第六章 最小二乘法与曲线拟合

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1、第六章 最小二乘法与曲线拟合l 目的目的( (曲线拟合曲线拟合):):已知一组测量数据 ，寻找变量 与 的函数关系的近似表达式 。（寻找变化规律）l 插值法缺陷插值法缺陷: :(1)插值多项式通过了所有的点 ，引入了测量数据的观测误差；(2)当测量数据较多时，插值多项式不稳定，计算工作量巨大，缺乏实用价值 ), 2 , 1(),(niyxiixy),(iiyx xy第六章 最小二乘法与曲线拟合铝球散射声场指向性第六章 最小二乘法与曲线拟合 对观测数据序列 来说，不可避免地会含有误差。这样观测数据序列就无法同时满足函数 ，所以只能按照某种最优标准，构造一个逼近函数 来最优得靠近采样数据，即向量

2、与的误差或距离最小。按照这种误差最小原则构造的逼近函数称为拟合函数拟合函数，构造拟合函数的过程称为曲线拟合曲线拟合。,niyxii, 2 , 1 , xfy x Tnxxx,21Tnyyy,21第六章 最小二乘法与曲线拟合 从给定的一组实验数据 出发，寻求一个逼近函数 ，使得逼近函数从总体上总体上来说产生的偏差按照某种方法度量能达到最小而又不一定过全部的实验数据点 ，这就是曲线拟合法曲线拟合法。最常用的曲线拟合法就是本章所要介绍的最小二乘曲线拟合法最小二乘曲线拟合法。 插值和拟合是构造逼近函数的两种方法。曲线拟合问题的特点在于，被确定的曲线原则上并不要求通过给定的数据点，而只是要求尽可能从给定

3、点附近通过。插值法确定的曲线要求通过所有给定数据点，对于含有观测误差的数据来说，不通过给定数据点的原则显然更为合适。因为这样的处理，可以部分地抵消数据中含有的观测误差，从总体上与实际函数曲线更为符合。 ), 2 , 1(),(niyxii)(xy),(iiyx1 用最小二乘法求解矛盾方程组用最小二乘法求解矛盾方程组 用近似曲线 来拟合测量数据 ，其拟合好坏的好坏的判断标准判断标准（向量之间的误差或距离）：通过选择 ，使得它在 处的函数值 与测量数据 相差都很小，即要使偏差偏差（也称残差残差） 都很小。有不同衡量方法用各点误差绝对值的和表示用各点误差模值的最大值表示)(xy)21( ),(,n,

4、iyxii)(xix), 2 , 1( )(nixi), 2 , 1( niyi), 2 , 1( )(niyxiii niiiyxR01 iiniyxR0max1 用最小二乘法求解矛盾方程组用最小二乘法求解矛盾方程组 用各点误差的平方和表示上式中 称为均方误差。由于计算均方误差的最小值易于实现而被广泛采用。 这种“偏差平方和最小偏差平方和最小”的原则称为最小二乘原则最小二乘原则，而按最小二乘原则拟合曲线的方法称为最小二乘法最小二乘法或称最小二乘最小二乘曲线拟合法曲线拟合法。 niiiyxR0222R1 用最小二乘法求解矛盾方程组用最小二乘法求解矛盾方程组l 基函数基函数： 一般而言，所求得的

5、拟合函数可以是不同的函数类函数类，拟合曲线 是由m个线性无关函数 线性组合而成，即其中 为待定常数。线性无关函数组称为基函数基函数，常用的基函数有： 多项式： ； 三角函数： ； 指数函数： 。 )(x)(,),(),(21xxxm) 1( )()()()(2211nmxaxaxaxmmmaaa,21)(,),(),(21xxxmmxxx, 12mxxxsin,2sin,sinxxxmeee,211 用最小二乘法求解矛盾方程组用最小二乘法求解矛盾方程组 常用基函数中最简单的是多项式基函数多项式基函数。在解决实际问题时，如何选择适当的拟合曲线类型？ 在对拟合曲线一无所知的情况下，可以先绘制数据的

6、粗略图形，可大致观测出拟合曲线的类型。更一般地，可以先对数据进行多种曲线类型的拟合，并计算相应的均方误差，用数学实验的方法找出在最小二乘法意义下的误差最小的拟合函数。 1 用最小二乘法求解矛盾方程组用最小二乘法求解矛盾方程组举例举例：设平面上有5个点的观测数据，对应的为画出分布图形。 47. 5 , 9,02. 5 , 8,50. 3 , 5,98. 2 , 4,01. 2 , 20123456789100123456xy1 用最小二乘法求解矛盾方程组用最小二乘法求解矛盾方程组 可以看出，这5个点大致分布在一条直线上，因此可以用线性函数来表示：上面5组数据大致满足如下方程组：式中 为待定参数。

7、 bxay47. 5902. 5850. 3598. 2401. 22babababababa,1 用最小二乘法求解矛盾方程组用最小二乘法求解矛盾方程组 确定 的最简单方法是选点法，即在给定的5个点中，任选两个构造直线。也就是从上述5个等式中任选2个联立即可解出 。例如选择前两个点可得 ，解为选择4、5点可得 ，解为ba,ba,98. 2401. 22baba485. 0040. 1ba47. 5902. 58baba45. 042. 1ba1 用最小二乘法求解矛盾方程组用最小二乘法求解矛盾方程组 为减小解的变化，可以采用平均法，即把上述5式分为2组，并分别求平均，然后联立求解 ，例如分为如下

8、两组 两式联立得到 ，解为由于观测数据带有误差，而且表达式本身也是近似的，所以上例中得到各组 值是有差异的，无法使无法使5 5个等式同时成立个等式同时成立。ba,4867. 3547. 5998. 2401. 22babababa26. 45 . 602. 5850. 35bababa26. 45 . 64867. 35baba5155. 09092. 0baba,1 用最小二乘法求解矛盾方程组用最小二乘法求解矛盾方程组 在实际问题中，只要给出的观测点数大于待定参数的个数，根据观测数据得到的方程组就会出现互相矛盾的现象，称为矛盾方程组矛盾方程组。曲线拟合中的参数确定问题，实质上就是解矛盾方程组

9、的问题解矛盾方程组的问题。选点法和平均法只是求解矛盾方程组的最初等方法，解不唯一，而且无法衡量哪个解最好，怎么找到最好解等问题尚不明确，一般情况下仅用于粗略估值。1 用最小二乘法求解矛盾方程组用最小二乘法求解矛盾方程组l 矛盾方程组（超定方程组）矛盾方程组（超定方程组）： 方程式的个数多于未知数的个数时，方程组往往无解，此类方程组称为矛盾方程组矛盾方程组。 即 nmnmnnmmmmbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111);, 2 , 1( 1nmnibxamjijij1 用最小二乘法求解矛盾方程组用最小二乘法求解矛盾方程组上式是矛盾方程组矛盾方程组，

10、找不到同时满足n个方程的解，只能寻找某种意义下的近似解近似解。这种近似解不是相对精确解的近似，而是指寻找各未知数的一组值，使方程组中的各方程式近各方程式近似相等似相等。此即为用最小二乘法求解矛盾方程组的基本思想基本思想。l 偏差偏差：l 衡量近似解的近似程度的标准衡量近似解的近似程度的标准：按最小二乘原则，使偏差的平方和最小如果 的取值使上式的值达到最小，则称这组值是矛盾方程组的最优近似解最优近似解。);, 2 , 1(1nmnibxaimjjiji), 2 , 1(mjxj niimjjijniibxaQ121121 用最小二乘法求解矛盾方程组用最小二乘法求解矛盾方程组l 最优近似解的求解最