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1、2022-5-271第四章第四章 弯曲内力弯曲内力4-1 平面弯曲的概念平面弯曲的概念 一一.弯曲变形弯曲变形 1 . 载荷作用情况：载荷作用情况： 杆件上作用有杆件上作用有垂直于杆件轴线垂直于杆件轴线的的外力外力， 或或作用面垂直于横截面作用面垂直于横截面的的力偶力偶。 2 . 变形情况：变形情况： 原为直线的原为直线的轴线轴线变形后就会成为变形后就会成为曲线，横截面曲线，横截面相对原来相对原来位置位置转过一个角度。转过一个角度。这种形式的变形就称为这种形式的变形就称为弯曲弯曲。 工程中以弯曲变形为主的杆件称为工程中以弯曲变形为主的杆件称为2022-5-272墙梁楼板ql凡是以弯曲为主要变形
2、的杆件，通常称为梁。2022-5-273PaAB阳台梁阳台梁栏杆栏杆PABPaMeq2022-5-2742022-5-275上海长江大桥第53号至54号桥墩间，架起“百米长梁”。这一箱梁长105米、宽16米、高5米，重2300吨，为世界第一。 “百米长梁”超越东海大桥“梁式大桥”70米的跨度，实现了桥梁史上的一大突破。上海长江大桥跨江段长10公里，全桥长16.5公里，双向6车道，设计时速100公里。整个隧桥工程在2009年完工。上海长江大桥架起世界第一梁2022-5-276二二 . 平面弯曲平面弯曲（对称弯曲）（对称弯曲）一般情况下，工程中一般情况下，工程中受弯杆件受弯杆件的的特点特点：1 .
3、 横截面横截面都至少有一个通过都至少有一个通过几何形心几何形心的的对称轴对称轴， 因而整个杆件都有一个因而整个杆件都有一个包含轴线的包含轴线的纵向对称面纵向对称面。2 . 作用于杆件的作用于杆件的外力外力都在这个都在这个纵向对称平面纵向对称平面内。内。3 . 轴线轴线在在弯曲变形弯曲变形后后变成纵向对称面变成纵向对称面内的一条内的一条平面曲线平面曲线。 这种情况的这种情况的变形变形我们就称为我们就称为平面弯曲变形平面弯曲变形，可见梁发生可见梁发生平面弯曲平面弯曲时，受力为时，受力为平面平行力系平面平行力系。纵向对称面纵向对称面：梁的轴线与横截面的对称轴所构成的平面：梁的轴线与横截面的对称轴所构
4、成的平面2022-5-277平面弯曲平面弯曲：当作用在梁上的载荷和支反力均：当作用在梁上的载荷和支反力均位于纵向对称面内时，梁的轴线由直线弯成位于纵向对称面内时，梁的轴线由直线弯成一条位于纵向对称面内的曲线。一条位于纵向对称面内的曲线。FqFAFB纵向对称面纵向对称面轴线轴线弯曲后梁的轴线弯曲后梁的轴线（挠曲线）（挠曲线）2022-5-2784-2 梁的计算简图梁的计算简图Pq(x)三三. 支座的分类支座的分类一一. 杆件的简化杆件的简化用用梁梁的的轴线轴线来代替实际的梁。来代替实际的梁。折杆折杆或或曲杆曲杆用用中心线中心线代替。代替。二二. 载荷的分类载荷的分类 1 . 集中载荷集中载荷 2
5、 . 分布载荷分布载荷 3 . 集中力偶集中力偶1. 固定铰支座固定铰支座2. 可动铰支座可动铰支座3. 固定端支座固定端支座 根据支座对梁在载荷平面内的约束情况，一般可以根据支座对梁在载荷平面内的约束情况，一般可以简化为三种基本形式：简化为三种基本形式：2022-5-279四、静定梁的基本形式四、静定梁的基本形式1.简支梁简支梁2.外伸梁外伸梁3.悬臂梁悬臂梁中间铰中间铰4.组合梁组合梁2022-5-2710 超静定梁支座反力不能由静力平衡方程完全 确定的梁。2022-5-27114-3梁的内力及其求法梁的内力及其求法ablxPAB2022-5-2712求内力求内力 截面法截面法 弯曲构件内
