第四章 刚体的定轴转动

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1、第第4章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的定轴转动一、刚体的基本运动一、刚体的基本运动平动：平动：刚体：刚体：说明：说明：刚体的平动：用质点的运动处理。刚体的平动：用质点的运动处理。定轴定轴 转动：转动：转动：转动：一般刚体的运动：一般刚体的运动：二、刚体转动的角速度、角加速度二、刚体转动的角速度、角加速度线速度与角速度之间的关系：线速度与角速度之间的关系：由右手螺旋法则确定：由右手螺旋法则确定：右手弯曲的四指沿转动方向，伸直的大拇指右手弯曲的四指沿转动方向，伸直的大拇指即为角速度即为角速度 的方向。的方向。 注意：注意：在刚体作匀加速转动在刚体作匀加速转动时，相应公式如下：

2、时，相应公式如下：2 212020200ttt刚体运动学中所用刚体运动学中所用的角量关系及角量的角量关系及角量和线量的关系如左和线量的关系如左222 rararvdtddtddtdnt角加速度矢量：角加速度矢量：图为以角速度图为以角速度 绕定轴绕定轴ozoz转转动的一根均匀细棒。动的一根均匀细棒。当细棒以当细棒以 转动时，第转动时，第i i个质点绕轴的半径为个质点绕轴的半径为ir它相对于它相对于o o点的位矢为点的位矢为iRziRLimiLizLOir一、一、 刚体的角动量刚体的角动量5-25-2刚体的角动量刚体的角动量 转动动能转动动能 转动惯量转动惯量把细棒分成许多质点，其中把细棒分成许多

3、质点，其中第第i i个质点的质量为个质点的质量为 im把细棒分成许多质点，其中把细棒分成许多质点，其中第第i i个质点的质量为个质点的质量为 imiiiivmRL因因iiRv，所以，所以 的大小为的大小为iLiiiivRmL方向如图所示。方向如图所示。则则 对对o o点的角动量为：点的角动量为：imziRLimiLizLOir从图中可以看出：从图中可以看出：cosiizLL因此因此2coscosiiiiiiiiizrmvrmvRmLL 而这个分量而这个分量L Lz z实际上就是各质点的角动量沿实际上就是各质点的角动量沿OZOZ轴的分轴的分量量L Liz iz之和。之和。对于定轴转动，我们感兴趣

4、的只是对于定轴转动，我们感兴趣的只是L L对沿对沿OZOZ轴的分量轴的分量L LZ Z，叫，叫做刚体绕定轴转动的角动量。做刚体绕定轴转动的角动量。刚体对刚体对OO点的角动量，等于各个质点角动量的矢量和。点的角动量，等于各个质点角动量的矢量和。ziRLimiLizLOir刚体转动惯量：刚体转动惯量：2iirmJ刚体绕定轴的角动量表达式：刚体绕定轴的角动量表达式：JLz 式中式中 叫做刚体对叫做刚体对 轴的转动惯量，用轴的转动惯量，用J J表示。表示。2iirmOz2coscosiiiiiiiiizrmvrmvRmLL221iikivmE 则该质点的动能为：则该质点的动能为： 刚体的转动动能应该是

5、组成刚体的各个质点的动能之和。刚体的转动动能应该是组成刚体的各个质点的动能之和。设刚体中第设刚体中第i i个质点的质量为个质点的质量为 , ,速度为速度为imiv 刚体做定轴转动时，各质点的角速度刚体做定轴转动时，各质点的角速度 相同。相同。设质点设质点 离轴的垂直距离为离轴的垂直距离为 ，则它的线速度，则它的线速度imir二、二、 刚体的转动动能刚体的转动动能iirv221 JEk 上式中的动能是刚体因转动而具有的动能，因此叫刚体的上式中的动能是刚体因转动而具有的动能，因此叫刚体的转动动能。转动动能。 式中式中 是刚体对转轴的转动惯量是刚体对转轴的转动惯量 ，所以上式写为，所以上式写为2ii

