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1、第三章 连续信号的正交分解1 信号分解 将复杂信号分解成组成该信号的简单的单元函将复杂信号分解成组成该信号的简单的单元函数，先求得这些信号分量的系统响应，再利用数，先求得这些信号分量的系统响应，再利用叠加原理求得总响应。叠加原理求得总响应。 单元函数选择 冲激函数、阶跃函数冲激函数、阶跃函数 正交函数集：三角函数集、指数函数集正交函数集：三角函数集、指数函数集 信号域变换 时域时域频域频域 时域时域复频域复频域从本章开始由从本章开始由时域转入变换域时域转入变换域分析。分析。时域时域频域频域第三章 连续信号的正交分解23.2.1 矢量的正交分矢量的正交分解解oV2V1902. 矢量的正交分解矢量
2、的正交分解oVc2V2c1V1V1V2212211VcVcV222222111111coscosVVVVVVcVVVVVVc1. 正交矢量正交矢量21,ccV 第三章 连续信号的正交分解3oVc3V3c1V1V1V3V2c2V2332211VcVcVcV在三维空间中，在三维空间中， 构成完备的正交矢量集构成完备的正交矢量集321,VVV第三章 连续信号的正交分解4mlkmldttgtgmttml, 0)()(21则称函数集则称函数集 为在区间为在区间（t t1 1,t,t2 2）内的正交函数集。内的正交函数集。 于是于是信号信号 在区间在区间（t t1 1,t,t2 2）内可以用内可以用n n
3、个互相正交的个互相正交的函数表示为：函数表示为： )(tfnrrrnnrrtgCtgCtgCtgCtgCtf12211)()()()()()(212121)()(1)()()(2ttrrttrttrrdttgtfkdttgdttgtfC求得由0 )()(12112221dttgCtfttCCCttnjjjrrr3.2.2 实信号的正交分解实信号的正交分解0)()(2121ttdttftf信号信号 在区间在区间（t t1 1,t,t2 2）内正交内正交 )(),(21tftf)(),(1tgtgn第三章 连续信号的正交分解5mlkmldttgtgmttlm, 0)()(21*则称此函数集为在区间
4、则称此函数集为在区间（t t1 1,t,t2 2）内的正交复变函数内的正交复变函数集。集。 于是于是信号信号 在区间在区间（t t1 1,t,t2 2）内可以用内可以用n n个互相正交的个互相正交的函数表示为：函数表示为： )(tfnrrrnnrrtgCtgCtgCtgCtgCtf12211)()()()()()(212121)()(1)()()()(*ttrttrttrdttgtfkdttgtgdttgtfCrrr求得由0)()(12112221dttgCtfttCCCttnjjjrrr3.2.3 复变信号的正交分解复变信号的正交分解第三章 连续信号的正交分解6与矢量分解相似，用一正交函数集
5、中的分量去代表任意一与矢量分解相似，用一正交函数集中的分量去代表任意一个函数，这个函数集必须是一完备的正交函数集。个函数，这个函数集必须是一完备的正交函数集。完备的正交函数集完备的正交函数集有两种定义：有两种定义： A.如果用正交的函数集如果用正交的函数集 在区间在区间（t t1 1,t,t2 2）内近似表内近似表示示 ，若令，若令 ，则称该函，则称该函数集为完备的正交函数集。数集为完备的正交函数集。 )(tgr)(tf)(0lim,2此时nnB.B.如果在正交函数集如果在正交函数集 之外，不存在之外，不存在函数函数 ，满足等式，满足等式: : 则这个函数集称为完备的则这个函数集称为完备的正交
6、函数集。正交函数集。 )(,),(),(21tgtgtgn)(tx), 2 , 1( 0)()(21*nrdttgtxttr第三章 连续信号的正交分解73.3.1 三角傅里叶级数三角傅里叶级数三角函数集三角函数集 ),(,),2(,),(,),2(,1tnSintSintSintnCostCostCos，在区间在区间（t t0 0,t,t0 0+T+T）( )( )内为完备的正交函数集。内为完备的正交函数集。 2T第三章 连续信号的正交分解8 任何周期为T的函数f(t)都可分解为无限个正弦和余弦函数的代数和，即f(t)在(t0, t0+T)区间的三角傅里三角傅里叶级数叶级数展开。1021210