6、力弯曲构件内力剪力剪力弯矩弯矩1.1.弯矩弯矩M ：它是与：它是与横截面垂直横截面垂直的的分布内力系分布内力系的的合力偶矩合力偶矩。xFMMlalFFFFRACRAy , 0)(s , 02.2.剪力剪力FS ：它是与它是与横截面相切的分布内力系横截面相切的分布内力系的的合力合力。MFRAFRBABPmmxFRAFSCPFRBFSCMxFMMlalFFFFRACRAy , 0)(s , 0 xFMMlalFFFFRACRASy , 0)( , 0 xFMMlalFFFFRACRAy , 0)(s , 0bPlFARlbPFARlaPFBR2022-5-2713FSdxmmFS+dxmmFSFS
7、-剪力剪力FS的符号规定：的符号规定： 左上右下为正，反之为负左上右下为正，反之为负弯矩弯矩M的符号规定：的符号规定：左顺右逆左顺右逆(上压下拉、上凹下凸上压下拉、上凹下凸) 为正，反之为负为正，反之为负mm+（受拉）（受拉）MMmm（受压）（受压）MM2022-5-2714例题 一简支梁受力如图所示。试求C截面（跨中截面）上的内力。解：1、根据平衡条件求支座反力qaFBy30AMqaFAy0BMqAB212qaM 222qaM 4aaaCAyFByF求指定截面上的剪力和弯矩求指定截面上的剪力和弯矩2022-5-27152、求C截面（跨中截面）上的内力qA212qaM aCAyFScF, 0y
8、F由得到：得到：02ScAyFaqFcMaqFFAySc2qaSF（剪力（剪力 的实际方向与假设方的实际方向与假设方向相反，为负剪力）向相反，为负剪力）, 0CM由得到：得到：0221MaqaaFMAyC122MaqaaFMAyC22qa（弯矩（弯矩M的实际方向与假设方向相同，为正弯矩）的实际方向与假设方向相同，为正弯矩）2022-5-2716222qaM 如以右侧梁作为研究对象，则：cMByScFaqF2qa222MaqaaFMByC22qa为了计算方便，通常取外力比较简单的一段梁作为研究对象。为了计算方便，通常取外力比较简单的一段梁作为研究对象。qBaCScFByF2022-5-2717q
9、AB212qaM 222qaM 4aaaCAyFByFaqFFAySc2qa取左段梁为研究对象取左段梁为研究对象:取右段梁为研究对象取右段梁为研究对象:ByScFaqF2qa)(一侧ySFF截面左侧（或右侧）梁上的所有外力截面左侧（或右侧）梁上的所有外力向截面形心简化所得到的主矢。向截面形心简化所得到的主矢。2022-5-2718)(一侧oMM截面左侧（或右侧）梁上的截面左侧（或右侧）梁上的所有外力（力和力偶）向截所有外力（力和力偶）向截面形心简化所得到的主矩。面形心简化所得到的主矩。122MaqaaFMAyC22qa222MaqaaFMByC22qaqAB212qaM 222qaM 4aaa
10、CAyFByF取左段梁为研究对象取左段梁为研究对象:取右段梁为研究对象取右段梁为研究对象:2022-5-2719例：求图示梁例：求图示梁1-1、2-2、3-3、4-4截面上的剪力截面上的剪力和弯矩。和弯矩。2022-5-27200BMRqaA540AMRqaB74451qaRFAsMRaqaA125442qaqaRFAsM23SFMRaqa aqaA32232434qaRqaFBs,Mqa42541sF4sF2sF3sF解：解：由由得得由由得得（FS4的实际方向与假设方的实际方向与假设方向相反，为负剪力）向相反，为负剪力）2022-5-2721小结(基本规律) （1）求指定截面上的内力时，既可
11、取梁的左段为脱离体，也可取右段为脱离体，两者计算结果一致（方向、转向相反）。一般取外力比较简单的一段进行分析。 （2）在解题时，一般在需要内力的截面上把内力（FS 、M）假设为正号。最后计算结果是正，则表示假设的内力方向（转向）是正确的，解得的FS、M即为正的剪力和弯矩。若计算结果为负，则表示该截面上的剪力和弯矩均是负的，其方向（转向）应与所假设的相反（但不必再把脱离体图上假设的内力方向改过来）。2022-5-2722 （3）梁内任一截面上的剪力FS的大小，等于这截面左边（或右边）所有与截面平行的各外力的代数和。 若考虑左段为脱离体时，在此段梁上所有向上的外力会使该截面上产生正号的剪力，而所有
