能：uxtAVWWWkp222sin)d(ddd2)d(21d xyuVWp uxtuAxy
31、sin而而说明说明: 1. 在行波传播过程中在行波传播过程中,体体积元的动能和势能同相且相等积元的动能和势能同相且相等.机械波的能量与物质的机械波的能量与物质的密度、振幅平方、频率密度、振幅平方、频率平方成正比平方成正比二二. . 能流能流( (能量通量能量通量) )、波的、波的强度强度1. 1. 能流能流( (能通量能通量) )单位时间通过媒质中某面单位时间通过媒质中某面积的能量积的能量uSux能流能流 : :P = wuS平均能流：平均能流：uSwP 能流密度能流密度: :垂直通过单位面积的能流垂直通过单位面积的能流wu2. 体积元的总机械能随时体积元的总机械能随时间作周期性变化间作周期性
32、变化.3. 体积元的总机械能随位体积元的总机械能随位置作周期性变化置作周期性变化,说明任一说明任一体积元在不断放出和接受体积元在不断放出和接受能量能量,故波动传播能量故波动传播能量.4.能量密度能量密度: 单位体积媒单位体积媒质中的波动能量质中的波动能量. uxtAVWw 222sindd平均能量密度平均能量密度:TtwTw0d12221 A TtuxtAT0222dsin1平面简谐波平面简谐波w 能能u= u 2A2sin2( t-kx)2. 波的强度波的强度能流密度的时间平均值能流密度的时间平均值平面简谐波平面简谐波2221AuuwSPI 4 4 惠更斯原理惠更斯原理一一. . 波的几何描
33、述波的几何描述波线波线: :沿波的传播方向画沿波的传播方向画波面：波面：振动相位相同的点振动相位相同的点组成的曲面组成的曲面.的带箭头的线叫波线的带箭头的线叫波线.波前波前( (波阵面波阵面):):波源最初振波源最初振动状态传到的点连成的面曲动状态传到的点连成的面曲.机械波的能量与物质的机械波的能量与物质的密度、振幅平方、频率密度、振幅平方、频率平方成正比平方成正比二二. . 能流能流( (能量通量能量通量) )、波的、波的强度强度1. 1. 能流能流( (能通量能通量) )单位时间通过媒质中某面单位时间通过媒质中某面积的能量积的能量uSux能流能流 : :P = wuS平均能流：平均能流：u
34、SwP 能流密度能流密度: :垂直通过单位面积的能流垂直通过单位面积的能流wu平面波平面波球面波球面波球面波球面波平面波平面波波波线线 波面波面在各向同性媒质中在各向同性媒质中,波线与波线与波面垂直波面垂直.二二. . 惠更斯原理惠更斯原理1. 原理原理 : 媒质中波传到的各点媒质中波传到的各点,都可看都可看作开始发射子波的作开始发射子波的子波源子波源 (点波源点波源)。在以后的任一时。在以后的任一时刻刻,这些这些子波面的包络面子波面的包络面就就是实际的波在是实际的波在平面简谐波平面简谐波w 能能u= u 2A2sin2( t-kx)2. 波的强度波的强度能流密度的时间平均值能流密度的时间平均
35、值平面简谐波平面简谐波2221AuuwSPI 4 4 惠更斯原理惠更斯原理一一. . 波的几何描述波的几何描述波线波线: :沿波的传播方向画沿波的传播方向画波面：波面：振动相位相同的点振动相位相同的点组成的曲面组成的曲面.的带箭头的线叫波线的带箭头的线叫波线.波前波前( (波阵面波阵面):):波源最初振波源最初振动状态传到的点连成的面曲动状态传到的点连成的面曲.2. 应用应用 :t时刻波面时刻波面 t+ t时刻波时刻波面面波的传播方向波的传播方向能正确解释波的衍射、波能正确解释波的衍射、波的反射、波的折射等的反射、波的折射等该时刻的该时刻的波前波前平面波平面波u t波传播方向波传播方向球面波球
36、面波 tt + tt 时刻波面时刻波面t+ t时刻波面时刻波面平面波平面波球面波球面波球面波球面波平面波平面波波波线线 波面波面在各向同性媒质中在各向同性媒质中,波线与波线与波面垂直波面垂直.二二. 惠更斯原理惠更斯原理1. 原理原理 : 媒质中波传到的各点媒质中波传到的各点,都可看都可看作开始发射子波的作开始发射子波的子波源子波源 (点波源点波源)。在以后的任一时。在以后的任一时刻刻,这些这些子波面的包络面子波面的包络面就就是实际的波在是实际的波在1. 现象现象波传播过程中当遇到障碍波传播过程中当遇到障碍物时物时, ,能能 绕过障碍物的边绕过障碍物的边缘而传播的现象。缘而传播的现象。三三.