7、)sincos(2sin2sinsincos2coscos2)(nnnnntnbtnaatnbtbtbtnatataatf直流分量 n次谐波分量n =1，基波分量第三章 连续信号的正交分解直流分量余弦分量系数正弦分量系数TttTttTttndttntfTdttndttntfa111111)cos()(2)(cos)cos()(2TttTttTttndttntfTdttndttntfb111111)sin()(2)(sin)sin()(2)()(11)(211111120tfdttfTdtdttfaTttTttTtt第三章 连续信号的正交分解10基波频率基波频率 ， n n 次谐波频率次谐波频率
8、 n)()()(nnnntnCosAtnSinbtnCosa令令10)(2)(nnntnCosAatf则则nnnnnnAbAasincosnnnnnnabbaAarctan22其中其中偶函数nnnnAAaa奇函数nnnnbb可证可证:( (任一周期信号任一周期信号 可以用一直流分量和一系列谐波可以用一直流分量和一系列谐波分量之和来表示）分量之和来表示）)(tf第三章 连续信号的正交分解11第三章 连续信号的正交分解 实用中进行信号分析时，不可能无限多次谐波，而只能取有限项来近似，这不可避免地要有误差 n愈大，即所取级数项数愈多，方均误差愈小。 方均误差趋于零。)(sincos2)(10ttkb
9、tkaatfnnkkkn第三章 连续信号的正交分解例3-1 将下列方波信号展开成三角级数1-1)(tfTT/2为偶数为奇数nnntdtntdtnTtdtntfTbtdtntdtnTtdtntfTadtdtTdttfTaTTTTnTTTTnTTTT04sinsin2sin)(20coscos2cos)(202)(22200220022000第三章 连续信号的正交分解14ttttf5sin513sin31sin4)(第三章 连续信号的正交分解153.3.2 指数傅里叶级数指数傅里叶级数虚指数函数集虚指数函数集 2, 1, 0,netjn在区间在区间（t t0 0,t,t0 0+T+T）( )( )
10、内为完备的正交函数集。内为完备的正交函数集。 2TnmdteeTdteetjnTtttjmtjnTtttjn, 0)()()()(*1111第三章 连续信号的正交分解第三章 连续信号的正交分解17a0第三章 连续信号的正交分解18njnneAA定义复数振幅定义复数振幅第三章 连续信号的正交分解193.3.3 周期函数的奇偶性及其三角傅里叶级数特点周期函数的奇偶性及其三角傅里叶级数特点 奇函数 是奇函数。 周期奇函数的三角傅里叶级数：只有正弦项。 偶函数 是偶函数。 周期偶函数的三角傅里叶级数：只有余弦项（可能有直流项）。 非奇非偶函数 三角傅里叶级数：正弦项、余弦项都有，可能有直流分量。)si
11、n(tn)cos(tn)()(tftf)()(tftf0na0nb第三章 连续信号的正交分解20非奇非偶函数)( tfo第三章 连续信号的正交分解21第三章 连续信号的正交分解周期函数的奇谐偶谐性判定及其傅里叶级数特点周期函数的奇谐偶谐性判定及其傅里叶级数特点 奇谐函数 傅里叶级数：只有奇次谐波。 偶谐函数 傅里叶级数：只有偶次谐波。 非奇谐非偶谐函数 傅里叶级数：偶次谐波和奇次谐波同时存在。)2()(Ttftf)2()(Ttftf第三章 连续信号的正交分解23 周期信号周期信号 f (t) 的傅立叶级数中所含有的频率分量是的傅立叶级数中所含有的频率分量是_。 (A) 余弦项的奇次谐波，无直流
12、余弦项的奇次谐波，无直流 (B) 正弦项的奇次谐波，无直流正弦项的奇次谐波，无直流 (C) 余弦项的偶次谐波，直流余弦项的偶次谐波，直流 (D) 正弦项的偶次谐波，直流。正弦项的偶次谐波，直流。 例 1偶函数：只含余弦项；偶函数：只含余弦项；半周重叠：半周重叠： 只含偶次谐波和直流只含偶次谐波和直流C)(tfT2Tt01第三章 连续信号的正交分解24例 2 周期信号周期信号 f (t) 的傅立叶级数中所含有的频率分量是的傅立叶级数中所含有的频率分量是_。 (A) 余弦项的奇次谐波，无直流余弦项的奇次谐波，无直流 (B) 正弦项的奇次谐波，无直流正弦项的奇次谐波，无直流 (C) 余弦项的偶次谐波