12、向下的外力会使该截面上产生负号的剪力。 （4）梁内任一截面上的弯矩的大小，等于这截面左边（或右边）所有外力（包括力偶）对于这个截面形心的力矩的代数和。 niiniiSFFF11)()(2022-5-2723若考虑左段为脱离体时，在此段梁上所有向上的力使该截面上产生正号的弯矩，而所有向下的力会使该截面上产生负号的弯矩;在此段梁上所有顺时针转向的外力偶会使该截面上产生正号的弯矩，而所有逆时针转向的外力偶会使该截面上产生负号的弯矩。(5)集中力作用的截面上剪力有“跳跃”（突变），其跳跃的值就是这个集中力的大小；集中力偶作用的截面上弯矩有 “跳跃”，其跳跃的值就是这个集中力偶的大小niiniiniin
13、iiMMMMM1111)()()()(2022-5-2724 SF SFMll Mll SFSF2022-5-2725一一. 剪力和弯矩方程剪力和弯矩方程FS = FS（x） 剪力方程剪力方程M=M（x） 弯矩方程弯矩方程 二二. 剪力图、弯矩图剪力图、弯矩图以以 x 轴轴 表示表示横截面位置横截面位置，以，以纵坐标纵坐标表示表示相应截面相应截面上的上的 剪力剪力 Fs 、弯矩弯矩 M ，称为，称为剪力图、弯矩图剪力图、弯矩图。表示表示 Fs、M 沿沿梁轴线梁轴线变化情况。变化情况。4-4 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图在一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随
14、截面的位置而变化。在一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面的位置而变化。因此，剪力和弯矩均可表示为截面位置因此，剪力和弯矩均可表示为截面位置x的函数，即：的函数，即：2022-5-2726AyFABmKNM.801m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNEDFByF因此，必须分段列出梁的剪力方程和弯矩方程，各段的分界点为各段梁的控制截面。作内力图时，必须标明控制截面上的内力值。 所谓控制截面,即外力规律发生变化的截面集中力、集中力偶作用点、分布载荷的起点和终点处的横截面。控制截面控制截面的概念2022-5-2727RRqlAB2qxl qqxRxFAS2)(M xqlxqxx( ) 22R
15、ARBABlxq()0 xl qxlql22822)0(lx sFMq l2q l2q l28例：例：简支梁受均布荷载简支梁受均布荷载2022-5-2728RPblRPalAB,AC段：lbPRxFAs)()0 xaM xRxPblxA( ) ()0 xaCB段：laPRxFBS)()axlM xRlxPallxB( )()()()axlRARBPablxxACB2022-5-2729)()()()()()0()()0()(lxaxllaPxMlxalaPxFCBaxxlbPxMaxlbPxFSS段：PabxxACBlsFPbl/Pal/Pabl/M讨论：集中力讨论：集中力P作用点作用点C处：
16、处：PFFFscscs剪力剪力发生发生突变突变，突变量突变量为为 P)()()()()()0()()0()(lxaxllaPxMlxalaPxFCBaxxlbPxMaxlbPxFACSS段：段：)()()()()()0()()0()(lxaxllaPxMlxalaPxFaxxlbPxMaxlbPxFACSS段：)()()()()()0()()0()(lxaxllaPxMlxalaPxFCBaxxlbPxMaxlbPxFACSS段：段：AC段段:CB段段:2022-5-2730 xLMxRxMLMRxFaxAClMRRAAsBA)()()0(:11FSMlMlMalMbMAARBRBabC讨论讨