37、. 波的衍射波的衍射可用惠更斯原理作图可用惠更斯原理作图a2. 作图作图衍射现象显著与否与障碍衍射现象显著与否与障碍物的大小和波长之比有关物的大小和波长之比有关2. 应用应用 :t时刻波面时刻波面 t+ t时刻波时刻波面面波的传播方向波的传播方向能正确解释波的衍射、波能正确解释波的衍射、波的反射、波的折射等的反射、波的折射等该时刻的该时刻的波前波前平面波平面波u t波传播方向波传播方向球面波球面波 tt + tt 时刻波面时刻波面t+ t时刻波面时刻波面1. 波的反射波的反射 (略略)四四. .波的反射和折射波的反射和折射 用作图法求出折射波的用作图法求出折射波的传播方向传播方向BC=u1(t
38、2-t1) AE=u2(t2-t1)2. 波的折射波的折射由图有由图有 波的折射定律波的折射定律 媒质媒质1媒质媒质2A折射波传播方向折射波传播方向Cirt1t2BE(1)折射线、入射线和界折射线、入射线和界面法线在同一平面内。面法线在同一平面内。1. 现象现象波传播过程中当遇到障碍波传播过程中当遇到障碍物时物时, ,能能 绕过障碍物的边绕过障碍物的边缘而传播的现象。缘而传播的现象。三三. . 波的衍射波的衍射可用惠更斯原理作图可用惠更斯原理作图a2. 作图作图衍射现象显著与否与障碍衍射现象显著与否与障碍物的大小和波长之比有关物的大小和波长之比有关i-入射角入射角, r-折射角折射角21122
39、1sinsinnnnuuri (2)5 波的干涉波的干涉 1. 波传播的独立性波传播的独立性:媒质中同时有几列波时媒质中同时有几列波时 , 每列每列波都将保持自己原有的特性波都将保持自己原有的特性(传播方向、振动方向、频率传播方向、振动方向、频率等等), 不受其它波的影响不受其它波的影响 。 一一. 波的叠加原理波的叠加原理2. 叠加原理叠加原理:在几列波相遇而互相交叠在几列波相遇而互相交叠的区域中，某点的振动是的区域中，某点的振动是各列波各列波单独单独传播传播 时在该点时在该点引起的振动的矢量和引起的振动的矢量和.叠加原理是一个重要的叠加原理是一个重要的物理规律物理规律1. 波的反射波的反射
40、 (略略)四四. .波的反射和折射波的反射和折射 用作图法求出折射波的用作图法求出折射波的传播方向传播方向BC=u1(t2-t1) AE=u2(t2-t1)2. 波的折射波的折射由图有由图有 波的折射定律波的折射定律 媒质媒质1媒质媒质2A折射波传播方向折射波传播方向Cirt1t2BE(1)折射线、入射线和界折射线、入射线和界面法线在同一平面内。面法线在同一平面内。满足叠加原理的物理系统满足叠加原理的物理系统为线性系统为线性系统. 波的强度过大波的强度过大非线性波非线性波电磁波电磁波叠加原理不成立叠加原理不成立 光波在媒质中传播时光波在媒质中传播时3. 波动方程的线性决定了波动方程的线性决定了
41、波服从叠加原理波服从叠加原理 麦克斯韦方程组的四个麦克斯韦方程组的四个方程都是线性的方程都是线性的 ,如果如果HBED 和和也是线性关系也是线性关系 - 解满解满足叠加原理足叠加原理弱光弱光 媒质可看作线性媒质媒质可看作线性媒质强光强光 媒质非线性媒质非线性,波的波的叠加原理不成立叠加原理不成立i-入射角入射角, r-折射角折射角211221sinsinnnnuuri (2)5 波的干涉波的干涉 1. 波传播的独立性波传播的独立性:媒质中同时有几列波时媒质中同时有几列波时 , 每列每列波都将保持自己原有的特性波都将保持自己原有的特性(传播方向、振动方向、频率传播方向、振动方向、频率等等), 不
