大学物理讲义04机械振动

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1、首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出1tx第四章第四章 机械振动机械振动4-1 4-1 简谐振动的动力学特征简谐振动的动力学特征4-2 4-2 谐振动的运动学谐振动的运动学4-3 4-3 简谐振动的能量简谐振动的能量4-4 4-4 简谐振动的合成简谐振动的合成4-5 4-5 阻尼振动阻尼振动 受迫振动共振受迫振动共振4-6 4-6 非线性振动简介非线性振动简介首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出2 1、什么是振动：、什么是振动： 物体在一固定位置附近作来回的往复运动，称为机械振动。物体在一固定位置附近作来回的往复运动，称为机械振动。 广义地，凡是描述物质运动状态的广义地，凡是描

2、述物质运动状态的物理量物理量，在某一固定，在某一固定 值附近作周期性变化，都可称该物理量作振动。值附近作周期性变化，都可称该物理量作振动。一、振动的概念一、振动的概念 任何一个具有质量和弹性的系统在其运动状态发生突变时任何一个具有质量和弹性的系统在其运动状态发生突变时, 都会发生振动。都会发生振动。物体在发生摇摆、颠簸、打击、发声之处均有振动。物体在发生摇摆、颠簸、打击、发声之处均有振动。物质的运动具有粒子和波动两种图象。物质的运动具有粒子和波动两种图象。天体的、宏观的机械运动，及分子的热运动呈粒子性；天体的、宏观的机械运动，及分子的热运动呈粒子性；微观领域内，无论场和实物都呈波、粒二象性。微

3、观领域内，无论场和实物都呈波、粒二象性。4-1 4-1 简谐振动的动力学特征简谐振动的动力学特征首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出32、振动的特征、振动的特征3、振动中最简单最基本的是简谐振动、振动中最简单最基本的是简谐振动。任何一个振动都可看成若干不同频率的简谐振动的合成。任何一个振动都可看成若干不同频率的简谐振动的合成。(在时间上）具有某种重复性。在时间上）具有某种重复性。首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出4二、几个谐振动的实例二、几个谐振动的实例、弹簧振子、弹簧振子1）定义：）定义：构成：轻质弹簧一端固定其另一端构成：轻质弹簧一端固定其另一端 与刚体联结。与刚体联结。

4、条件：位移限定在弹性限度内，不条件：位移限定在弹性限度内，不计弹簧内部摩擦。计弹簧内部摩擦。2）无阻尼时的自由振动）无阻尼时的自由振动阻尼：阻尼： 干摩擦、湿摩擦（介质阻力）、辐射干摩擦、湿摩擦（介质阻力）、辐射 自由振动：指系统只受外界一次性扰动，而后的运动自由振动：指系统只受外界一次性扰动，而后的运动 只在系统内部恢复力作用下运动。只在系统内部恢复力作用下运动。（1）平衡位置与坐标原点：）平衡位置与坐标原点：平衡位置：是系统处于稳定平稳的位置，并选该点为平衡位置：是系统处于稳定平稳的位置，并选该点为坐标原点（对水平面上的弹簧振子，则是其自由伸长处）。坐标原点（对水平面上的弹簧振子，则是其自

5、由伸长处）。X0 xFK首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出5（3 3）惯性的作用）惯性的作用 整个系统是在内部线性恢复力和惯性的交互作用下来实现振整个系统是在内部线性恢复力和惯性的交互作用下来实现振 动的。动的。 恢复力与位移正比而反恢复力与位移正比而反向（线性回复力），即向（线性回复力），即 （2 2） 弹性恢复力的特点：弹性恢复力的特点：此处位移特指系统偏离平衡位置的位移此处位移特指系统偏离平衡位置的位移。F= -kx X0 xFK首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出63 3）弹簧振子的运动微分方程）弹簧振子的运动微分方程mk2令0222xdtxd则得kxdtxdm22由