17、论: 集中力偶集中力偶 M 作用点作用点 C 处：处：MMMMcc)()()()()(:22xllMxlRxMLMRxFlxaCBBBsAC段：段：)0()(1axlMRxFAS)0()(1axxlMxRxMA)()(2lxalMRxFBS)()(lxaxllMCB段：段：2022-5-2731注意：注意：1、剪力、弯矩方程的适用范围，在集中力（包括支座反力）作 用处， 应为开区间，因在该处剪力图有突变；而在集中 力偶作用处，M(x)应为开区间，因在该处弯矩图有突变。)(xFS2、若所得方程为x的二次或二次以上方程时，则在作图时除计 算控制截面的值外，应注意曲线的凹凸向及其极值。2022-5-
18、2732例题 外伸简支梁受力如图所示。试列出梁的剪力方程和弯矩方程，作出梁的剪力图和弯矩图。ABqF=qaCa2a解：xy1、取参考坐标系Cxy。根据平衡条件求支座反力0AMqaFBy210BMqaFAy25AyFByF2022-5-27332、列出梁的剪力方程和弯矩方程、列出梁的剪力方程和弯矩方程yABqF=qaCa2axAyFByFqaxFS)(CA段段:)0 (axqaxxM)(x)()(axqFqaxFAySAB段段 :)3(axaqxqa25x)(25)(axqaqaxxM2)(21axq)3(axa)0 (ax2022-5-2734yABqF=qaCa2axAyFByF3、作梁的剪
19、力图和弯矩图、作梁的剪力图和弯矩图-qa图SF(-)qaaxFS23)(qaaxFS21)3(qa21qa23(-)(+)2qa(-)EaxE23)(25axaqaqadxdM0ax25281)25(qaaxM281qa(+)(xFSM图2022-5-2735PPSFMPllqlqMql22lSF2022-5-2736例例. 复合静定梁，试作剪力图和弯矩图。复合静定梁，试作剪力图和弯矩图。 特点特点:中间铰不能传递弯矩，中间铰不能传递弯矩，只能传递力的作用。求解时先只能传递力的作用。求解时先由中间铰处拆开，化为两个单由中间铰处拆开，化为两个单跨梁。跨梁。AD、DC和和CB三段剪力方程和弯矩三段
20、剪力方程和弯矩方程如下：方程如下：1. 支座反力支座反力a/2ACBqa/2aDxxxBAqccFCyFAyRC由由AC跨的平衡条件求得。跨的平衡条件求得。2)()(218383qxqaxMqxqaFxxSAD:)(81)4(2183812183)()(axqaaxqaqaxMqaqaqaFxxSDC:qaFAy83qaFcy812022-5-2737axqxqadxdM83, 083得22max1289)83(218383qaaqaqaMCB：2. 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图OFS3qa/3qa/8MO9qa2/128qa2/16qa2/83a/8a/2ACBqa/2aDxxxcBqcAF
21、CyFAy)2()(81)()(81)()2()(81)4(2183)(812183)()20(2183)(83)(2axaaxqaaxRxMqaRxQaxaaxqaaxqaqaxxMqaqaqaxQaxqxqaxxMqxqaxQCC:AD AD段的弯矩图为一条二段的弯矩图为一条二次抛物线，作图时须求出弯次抛物线，作图时须求出弯矩的极值和所在截面的位置，矩的极值和所在截面的位置，才能大致绘出其图形。才能大致绘出其图形。)(81)(81)()(axqaaxFMqaFFCyxCyxS2022-5-27384-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系一、载荷集度、剪力和弯矩的微分