13、，直流余弦项的偶次谐波，直流 (D) 正弦项的偶次谐波，直流。正弦项的偶次谐波，直流。 )(tfT2Tt011-第三章 连续信号的正交分解25例例 3 3 习题习题3.83.8（1）已知周期信号f (t)前四分之一周期的波形如图所示，按下列条件绘出整个周期内的信号波形。 f (t)是t的偶函数，其傅里叶级数只有偶次谐波；04Tt)(tf解：波形纵轴对称；半周重叠。解：波形纵轴对称；半周重叠。04Tt)(tf2TT4Tf(t)= f(t+T/2)f(t)= f(-t)第三章 连续信号的正交分解26习题习题3.8（2）已知周期信号f (t)前四分之一周期的波形如图所示，按下列条件绘出整个周期内的信
14、号波形。 f (t)是t的偶函数，其傅里叶级数只有奇次谐波；04Tt)(tf解：波形纵轴对称；半周镜象重叠。解：波形纵轴对称；半周镜象重叠。04Tt)(tf2TT4Tf(t)= - f(t+T/2)f(t)= f(-t)第三章 连续信号的正交分解273.4 周期信号的频谱 频谱图振幅频谱振幅频谱 相位频谱相位频谱1000)cos(2)(nnnaAtnAAtfnAn第三章 连续信号的正交分解28)25cos(51)23cos(31)2cos(4)5sin(51)3sin(31)sin(4)(tttttttfAn01 3 5 7=nA1A3A5A7谱线tf(t)0T2n周期方波信号第三章 连续信号
15、的正交分解29 T202T2T1tf (t)A周期性矩形脉冲nnAA 或0n第三章 连续信号的正交分解30特点：离散性、谐波性、收敛性特点：离散性、谐波性、收敛性第三章 连续信号的正交分解31周期周期T不变，脉冲宽度不变，脉冲宽度 变化变化2nA20414T 2081161208T 16T 2nA2nA第三章 连续信号的正交分解32 由大变小，由大变小，An 的第一个过零点频率增大，的第一个过零点频率增大，即即 ， 称为信号的带宽，称为信号的带宽， 确定了带宽。确定了带宽。 由大变小，频谱的频带变宽，频谱的幅度变小。由大变小，频谱的频带变宽，频谱的幅度变小。 由于由于 T 不变，谱线间隔不变，
16、即不变，谱线间隔不变，即 不变。不变。T222第三章 连续信号的正交分解3316120脉冲宽度脉冲宽度 不变不变, 周期周期T变化变化 4T8120 8T 16T41202nA2nA2nA第三章 连续信号的正交分解34 不变，An 的第一个过零点频率不变，即 ，带宽不变。 T 由小变大，谐波频率成分丰富，并且频谱的幅度变小。 T 时，谱线间隔 0 ，这时： 周期信号 非周期信号；离散频谱 连续频谱2第三章 连续信号的正交分解35周期信号频谱的特点周期信号频谱的特点 唯一性： 一个周期信号与它的频谱（幅度频谱和相位频谱）之间一个周期信号与它的频谱（幅度频谱和相位频谱）之间存在一一对应的关系。存在
17、一一对应的关系。 离散性： 频谱由不连续的线条组成，每一条线代表一个正弦量，频谱由不连续的线条组成，每一条线代表一个正弦量，故称为离散频谱。故称为离散频谱。 谐波性： 频谱的每条谱线只能出现在基波频率的整数倍频率上。频谱的每条谱线只能出现在基波频率的整数倍频率上。 收敛性： 各次谐波的振幅，总的趋势是随着谐波次数的增高而逐各次谐波的振幅，总的趋势是随着谐波次数的增高而逐渐减小。渐减小。 一般将最大的频谱幅度形象化称为一般将最大的频谱幅度形象化称为主峰高度。主峰高度。第三章 连续信号的正交分解36 频带宽度 理论上周期信号的谐波分量无限多。实际只考虑频理论上周期信号的谐波分量无限多。实际只考虑频
18、率较低的一部分分量。率较低的一部分分量。 周期信号的频带宽度周期信号的频带宽度从零频率开始到需要考虑从零频率开始到需要考虑的最高分量的频率间的这一频率范围，简称的最高分量的频率间的这一频率范围，简称带宽带宽。 包络线为抽样函数包络线为抽样函数的频谱的频带宽度的频谱的频带宽度从从零频率零频率开始到频谱包络开始到频谱包络线线第一次过零点的频率第一次过零点的频率(2/)之间的频率范围。之间的频率范围。 一般信号一般信号的频谱的的频带宽度的频谱的的频带宽度从从零频率零频率开始到频谱振幅降为开始到频谱振幅降为包包络线最大值（主峰高度）的络线最大值（主峰高度）的1/10的频率之间的频率范围。的频率之间的频