42、受其它波的影响不受其它波的影响 。 一一. 波的叠加原理波的叠加原理2. 叠加原理叠加原理:在几列波相遇而互相交叠在几列波相遇而互相交叠的区域中，某点的振动是的区域中，某点的振动是各列波各列波单独单独传播传播 时在该点时在该点引起的振动的矢量和引起的振动的矢量和.叠加原理是一个重要的叠加原理是一个重要的物理规律物理规律1. 干涉现象干涉现象 波叠加时在空间出现稳定波叠加时在空间出现稳定的振动加强和减弱的分布的振动加强和减弱的分布2. 相干条件相干条件(1) 频率相同频率相同(2) 有恒定的相位差有恒定的相位差 (3) 振动方向相同振动方向相同 二二.波的干涉波的干涉3. 波场的强度分布波场的强
43、度分布设设S1、S2为相干波源，为相干波源，它们在同一均匀媒质中它们在同一均匀媒质中传播，在传播，在P点相遇点相遇.振动振动方向方向 屏面屏面(1) 波场中任一点的合振动波场中任一点的合振动 S2S1r1r2 p满足叠加原理的物理系统满足叠加原理的物理系统为线性系统为线性系统. 波的强度过大波的强度过大非线性波非线性波电磁波电磁波叠加原理不成立叠加原理不成立 光波在媒质中传播时光波在媒质中传播时3. 波动方程的线性决定了波动方程的线性决定了波服从叠加原理波服从叠加原理 麦克斯韦方程组的四个麦克斯韦方程组的四个方程都是线性的方程都是线性的 ,如果如果HBED 和和也是线性关系也是线性关系 - 解
44、满解满足叠加原理足叠加原理弱光弱光 媒质可看作线性媒质媒质可看作线性媒质强光强光 媒质非线性媒质非线性,波的波的叠加原理不成立叠加原理不成立 S1 y10 = A1cos( t+ 1) S2 y20 = A2cos( t+ 2) p点两分振动点两分振动 y1 = A1cos( t+ 1 - kr1) y2 = A2cos( t+ 2 - kr2) = ( 2 - 1) - k(r2-r1) 2 k相位差相位差: p点合振动点合振动)cos(21 tAyyy合振动的初相合振动的初相)cos()cos()sin()sin(tg222111222111krAkrAkrAkrA A = (A12+A2
45、2 +2A1A2cos )1/2合振幅合振幅1. 干涉现象干涉现象 波叠加时在空间出现稳定波叠加时在空间出现稳定的振动加强和减弱的分布的振动加强和减弱的分布2. 相干条件相干条件(1) 频率相同频率相同(2) 有恒定的相位差有恒定的相位差 (3) 振动方向相同振动方向相同 二二.波的干涉波的干涉3. 波场的强度分布波场的强度分布设设S1、S2为相干波源，为相干波源，它们在同一均匀媒质中它们在同一均匀媒质中传播，在传播，在P点相遇点相遇.振动振动方向方向 屏面屏面(1) 波场中任一点的合振动波场中任一点的合振动 S2S1r1r2 p强度强度 cos22121IIIII( I A2 ) 加强条件加
46、强条件 ( 相长干涉相长干涉 ) = ( 2- 1) - k(r2-r1) = 2m (m=0,1,2,)合振幅最大合振幅最大 A = A1+A22121max2IIIII 若若 A1 = A2 , 则则 Imax = 4 I1(2) 加强、减弱条件加强、减弱条件(m=0,1,2,) = ( 2- 1) - k(r2-r1)减弱条件减弱条件(相干相消相干相消)= (2m+1) S1 y10 = A1cos( t+ 1) S2 y20 = A2cos( t+ 2) p点两分振动点两分振动 y1 = A1cos( t+ 1 - kr1) y2 = A2cos( t+ 2 - kr2) = ( 2