22、关系一、载荷集度、剪力和弯矩的微分关系q x( )q x( )(xFS)(d)(xFxFSSM x( )M xM x( )( ) ddxx规定向上的规定向上的q(x)为正。为正。2022-5-2739q x( )(xFS)(d)(xFxFSSM x( )M xM x( )( ) d)(d)(dxqxxFS0)(21d)()()(d)(2dxxqxxFxMxMxMSxxqxFxFxFSSSd)()()(d)()(d)(dxFxxMS2022-5-2740)()(xqdxxdFS上式的物理意义：梁上任一横截面上的剪力对x的一阶导数，等于该截面处作用在梁上的分布载荷集度。上式的几何意义：任一横截面上
23、的分布荷载集度，就是剪力图上相关点处的斜率。)(xFSdxxdFS)()(xq)(xq)()(xFdxxdMS上式的物理意义：梁上任一横截面上的弯矩对x的一阶导数，等于该截面上的剪力。上式的几何意义：任一横截面处的剪力，就是弯矩图上相关点处的斜率。)(xMdxxdM)()(xFS)(xFS2022-5-2741)()(xqdxxdFS由此式知：剪力图曲线上一点处的斜率等于梁上相应点处的载荷集度q。ABqF=qaCa2a图SF2qa(-)-qa(-)qa21qa23(-)(+)E281qa(+)M-图2022-5-2742)()(xFdxxdMS由此式知：弯矩图曲线由此式知：弯矩图曲线上一点的斜
24、率等于梁上上一点的斜率等于梁上相应截面处的剪力相应截面处的剪力FS 。ABqF=qaCa2a图SF2qa(-)-qa(-)qa21qa23(-)(+)E281qa(+)M-图2022-5-2743)()(xFdxxdMS)()(xqdxxdFS)()(22xqdxxMd)(xM上式的物理意义：梁上任一横截面上的弯矩对x的二阶导数，等于同一截面处作用在梁上的分布载荷集度数学上：二阶导数可用来判定曲线的凹向，因此：上式的几何意义：可以根据对x的二阶导数的正、负来定出 图的凹向。)(xM)(xq22)(dxxMd)(xM2022-5-2744载荷集度载荷集度、剪力剪力和和弯矩弯矩的的微分关系微分关系
25、:)(d)(dxqxxFS)(d)(dxFxxMS)(d)(dd)(d22xqxxFxxMsq x ( )(xFs)(d)(xFxFssM x( )M xM x( )( )dDCxxFCxqdxxdFss)()()(DCxxFCxqdxxdFss)()()(2022-5-2745)(d)(dxqxxFsxxqxFsd)()(d21d)()(dxxBAsxxqxF21d)(xxAssBxxqFF二二. 载荷集度载荷集度、剪力剪力和和弯矩弯矩的的积分关系积分关系： 当当梁的某一段内载荷作用规律没梁的某一段内载荷作用规律没有变化时有变化时)(d)(dxFxxMsxxFxMsd)()(d21d)()(
26、dxxsBAxxFxM21d)(xxsABxxFMMsAqxxsBFxxqFAFd)(sA21AFAMAMd)(S21xxsBxxFMq x( )xx2x1AB2022-5-27464m4m4m3mABCDEM1P2Pq例：例：外伸梁，作外伸梁，作剪力图，弯矩图剪力图，弯矩图 已知：已知：kNmMmKNqKNPP101221，解：解：1. 求求支反力支反力ARBRkNRkNRBA572. 作作剪力图剪力图FskNqRFkNRFACAscAsA347:斜直线段73kNPqRFkNPqRFCDASDASC3814:11斜直线段13kNmMmKNqKNPP101221，。mkNMmKNqKNPP10
27、1221AC 段段 斜直线斜直线CD 段段 斜直线斜直线2022-5-2747Fs7313BD：水平直线水平直线kNFSB3BE：水平直线水平直线kNPFSB2223. 作作弯矩图弯矩图kNqRMMACACA202440:抛物线M2020.516 mqPRxPqxRxFCDAAS50:11抛物线xkNmPRMkNmqqxxRMADA16441885 .2021max4m4m4m3mABCDEM1P2PqARBRAC 段段 抛物线抛物线CD 段段 抛物线抛物线2022-5-2748M2020.51666xkNmMkNmMMMBDD632610160:EMBE斜直线4m4m4m3mABCDEM1P
