第十三讲 振动与波动大物

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1、6 6 阻尼振动阻尼振动( (简介简介) )阻尼阻尼(damp)(damp)：消耗振动系统能量的原因。消耗振动系统能量的原因。 阻尼种类：阻尼种类： 摩擦阻尼摩擦阻尼辐射阻尼辐射阻尼一、阻尼振动的振动方程和表达式一、阻尼振动的振动方程和表达式1.1.阻力阻力dxdt ， f阻阻 = - = - 对在流体对在流体( (液体、气体液体、气体) )中运动的物体，当物中运动的物体，当物 体速度较小时，体速度较小时，阻力阻力 速度。速度。 ：阻力系数阻力系数2.2.振动方程振动方程讨论：在阻力作用下的弹簧振子讨论：在阻力作用下的弹簧振子受力：弹性恢复力受力：弹性恢复力 -kxdxdt - 阻力阻力dxd

2、t - d2xdt2 m=- kx振动方程振动方程 引入引入阻尼系数阻尼系数 = /2m固有频率固有频率 0 = (k/m)1/2得得阻尼振动阻尼振动(damped vibration)的振动方程的振动方程d2xdt2 = 0+ 02x+ 2 dxdt 此方程的解应分三种情形讨论：此方程的解应分三种情形讨论： 2 02 称作称作过阻尼过阻尼(overdamping) 2 = 02 称作称作临界阻尼临界阻尼(critical damping )3.3.振动表达式振动表达式 在欠阻尼情形下，上述微分方程的解即欠在欠阻尼情形下，上述微分方程的解即欠阻尼下的阻尼下的阻尼振动的振动表达式阻尼振动的振动表

3、达式，为为x(t) = A0e- tcos( t + )其中其中 = ( 02 - 2)1/2 (欠阻尼下欠阻尼下) xt o A0e- t阻尼振动的振动曲线阻尼振动的振动曲线 4.振动曲线振动曲线二二. .阻尼振动的特点阻尼振动的特点 (欠阻尼下欠阻尼下) 1.振幅特点振幅特点振幅：振幅：A(t) = A0e- t振动能量：振动能量：E(t) = E0e-2 t2.2.周期特点周期特点位移相继两次达到正向极大值的时间间隔位移相继两次达到正向极大值的时间间隔T =2 =2 ( 02 - 2)1/2T0 (固有周期固有周期)三、三种阻尼下的振动曲线三、三种阻尼下的振动曲线to过阻尼过阻尼欠阻尼欠

4、阻尼临界阻尼临界阻尼 三种阻尼三种阻尼 和过阻尼情形相比，临界阻尼和过阻尼情形相比，临界阻尼情形下，物体回到平衡位置并情形下，物体回到平衡位置并停在那里，所需时间最短。停在那里，所需时间最短。7 7 受迫振动与共振（简介）受迫振动与共振（简介） 一、受迫振动一、受迫振动受迫振动受迫振动(forced vibration)：振动系统在周振动系统在周 期性期性驱动力驱动力作用下的振动作用下的振动。 1.1.系统受力：系统受力：以弹簧振子为例，以弹簧振子为例， 弹性力弹性力 -kx阻尼力阻尼力 dt- ( )dx周期性驱动力周期性驱动力 f = F0 cos t 2.振动方程：振动方程：由牛顿定律有

5、由牛顿定律有- ( )m = -kx + f dxdtd2xdt 2+2 + 02x = hcos td2xdt 2dx dt 0 = ( )1/2km其中其中 是固有角频率是固有角频率 ； = 2mF0h =mx =Acos( t+ ) 3.稳态解：稳态解： 4.4.特点：特点： 稳态时的受迫振动是简谐振动稳态时的受迫振动是简谐振动(但它不但它不是无是无阻尼自由谐振动，请注意两者的区别阻尼自由谐振动，请注意两者的区别)。 (1)角频率角频率：等于驱动力的：等于驱动力的角角频率频率 (2)振幅振幅：系统作：系统作等幅振动等幅振动(虽有阻力消耗能虽有阻力消耗能 量，但同时有驱动力作功对系统输入能

6、量，量，但同时有驱动力作功对系统输入能量，系统仍可维持等幅振动系统仍可维持等幅振动)。 其振幅其振幅由系统参数由系统参数( 0)、阻尼阻尼( )、驱动力驱动力 (F0, )共同决定。共同决定。A =h( 02- 2)2+4 2 21/2A的大小敏感于的大小敏感于 和和 0的相对大小关系，而的相对大小关系，而 和初始条件和初始条件(x0、 0)无关。无关。tg =-2 02- 2(3)初相初相：亦决定于：亦决定于 0、 、和、和 ，与初始条件，与初始条件 无关。无关。 值在值在- 0之间之间。可见，位移可见，位移x落后于落后于 驱动力驱动力f 的变化的变化( f的初相为零的初相为零)。 二、共振

7、二、共振(resonance)： 位移共振位移共振(displacement resonance) 速度共振速度共振(velocity resonance)1.位移共振位移共振位移共振位移共振：当驱动力的角频率当驱动力的角频率 等于某个等于某个 适当数值适当数值(称共振角频率称共振角频率)时，振幅出现极大时，振幅出现极大 值、振动很剧烈的现象。值、振动很剧烈的现象。 (1)共振角频率共振角频率： r= ( 02-2 2)1/2Ar =h2 ( 02- 2)1/2 (2)共振振幅共振振幅： 若阻尼很小，若阻尼很小， 2 02，则则 r 0 ， 2Ar h称称尖锐共振尖锐共振 2.速度共振速度共振

8、速度共振速度共振：当驱动力的角频率正好等于系统当驱动力的角频率正好等于系统 的固有角频率时，速度幅的固有角频率时，速度幅 A达极大值的现达极大值的现 象。象。 (1)共振角频率共振角频率： r= 0Vmr =h2 (2)共振时共振时速度速度的的幅幅值：值：(3)共振时速度的共振时速度的初相初相： r = 0即速度共振时，速度与驱即速度共振时，速度与驱动力同相，一周动力同相，一周力总作正功，此时向系统力总作正功，此时向系统输入的能量最大。输入的能量最大。 期内驱动期内驱动 (庙里的大钟不敲自响的故事庙里的大钟不敲自响的故事)。 故事：从前有一座山，山里有座庙，故事：从前有一座山，山里有座庙，演示

9、：演示： 音叉共振音叉共振 1940年华盛顿的塔科曼大桥年华盛顿的塔科曼大桥建成建成同年同年7月的一场大风引起桥月的一场大风引起桥的的共振使桥摧毁共振使桥摧毁 小号发出的声波足以使酒杯破小号发出的声波足以使酒杯破碎碎 据说，据说，160多年前，不可一世的拿破仑率领法国军队多年前，不可一世的拿破仑率领法国军队入侵西班牙时，部队行军经过一座铁链悬桥，随着军官入侵西班牙时，部队行军经过一座铁链悬桥，随着军官雄壮的口令，队伍跨着整齐的步伐趋向对岸。正在这时，雄壮的口令，队伍跨着整齐的步伐趋向对岸。正在这时，轰隆一声巨响，大桥坍塌，士兵、军官纷纷坠水。几十轰隆一声巨响，大桥坍塌，士兵、军官纷纷坠水。几十