47、- 1) - k(r2-r1) 2 k相位差相位差: p点合振动点合振动)cos(21 tAyyy合振动的初相合振动的初相)cos()cos()sin()sin(tg222111222111krAkrAkrAkrA A = (A12+A22 +2A1A2cos )1/2合振幅合振幅合振幅最小合振幅最小 A = | A1 - A2|2121min2IIIII 若若 A1 = A2 , 则则 Imin = 0一般情况一般情况(3)加强减弱条件的另一种加强减弱条件的另一种表述表述设设2 = 1 , 取取 = r2r1 为波程差为波程差 2)(12 rrk加强条件加强条件 = r2r1 = m m =
48、 0,1,2, 减弱条件减弱条件 = r2r1 = （2m+1)/2 m = 0,1,2, | A1 - A2| A (A1+A2)强度强度 cos22121IIIII( I A2 ) 加强条件加强条件 ( 相长干涉相长干涉 ) = ( 2- 1) - k(r2-r1) = 2m (m=0,1,2,)合振幅最大合振幅最大 A = A1+A22121max2IIIII 若若 A1 = A2 , 则则 Imax = 4 I1(2) 加强、减弱条件加强、减弱条件(m=0,1,2,) = ( 2- 1) - k(r2-r1)减弱条件减弱条件(相干相消相干相消)= (2m+1) 例题例题4如图所示如图所
49、示,A、B两点为两点为处于同一媒质中处于同一媒质中,且相距且相距20m的两个波源的两个波源,它们作同频率它们作同频率,同方向的振动同方向的振动.设它们激起的设它们激起的平面简谐波振幅相同平面简谐波振幅相同,波速均波速均为为200m/s,频率为频率为100Hz,且且A点出现波峰时点出现波峰时,B点出现波谷点出现波谷.求求A、B连线上因干涉而静连线上因干涉而静止的各点的位置止的各点的位置.OxAB解：已知解：已知 u =200m/s , =100Hzm2 uCx20 - x以以A为坐标原点为坐标原点)2cos(tAyAO 合振幅最小合振幅最小 A = | A1 - A2|2121min2IIIII
50、 若若 A1 = A2 , 则则 Imin = 0一般情况一般情况(3)加强减弱条件的另一种加强减弱条件的另一种表述表述设设2 = 1 , 取取 = r2r1 为波程差为波程差 2)(12 rrk加强条件加强条件 = r2r1 = m m = 0,1,2, 减弱条件减弱条件 = r2r1 = （2m+1)/2 m = 0,1,2, | A1 - A2| A (A1+A2)则则B点振源的振动为点振源的振动为)2cos( tAyBOA点激发右行波点激发右行波)(2cos xtAyA B点激发左行波点激发左行波xtAyB2cos xtAyA202cos原点从原点从B移至移至A点点在在C点相遇而静止点
51、相遇而静止(合振合振幅为零幅为零) 12 (2202mxtxt例题例题4如图所示如图所示,A、B两点为两点为处于同一媒质中处于同一媒质中,且相距且相距20m的两个波源的两个波源,它们作同频率它们作同频率,同方向的振动同方向的振动.设它们激起的设它们激起的平面简谐波振幅相同平面简谐波振幅相同,波速均波速均为为200m/s,频率为频率为100Hz,且且A点出现波峰时点出现波峰时,B点出现波谷点出现波谷.求求A、B连线上因干涉而静连线上因干涉而静止的各点的位置止的各点的位置.OxAB解：已知解：已知 u =200m/s , =100Hzm2 uCx20 - x以以A为坐标原点为坐标原点)2cos(t