28、2PqARBRFs73132DB 段段 斜直线斜直线BE 段段 斜直线斜直线2022-5-2749内力内力FS 、M 的变化规律的变化规律, ,归纳如下：归纳如下：载荷载荷图SF图M0)(xq0Cq0CqFoM水平直线水平直线+-oror上斜直线上斜直线上凸上凸抛物线抛物线下凸下凸抛物线抛物线下斜直线下斜直线F(剪力图剪力图无突变无突变)F处有尖角处有尖角oM斜直线斜直线2022-5-27501当梁上某段当梁上某段q=0时，该段剪力为常数，故剪力图为水平直线。时，该段剪力为常数，故剪力图为水平直线。相应的弯矩为相应的弯矩为x的一次函数，弯矩图为斜直线。当的一次函数，弯矩图为斜直线。当FS0时，
29、弯时，弯矩图为上升斜直线；矩图为上升斜直线；FS0时，弯矩图为下降斜直线。时，弯矩图为下降斜直线。2当梁上某段当梁上某段q=常数常数时，该段剪力为时，该段剪力为x的一次函数，剪力图为斜的一次函数，剪力图为斜直线。相应的弯矩为直线。相应的弯矩为x的二次函数，弯矩图为二次抛物线。的二次函数，弯矩图为二次抛物线。若若q0，则则FS图为上升斜直线，图为上升斜直线，M图为凹口向上的曲线（凹弧）；图为凹口向上的曲线（凹弧）；若若q0，则则FS图为下降斜直线，图为下降斜直线，M图为凹口向下的曲线（凸图为凹口向下的曲线（凸弧弧）。）。 3在在集中力集中力作用处（包括支承处），剪力图将发生突变，其作用处（包括支
30、承处），剪力图将发生突变，其突变值等于该处集中力之大小。突变值等于该处集中力之大小。当集中力向上时，剪力图向上当集中力向上时，剪力图向上突变突变（沿（沿x正向），正向），反之，向下突变；反之，向下突变；而弯矩图将因该处两侧而弯矩图将因该处两侧斜率不等出现拐点。斜率不等出现拐点。 在在集中力偶集中力偶作用处，弯矩图将发生突变，突变值等于集中作用处，弯矩图将发生突变，突变值等于集中力偶矩的大小。力偶矩的大小。当集中力偶为顺时针方向作用时，弯矩图向上突当集中力偶为顺时针方向作用时，弯矩图向上突变变（沿（沿x正向），正向），反之则向下突变，反之则向下突变，但剪力图在该处无变化。但剪力图在该处无变化。
31、2022-5-2751l2l2qSFMql21638qlql838qlql891282ql2022-5-2752aqQMqPqaaaqa2qaqa22/qa22/qaqaqa作剪力图，从左往右，作剪力图，从左往右， 向上的外力向上画向上的外力向上画 向下的外力向下画向下的外力向下画 分布载荷斜着画分布载荷斜着画 没有外力水平画没有外力水平画 集中力偶不管它集中力偶不管它SF2022-5-2753QMabmllmlmlmamllbmSF2022-5-2754QMamPaaaPPPPaSF2022-5-2755SFMamPaaPPPPa2022-5-2756qa3qa2qa22qa22qa22qa
32、q2qaa2aaSFMqa5qaACBD2022-5-2757qa22/qaaMqqa / 2qa / 2qaqa / 2qa / 2qa22/qa28/SF2022-5-2758qa22/qaaMaqaqaqaqaqaqa22/qa22/SF2022-5-2759qaaM2qa74qa54qa74qa34qa54qa /542qa/SF2022-5-2760qa2aaMqa74qa /34qa34qa /qaqa22/342qa /qa24/SF2022-5-2761QMqqaa3qa2qaqa2qaqa2qaqa322qa /sF2022-5-2762qaaMqaqaqa22/SF2022