6、牛顿定律：由牛顿定律：以振子为对象以振子为对象)cos(0tAx解微分方程得：解微分方程得：首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出72）无阻尼时的自由振动）无阻尼时的自由振动（1）平衡位置与坐标原点：）平衡位置与坐标原点： 铅直位置为角平衡位置，铅直位置为角平衡位置，o为角坐标为角坐标原点。原点。（2）恢复力矩的特点：）恢复力矩的特点： 重力对过悬点重力对过悬点0/的水平轴的力矩为：的水平轴的力矩为：sinmglM 负号表示力矩方向始终与角位移方负号表示力矩方向始终与角位移方向相反。向相反。1 1）定义）定义)5的摆动(在竖直平面内作小角度在重力作用下,:条件轻绳与质点固联一端固定的不可

7、伸长的:构成o、单摆、单摆/o0lgmT/o0首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出8根据麦克劳林展开根据麦克劳林展开 53! 51! 31sin略去高阶无穷小后略去高阶无穷小后mglM（3）惯性的作用）惯性的作用:即恢复力矩与角位移正比而反向。即恢复力矩与角位移正比而反向。 （角位移指偏离平衡位置的角位移）（角位移指偏离平衡位置的角位移）此处的惯性指摆球对过此处的惯性指摆球对过0/的水平轴的转动惯量的水平轴的转动惯量 Iml2首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出93）单摆的运动微分方程）单摆的运动微分方程由定轴转动的转动定律：由定轴转动的转动定律：mgldtdml222 令 2

8、gl 0222dtd则得方程的解为方程的解为00costIM 首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出102）同单摆一样分析可得复摆运动微分方程）同单摆一样分析可得复摆运动微分方程、复、复 摆摆Imgh2令令0222dtd则得则得sinmghMmghM式中式中h指质心到悬点的距离指质心到悬点的距离mghdtdI22由定轴转动的转动定律：由定轴转动的转动定律：方程的解为方程的解为00cost chmg1)定义定义同单摆条件： 轴转动构成：刚体绕水平光滑首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出11 三、简谐振动的特征和谐振动的定义三、简谐振动的特征和谐振动的定义1、谐振动特征、谐振动特征动

9、力学特征：动力学特征：0222xdtxd其谐振动的微分方程：其谐振动的微分方程：运动学特征：运动学特征：谐振动的运动学方程谐振动的运动学方程)cos(0tAxxtAdtdvatAdtdxv2020)cos()sin(式中式中A A、 是由初始条件所决定的两个积分常数是由初始条件所决定的两个积分常数 0振动系统所受的力是线性回复力（弹性力和准弹性力）振动系统所受的力是线性回复力（弹性力和准弹性力） Fb-ax物体振动时，它离开平衡位置的位移是时间的余弦函数物体振动时，它离开平衡位置的位移是时间的余弦函数首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出122、谐振动的定义：、谐振动的定义： 谐振子的定

10、义：谐振子的定义：0222dtd的系统，即为谐振子系统。的系统，即为谐振子系统。 谐振动定义：谐振动定义： 一个描述其一个描述其“惯性惯性”的物理量可视为常数的系统的物理量可视为常数的系统,在其稳在其稳定平衡位置附近作微小的自由振动时定平衡位置附近作微小的自由振动时,只受到内部线性恢复力只受到内部线性恢复力的作用，且系统的运动微分方程能满足二阶齐次、线性常系的作用，且系统的运动微分方程能满足二阶齐次、线性常系数微分方程，即能满足数微分方程，即能满足 （1 1） 狭义：谐振子系统在无阻尼情况下的自由振动。狭义：谐振子系统在无阻尼情况下的自由振动。首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出13

11、（2 2） 广义：若一系统的运动微分方程能满足二阶齐次、广义：若一系统的运动微分方程能满足二阶齐次、 线性、常系数条件，即能满足线性、常系数条件，即能满足0222dtd的系统，其所做的运动就是谐振动。的系统，其所做的运动就是谐振动。 或物体运动时，它离开平衡位置的位移是时间的余或物体运动时，它离开平衡位置的位移是时间的余弦函数，即满足弦函数，即满足)cos(0tAx其所做的运动就是谐振动。其所做的运动就是谐振动。首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出14 例例10-1 弹簧下面悬挂物体，不计弹簧弹簧下面悬挂物体，不计弹簧重量和阻力，试证其在平衡位置附近的重量和阻力，试证其在平衡位置附近的