52、AyAO ) 12(2)20(2 mxx即即: 2x = m + 20当当 = 2 时时, x = 10mm = 0, 1, 2, 即即 x = 0, 1, 2, , 19, 20 米处为静止米处为静止.6. 驻波驻波驻波是干涉的特例，是一种驻波是干涉的特例，是一种特殊的振动特殊的振动现象现象。一一. 驻波的产生及特征驻波的产生及特征1.产生产生条件条件:两列波两列波: (1)满足相干条件满足相干条件; (2)相同振幅相同振幅; (3)在同一直线上在同一直线上速度相同且沿相反方向传速度相同且沿相反方向传播播. 相遇而产生驻波相遇而产生驻波.2.驻波的驻波的特征特征则则B点振源的振动为点振源的振
53、动为)2cos( tAyBOA点激发右行波点激发右行波)(2cos xtAyA B点激发左行波点激发左行波xtAyB2cos xtAyA202cos原点从原点从B移至移至A点点在在C点相遇而静止点相遇而静止(合振合振幅为零幅为零) 12 (2202mxtxt(1)某些点始终不动某些点始终不动波节，波节，某些点振动最大某些点振动最大波腹。波腹。(2)波腹、波节等间隔稳定波腹、波节等间隔稳定分布分布(波形没有跑动波形没有跑动).(3)媒质质元分段振动媒质质元分段振动,各各分段步调一致分段步调一致,振幅不同振幅不同.uuOyxPABCDEFG设两列平面相干波沿设两列平面相干波沿x轴正、轴正、负向传播
54、负向传播,在在x=0处相位相同处相位相同.1. 驻波方程驻波方程:二二. . 驻波方程分析驻波方程分析右行波右行波: xtAy2cos1 ) 12(2)20(2 mxx即即: 2x = m + 20当当 = 2 时时, x = 10mm = 0, 1, 2, 即即 x = 0, 1, 2, , 19, 20 米处为静止米处为静止.6. 驻波驻波驻波是干涉的特例，是一种驻波是干涉的特例，是一种特殊的振动特殊的振动现象现象。一一. 驻波的产生及特征驻波的产生及特征1.产生产生条件条件:两列波两列波:(1)满足相干条件满足相干条件; (2)相同振幅相同振幅; (3)在同一直线上在同一直线上速度相同且
55、沿相反方向传速度相同且沿相反方向传播播. 相遇而产生驻波相遇而产生驻波.2.驻波的驻波的特征特征 xtAy2cos2左行波左行波:x轴上的轴上的合振动合振动为为:21yyytxA 2cos2cos2 2.驻波的驻波的振幅振幅txAy 2cos2cos2 由驻波方程由驻波方程与时间无关的因子为振与时间无关的因子为振幅幅,与时间有关的为相位与时间有关的为相位.振幅为振幅为: xA2cos2(1) 驻波的振幅沿驻波的振幅沿x轴周轴周期变化期变化.(1)某些点始终不动某些点始终不动波节，波节，某些点振动最大某些点振动最大波腹。波腹。(2)波腹、波节等间隔稳定波腹、波节等间隔稳定分布分布(波形没有跑动波
56、形没有跑动).(3)媒质质元分段振动媒质质元分段振动,各各分段步调一致分段步调一致,振幅不同振幅不同.uuOyxPABCDEFG设两列平面相干波沿设两列平面相干波沿x轴正、轴正、负向传播负向传播,在在x=0处相位相同处相位相同.1. 驻波方程驻波方程:二二. . 驻波方程分析驻波方程分析右行波右行波: xtAy2cos1(2) 波腹波腹振幅最大振幅最大AxA22cos2 由由最大振幅为最大振幅为2A kx 2波腹处坐标：波腹处坐标：2 kxk = 0,1,2, (3)波节波节振幅为零振幅为零02cos2 xA由由相邻两波腹间距相邻两波腹间距21 kkxxx2)12(2 kx xtAy2cos2