19、率范围。 一切脉冲信号的脉宽一切脉冲信号的脉宽（脉冲宽度脉冲宽度 ）与频宽成反比；与频宽成反比；时间函数中变化较快的信号必定具有较宽的频带。时间函数中变化较快的信号必定具有较宽的频带。第三章 连续信号的正交分解37 离散频谱与连续频谱 时域时域中中连续的周期函数连续的周期函数，它的频谱在，它的频谱在频域频域中是中是离离散的非周期函数。散的非周期函数。 当周期增大，频谱也相应地渐趋密集，频谱的当周期增大，频谱也相应地渐趋密集，频谱的幅度也相应的渐趋减小。当幅度也相应的渐趋减小。当 T （周期函数（周期函数变成非周期函数）时，频谱线无限密集，频谱幅变成非周期函数）时，频谱线无限密集，频谱幅度无限趋
20、小。这时，度无限趋小。这时，离散频谱就变成连续频谱离散频谱就变成连续频谱。即，即，时域时域中中连续的非周期函数连续的非周期函数，它的频谱在，它的频谱在频域频域中是中是连续的非周期函数。连续的非周期函数。第三章 连续信号的正交分解383.5 3.5 傅里叶变换与非周期信号的频谱傅里叶变换与非周期信号的频谱 频谱密度函数频谱密度函数 ，简称频谱函数简称频谱函数傅里叶正变换式傅里叶正变换式第三章 连续信号的正交分解39tjnnneAtf21)(ntjnneTATtf21)(dTndT22,时，tjejFdtf)(2)(dejFtj)(21傅里叶反变换式傅里叶反变换式第三章 连续信号的正交分解40非周
21、期信号的傅里叶变换dtetfjFtj )()( dejFtftj)(21)()()( jFtf一般来说，傅里叶变换存在的一般来说，傅里叶变换存在的充分条件充分条件为为 f(t) 应满足绝应满足绝对可积，对可积， 即要求即要求 dttf)(第三章 连续信号的正交分解41与周期信号的傅里叶级数类似，与周期信号的傅里叶级数类似， 一般为复函数一般为复函数)( jF)()()( jejFjF )( jF )(称为称为幅频幅频特性；特性；称为称为相频相频特性。特性。频率特性频率特性第三章 连续信号的正交分解423.6 3.6 常用信号的傅里叶变换常用信号的傅里叶变换 0第三章 连续信号的正交分解430第
22、三章 连续信号的正交分解44第三章 连续信号的正交分解45jt1)()(=第三章 连续信号的正交分解46p.115dtetfjFtj)()()(2222jjtjeejAdtAe)2(22SaASinA第三章 连续信号的正交分解473.7 3.7 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换 )(2ctjce)(21)()(2coscctjtjccceet)()(2sincctjtjcjjeetcc第三章 连续信号的正交分解48一般周期信号一般周期信号ntjnneAtf21)(222,)(2TTtjnnTdtetfTAnntjnnnntjnnnAeFAeAFtfFjF)(2121)()(第三章 连续
23、信号的正交分解例3-5 求均匀冲激序列的傅里叶变换。nTnTtt)()(22002222)(2)(2TTjjTTtjnnTeTdtetTdtetTA)()(2)()(nnnnTnAjF第三章 连续信号的正交分解1. 线性特性线性特性 )()()()(22112211jFajFatfatfa),()(),()(2211jFtfjFtf且设a1, a2为常数，则有 若 3.8 3.8 傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质 第三章 连续信号的正交分解512.2.延时特性延时特性 )()(11jFtf若含义：信号在时域中延时对应在频域中移相。0)()()(101tjejFttftf则第三章 连续信
24、号的正交分解52)(tG)(tG第三章 连续信号的正交分解533.3.移频特性移频特性 )()(jFtf若)()(ctjjjFetfc则表明：信号在时域中与因子 相乘，等效于频域中频率的转移 tjce)()(21)()(21cos)(cctjtjcjjFjjFetfetfttfcc推论：第三章 连续信号的正交分解54第三章 连续信号的正交分解55例第三章 连续信号的正交分解564.4.尺度变换特性尺度变换特性 若 )()(jFtf则 )(1)(ajFaatf含义：在时域内,信号 沿时间轴压缩至原来的 ,对应于频域中，它的频谱函数展宽 倍。即信号的脉宽与频宽成反比。 )(tfa1a第三章 连续信