33、-5-2763qaaMqa22qqaqaqa22/qa22qa22qa24SF2022-5-2764 画内力图小结画内力图小结作剪力图，从左往右，作剪力图，从左往右， 向上的外力向上画向上的外力向上画 向下的外力向下画向下的外力向下画 分布载荷斜着画分布载荷斜着画 没有外力水平画没有外力水平画 集中力偶不管它集中力偶不管它作弯矩图，从左往右，作弯矩图，从左往右， 梁左端没有集中力偶，弯矩为零；梁左端没有集中力偶，弯矩为零； 有集中力偶时，有集中力偶时，顺时针向上画顺时针向上画，逆时针向下画逆时针向下画。 剪力为正，向上斜着画；剪力为正，向上斜着画；剪力为负，向下斜着画剪力为负，向下斜着画。 分
34、布载荷向下，曲线向上凸；分布载荷向下，曲线向上凸； 分布载荷向上，曲线向下凸。分布载荷向上，曲线向下凸。 控制点数据，逐点加两点间剪力图面积。控制点数据，逐点加两点间剪力图面积。2022-5-2765一一. 刚架的内力图刚架的内力图 刚架的组成刚架的组成 横梁横梁、立柱立柱与与刚节点刚节点立柱立柱刚节点刚节点横梁横梁4-6 平面刚架（折杆）内力图平面刚架（折杆）内力图 平面刚架平面刚架是由在是由在同一平面同一平面内，内，不同不同取向取向的的杆件杆件，通过，通过杆端杆端相互相互刚性连结刚性连结而组成的而组成的结构结构.F1alF2ABCB当杆件变形时，两杆连接处保持刚性，即角度（一般为直角）保持
35、不变。2022-5-2766节点处的平衡关系：节点处的平衡关系： 当节点处没有集中外力作用时当节点处没有集中外力作用时, ,由节点平衡可知：由节点平衡可知： FNFSFSFNFNFSFNFSMMMM在平面载荷作用下，组成刚架的杆件横截面上一般存在轴力、剪力和弯矩三个内力分量。2022-5-2767 刚架内力图的画法刚架内力图的画法1. 1. 无需建立坐标系；无需建立坐标系；2. 2. 控制面数据根据平衡微分方程计算；控制面数据根据平衡微分方程计算；3. 弯矩图画在受压边，（弯矩图画在受压边，（结构力学结构力学规定画在规定画在受拉边受拉边） 轴力，剪力画在里侧和外侧均可，但需标出正负号；轴力，剪
36、力画在里侧和外侧均可，但需标出正负号；4. 注意刚节点处的平衡关系。注意刚节点处的平衡关系。5. 当刚节点处无集中力偶作用时，当刚节点处无集中力偶作用时， 刚节点两侧刚节点两侧的的弯矩弯矩 大小相等大小相等，弯矩图弯矩图画在同侧画在同侧。2022-5-2768例：作图示刚架的轴力图、剪力图、弯矩图。例：作图示刚架的轴力图、剪力图、弯矩图。qaa2a2qaABC2022-5-2769qaa2a2qa2qa2qaN图Q图2qa2qaM图22qa22qasFNFBAC2022-5-2770qaaaqa例：作图示刚架的轴力图、剪力图、弯矩图。例：作图示刚架的轴力图、剪力图、弯矩图。BACD2022-5
37、-2771CL7TU18qaaaqa2qaqa22N图Q图M图2qaqaqaq a2qa22/qa22sFqa22/qa22q a2NFBADC2022-5-2772例：作图示刚架的弯矩图。例：作图示刚架的弯矩图。qa2aaqaqaqa4qa4M图qa22qa22qa22qa22BAC2022-5-2773例：作图示刚架的弯矩图。例：作图示刚架的弯矩图。PaaPPPM图PaPaBAC2022-5-2774qaaqa2qa2qaM图qa22qa22例：作图示刚架的弯矩图。例：作图示刚架的弯矩图。BAC2022-5-2775例例:绘刚架内力图绘刚架内力图解解：一）求支反力：一）求支反力：q=1kN
38、/mAB8kN1kNCDE4m1m2m3mRAXRAYRB:0AMkNRB53118241:0 xF:0yFkNRAy3kNRRqAxAx301408 BAyRR2022-5-2776二）分析内力：二）分析内力：1）BC杆杆：（：（0 x1 3）kNxFS1)(18kNq=1kN/mABCDE4m1m2m3mRAXRB1kN)(1xFS)(1xMFN1kNRB5F1N2）DC杆杆：（：（0 x2 3）分段列出）分段列出EC段段（0 x2 2）3531)(5)(1F22222NxxRxMkNRxFkNBBS2NF)(2xFS)(2xMx211)(xxM1kNRBx1B2022-5-2777q=1