57、左行波左行波:x轴上的轴上的合振动合振动为为:21yyytxA 2cos2cos2 2.驻波的驻波的振幅振幅txAy 2cos2cos2 由驻波方程由驻波方程与时间无关的因子为振与时间无关的因子为振幅幅,与时间有关的为相位与时间有关的为相位.振幅为振幅为: xA2cos2(1) 驻波的振幅沿驻波的振幅沿x轴周轴周期变化期变化.4)12( kx相邻两波节的间距相邻两波节的间距21 kkxxx3.驻波的驻波的相位相位驻波方程驻波方程txAy 2cos2cos2 txAy2cos2cos2可写为可写为:)2cos(2cos2txAy)02(cosx)02(cosx(2) 波腹波腹振幅最大振幅最大Ax
58、A22cos2 由由最大振幅为最大振幅为2A kx 2波腹处坐标：波腹处坐标：2 kxk = 0,1,2, (3)波节波节振幅为零振幅为零02cos2 xA由由相邻两波腹间距相邻两波腹间距21 kkxxx2)12(2 kx驻波的相位与坐标无关驻波的相位与坐标无关,说明不象行波随位置依次说明不象行波随位置依次落后落后,即驻波的相位不向即驻波的相位不向前传播前传播.(1) 相邻两波节间各点的相邻两波节间各点的相位相位相同相同设第设第k个波节个波节xk满足满足222 kxk221 kxk设第设第k1个波节个波节xk1满足满足当当x满足满足: xk-1 x xk22 kxk即即:在此区间在此区间同号同
59、号 x2cos4)12( kx相邻两波节的间距相邻两波节的间距21 kkxxx3.驻波的驻波的相位相位驻波方程驻波方程txAy 2cos2cos2 txAy2cos2cos2可写为可写为:)2cos(2cos2txAy)02(cosx)02(cosx(2) 某一波节两边各点的相位某一波节两边各点的相位相反相反k为偶数为偶数 相位为相位为:2tk为奇数为奇数 相位为相位为:2t+即即: xk1 xk 中的所有点同相位中的所有点同相位研究相邻两波腹点的相位研究相邻两波腹点的相位2)1(1 kxk2 kxk )2cos(cos22cos) 1cos(21tkAtkAyktkAyk 2coscos2
60、结论结论:驻波的相位分段相同驻波的相位分段相同,两两相邻波节间相位相同相邻波节间相位相同(振动步振动步调一致调一致),某波节两边相位相反某波节两边相位相反,相位不向前传播相位不向前传播.“驻驻”实际实际上是一种特殊的振动现象上是一种特殊的振动现象.驻波的相位与坐标无关驻波的相位与坐标无关,说明不象行波随位置依次说明不象行波随位置依次落后落后,即驻波的相位不向即驻波的相位不向前传播前传播.(1) 相邻两波节间各点的相邻两波节间各点的相位相位相同相同设第设第k个波节个波节xk满足满足222 kxk221 kxk设第设第k1个波节个波节xk1满足满足当当x满足满足: xk-1 x xk22 kxk即
61、即:在此区间在此区间同号同号 x2cos两者相位差为两者相位差为三三. 驻波的能量驻波的能量驻波的相位不向前传播驻波的相位不向前传播,能量也能量也不向前传播不向前传播.驻波只是介质的一驻波只是介质的一种特殊的振动种特殊的振动.驻波的能量只在波节与波腹之驻波的能量只在波节与波腹之间间,动、势能交替转换动、势能交替转换.各质元达到最大位移时各质元达到最大位移时,动能为动能为零零,波节处势能最大波节处势能最大.各质元通过平衡位置时各质元通过平衡位置时,势能为势能为零零,波腹处动能最大波腹处动能最大.能量交替地由波腹附近转向波能量交替地由波腹附近转向波节附近节附近,再由波节附近转回到再由波节附近转回到
62、波腹附近波腹附近.因为有两个等值反因为有两个等值反向的能流向的能流.四四. 相位跃变相位跃变1. 波在媒质分界面反射的波在媒质分界面反射的特征特征(2) 某一波节两边各点的相位某一波节两边各点的相位相反相反k为偶数为偶数 相位为相位为:2tk为奇数为奇数 相位为相位为:2t+即即: xk1 xk 中的所有点同相位中的所有点同相位研究相邻两波腹点的相位研究相邻两波腹点的相位2)1(1 kxk2 kxk )2cos(cos22cos) 1cos(21tkAtkAyktkAyk 2coscos2 结论结论:驻波的相位分段相同驻波的相位分段相同,两两相邻波节间相位相同相邻波节间相位相同(振动步振动步调