6、rmJ因此整个刚体的动能因此整个刚体的动能 2222121 iiiikikrmvmEEiirvmrJd2dm质元的质量质元的质量r质元到转轴的距离质元到转轴的距离 刚体的质量可认为是连续分布的，所以上式可刚体的质量可认为是连续分布的，所以上式可 写成积分形式写成积分形式按转动惯量的定义有按转动惯量的定义有iimrJ2三、三、 转动惯量的计算转动惯量的计算转动惯量是转动中惯性大小的量度。转动惯量是转动中惯性大小的量度。质量是平动中惯性大小的量度。质量是平动中惯性大小的量度。区别：区别：平动：平动： 平动动能平动动能 221mv线动量线动量mv转动：转动： 转动动能转动动能 221J角动量角动量J

7、例题例题 求质量为求质量为mm、长为、长为 l l 的均匀细棒对下面三种转轴的转动的均匀细棒对下面三种转轴的转动惯量：惯量：（1 1）转轴通过棒的中心并和棒垂直；）转轴通过棒的中心并和棒垂直；（2 2）转轴通过棒的一端并和棒垂直）转轴通过棒的一端并和棒垂直；（3 3）转轴通过棒上距中心为转轴通过棒上距中心为h h的一点并和棒垂直。的一点并和棒垂直。llOxdxlOxdxAlxdxAABhllOxdxlOxdxAlxdxAABh解解 如图所示，在棒上离轴如图所示，在棒上离轴x x 处，取一长度元处，取一长度元d dx x，如棒的质量，如棒的质量线密度为线密度为 ，这长度元的质量为，这长度元的质量

8、为d dmm= d dx x。 （1 1）当转轴通过中心并和棒垂直时，我们有）当转轴通过中心并和棒垂直时，我们有1232/2/220lxxmrJlldd20121mlJ 因因 l=ml=m，代入得，代入得（2 2）当转轴通过棒的一端）当转轴通过棒的一端A A并和棒垂直时，我们有并和棒垂直时，我们有332302mlldxxJlAlxdxA（3 3）当转轴通过棒上距中心为）当转轴通过棒上距中心为h h 的的B B点并和棒垂直时，有点并和棒垂直时，有222/2/212mhmldxxJhlhlB这个例题表明，同一刚体对不同位置的转轴，转动惯量并这个例题表明，同一刚体对不同位置的转轴，转动惯量并不相同。

9、不相同。lOxdxABh例题例题 求圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的转动惯量。求圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的转动惯量。设圆盘的半径为设圆盘的半径为R R，质量为，质量为mm，密度均匀。，密度均匀。rRdr解解 设圆盘的质量面密度为设圆盘的质量面密度为 ，在圆盘上取一半径为，在圆盘上取一半径为r r、宽度为、宽度为drdr的圆环（如图），环的面积为的圆环（如图），环的面积为2 2 rdrrdr，环的质量，环的质量dm= dm= 2 2 rdr rdr 。可得：可得：240322122mRRdrrdmrJR 四、平行轴定理四、平行轴定理以质心以质心drrMNdOr rOdmCxyzmd

10、mrJ2mdmdr2)(mmmdmdrdmddmr222mCdmrdmdJ22mmdmj yi xmdmrm)(1102mdJJC-平行轴定理平行轴定理jydmmixdmmmm11MNdOr rOdmCxyz平行轴定理平行轴定理JmCJdC2mdJJC 例：例：如图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？如何计算？( (棒长为棒长为l l、圆半径为圆半径为R R）2lllm31J1 2ooRm21J 200ldmJJ2 2o2o2lR)(lmRm21lm31J 例：例：再以绕长为再以绕长为 l l、质量为、质量为 m m 的匀质细杆，绕

11、细杆一端轴转的匀质细杆，绕细杆一端轴转动为例，利用平行轴定理计算转动惯量动为例，利用平行轴定理计算转动惯量 I I 。解：解：2121mlJC 222lmml121J 2ml31 一、力矩一、力矩1) 1) 力对固定点的矩力对固定点的矩FrM 这种情况相当于质点绕固定点这种情况相当于质点绕固定点OO转动的情形。转动的情形。2) 2) 力对固定轴的矩力对固定轴的矩（1 1）力垂直于转轴）力垂直于转轴OPdrrFM5-3 5-3 力矩力矩 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律（2 2）力与转轴不垂直）力与转轴不垂直FF转轴转轴o rzF转动平面转动平面 可以把力分解为平行于转轴可以把力分解为平行于转轴