39、kN/mAB8kN1kNCDE4m1m2m3mRAXRAYRBDE段：（段：（3 x2 2）X21F2Nx33NF)(3xFSkNRAy3F3N3）AD段：（段：（0 x3 4）13331)2(8)(2222xxxRxMBkNRxFBS38)(2 233233221321)(xxqxxRxMAx333331)3()(xxqxRxFAxS)(3xM2022-5-2778三、作内力图三、作内力图1）轴力图）轴力图q=1kN/mAB8kN1kNCDE4m1m2m3mRAXRAYRBkNADkNDCkNBC3F:1F:5F:3N2N1N杆杆杆ABDEC3kN1kN5kN2022-5-2779q=1kN
40、/mAB8kN1kNCDE4m1m2m3mRAXRAYRBABDEC2）剪力图）剪力图:用简易法：取控制点用简易法：取控制点1kNBC杆：杆：取一点（水平线）取一点（水平线）DC杆：杆：取两点（水平线）取两点（水平线）5kN3kNDA杆：杆：取两点（斜直线）取两点（斜直线）1kN3kN2022-5-2780q=1kN/mAB8kN1kNCDE4m1m2m3mRAXRAYRB3）弯矩图：）弯矩图： 用简易法：取控制点用简易法：取控制点BC杆：取两点（斜直线）杆：取两点（斜直线）DC杆：取两点（斜直线）杆：取两点（斜直线）DA杆：取三点（抛物线）杆：取三点（抛物线）ABDEC0kN3kNm3kNm
41、7kNm4kNm4.5kNm3m4kNmABDEC1kN5kN3kN1kN3kN2022-5-2781ABDEC1kN5kN3kN1kN3kNABDECABDEC0kN3kNm3kNm4.5kNm7kNm4kNm3m5kN1kN3kN2022-5-2782二二. 平面曲杆平面曲杆轴力轴力 ：引起：引起拉伸拉伸的的轴力轴力为为正正；弯矩：弯矩：使曲杆的使曲杆的曲率增加曲率增加（即（即外侧受拉外侧受拉）的弯矩为）的弯矩为正正。剪力：对剪力：对所考虑的一端所考虑的一端曲杆内一点曲杆内一点取矩取矩产生产生顺时针顺时针 转动转动趋势的趋势的剪力剪力为为正正；平面曲杆平面曲杆：轴线轴线为一为一平面曲线平面
42、曲线的杆件。的杆件。 内力情况内力情况及及绘制方法绘制方法与与平面刚架平面刚架相同。相同。2. 内力符号内力符号的确定的确定2022-5-2783例：图示曲杆，其轴线为圆形，写出其轴例：图示曲杆，其轴线为圆形，写出其轴力、剪力和弯矩方程式，并作弯矩图。力、剪力和弯矩方程式，并作弯矩图。RPP2022-5-2784解：解：cos)(PFNsin)(PFSMPR( )(cos ) 12PRRRPPPM图2022-5-2785FOR cosFFS sinNFF sinFRM 0sin0N FFFn0cos0S FFFt0sin0 FRMmCFtnC FNFS O+MFR2022-5-2786 mmx
43、OFRAB)(0 )cos1()cos()( FRRRFFxM)(0 sin)(1S FFF)(0 cos)(2N FFF2022-5-2787O+FS图图ABOM图图2PROFN图图PP+xOFR mmAB)(0 )cos1()cos()( FRRRFFxM)(0 sin)s(1 FFF)(0 cos)(2N FFF2022-5-2788关于内力图的进一步讨论关于内力图的进一步讨论2022-5-2789例1：图示是一简支梁的剪力图与弯矩图，试根据此图求出与其相应的荷载图。2m2m20kN20kN20kN20kNm1020203020kNq20knmqmkNm 2020kNmkNm 202022-5-2790例2：图示是一梁的剪力图，假设无集中力偶作用，试根据此图求出与其相应的荷载图和弯矩图。1m 1m2m2mFS50kN5050mkNq25qkN5010050MkNm5050