63、一致调一致),某波节两边相位相反某波节两边相位相反,相位不向前传播相位不向前传播.“驻驻”实际实际上是一种特殊的振动现象上是一种特殊的振动现象.两者相位差为两者相位差为波在波在固定端固定端反射时反射时,反射处反射处为为波节波节;波在波在自由端自由端反射时反射时,反射处为反射处为波腹波腹.2. 波疏与波密媒质波疏与波密媒质 入射波入射波透射波透射波反射波反射波ox媒质媒质1(Z1= 1u1)媒质媒质2(Z2= 2u2)界面界面若若Z1 Z2 (Z叫波阻叫波阻)媒质媒质1为波疏媒质为波疏媒质,媒质媒质2为为波密媒质波密媒质.3. 反射点的性质反射点的性质波从波疏媒质垂直入射到波波从波疏媒质垂直入射
64、到波密媒质密媒质,被反射回到波疏媒被反射回到波疏媒质时质时,在反射处形成在反射处形成波节波节;反反之之,则在反射处形成则在反射处形成波腹波腹.三三. 驻波的能量驻波的能量驻波的相位不向前传播驻波的相位不向前传播,能量也能量也不向前传播不向前传播.驻波只是介质的一驻波只是介质的一种特殊的振动种特殊的振动.驻波的能量只在波节与波腹之驻波的能量只在波节与波腹之间间,动、势能交替转换动、势能交替转换.各质元达到最大位移时各质元达到最大位移时,动能为动能为零零,波节处势能最大波节处势能最大.各质元通过平衡位置时各质元通过平衡位置时,势能为势能为零零,波腹处动能最大波腹处动能最大.能量交替地由波腹附近转向
65、波能量交替地由波腹附近转向波节附近节附近,再由波节附近转回到再由波节附近转回到波腹附近波腹附近.因为有两个等值反因为有两个等值反向的能流向的能流.四四. 相位跃变相位跃变1. 波在媒质分界面反射的波在媒质分界面反射的特征特征(1) 若若Z1 Z2 结论结论:4. 相位跃变相位跃变或者半波损失或者半波损失分界处为波节分界处为波节, 说明入射说明入射波与反射波在该处相位相波与反射波在该处相位相差差, 即反射波在分界处即反射波在分界处相相位突变位突变, 或者相当于附加或者相当于附加半个波长半个波长.(也称为也称为半波损半波损失失)波在波在固定端固定端反射时反射时,反射处反射处为为波节波节;波在波在自
66、由端自由端反射时反射时,反射处为反射处为波腹波腹.2. 波疏与波密媒质波疏与波密媒质 入射波入射波透射波透射波反射波反射波ox媒质媒质1(Z1= 1u1)媒质媒质2(Z2= 2u2)界面界面若若Z1 Z2 (Z叫波阻叫波阻)媒质媒质1为波疏媒质为波疏媒质,媒质媒质2为为波密媒质波密媒质.3. 反射点的性质反射点的性质波从波疏媒质垂直入射到波波从波疏媒质垂直入射到波密媒质密媒质,被反射回到波疏媒被反射回到波疏媒质时质时,在反射处形成在反射处形成波节波节;反反之之,则在反射处形成则在反射处形成波腹波腹.媒质媒质2 (Z2大大, Z2 = 2Z1)A1A 1A2入射波入射波反射波反射波透射波透射波媒质媒质1 (Z1小小)界面界面入射波入射波反射波反射波透射波透射波媒质媒质1 (Z1大大,Z1= 2Z2)媒质媒质2 (Z2小小)界面界面A1A 1A25.形象形象说明说明对于具有一长度为对于具有一长度为L的两端的两端固定的弦线固定的弦线,若形成驻波若形成驻波,则则其波长应满足其波长应满足:2 nL 或或nLn2 n = 1, 2, 3, 与此与此对应的频率对应的频率为为Lununn2 n = 1