25、号的正交分解57第三章 连续信号的正交分解58)()(jFtf推论 例：求 的傅里叶变换 tttsgn解： tsgn第三章 连续信号的正交分解59例jjejFejFjFtftftf)()()()1()1()(3.21 (4)jejFjFjFtftftf)()()()1()()(或第三章 连续信号的正交分解60255)2(21)()()52()5()(jjejFejFjFtftftf3.21 (6)25)2(21)2(21)()25(2()2()(jejFjFjFtftftf或第三章 连续信号的正交分解615.5.奇偶特性奇偶特性 如果 是t的实函数，且设 )(tf)()()()()()(jXR
26、ejFjFtfj 则有 (1) )()(, )()()()(),()(jFjFXXRR(2) )()(, 0)(),()()()(, 0)(),()(jXjFRtftfRjFXtftf则如则如偶偶偶偶奇奇奇奇实偶实偶实偶实偶实奇实奇虚奇虚奇第三章 连续信号的正交分解623.13第三章 连续信号的正交分解636.6.对称性质对称性质 )()(jFtf若)(2)(fjtF则)()()(Rtftf是偶函数，若)(2)(ftR则推论第三章 连续信号的正交分解641)( t)(21)(2)()()(fjtFjFtf213例例1例例2)sgn(2)sgn(22jt第三章 连续信号的正交分解65)()(tG
27、tf)2()(SajF)2()(tSajtF)(2)(2)(2GGf例例3)(2)2(GtSa)(2)2(GtSa第三章 连续信号的正交分解66 7 7、时域微分特性、时域微分特性 )()(jFtf若)()(jFjdttdf则)()()(jFjdttfdnnn含义：含义：信号对时间取导数，相当于在频域中用因子信号对时间取导数，相当于在频域中用因子 去乘它的频谱函数去乘它的频谱函数。 第三章 连续信号的正交分解678 8、时域积分特性、时域积分特性 )()(jFtf若)()0()(1)(FjFjdft则推论：推论：)()()(jFtfdttdg若则第三章 连续信号的正交分解68求导求导求导第三章
28、 连续信号的正交分解69第三章 连续信号的正交分解709 9、频域的微分与积分性质、频域的微分与积分性质 若若 )()(jFtf则则 djdFtjtf)()(djFttfjtf)()()()0(第三章 连续信号的正交分解7110.10.卷积定理卷积定理 1 1时域卷积定理时域卷积定理 )()()()(2121jFjFtftf2 2频域卷积定理频域卷积定理 )()(21)()(2121jFjFtftf第三章 连续信号的正交分解723.19第三章 连续信号的正交分解733.9 3.9 帕赛瓦尔定理与能量频谱帕赛瓦尔定理与能量频谱 （一）（一） 信号的能量信号的能量W W和平均功率和平均功率P P
29、1.1.信号的能量：信号的能量： dttfW2)( 2 2信号的平均功率：信号的平均功率： 2222)()(1limtfdttfTPTTT3 3能量信号（能量有限信号）能量信号（能量有限信号） 能量为有限值（能量为有限值（W W有限值，有限值，P=0P=0） 4. 4. 功率信号功率信号 平均功率为有限值（平均功率为有限值（P P有限值，有限值，W=W=） 第三章 连续信号的正交分解74（二（二） 周期信号的功率周期信号的功率212202222)2(21)2()(1)(nnnnTTAAAdttfTtf表明：表明： 对周期信号，对周期信号，在时域中求得的信号功率与在频域在时域中求得的信号功率与在
30、频域中求得信号功率相等，中求得信号功率相等，且频域中的信号功率表示且频域中的信号功率表示为各谐波分量功率之和，其中每一分量的功率为为各谐波分量功率之和，其中每一分量的功率为该谐波的方均值。该谐波的方均值。 1000)cos(2)(nnnaAtnAAtf 周期信号的功率等于该信号在完备正交函数集中周期信号的功率等于该信号在完备正交函数集中各分量功率之和。各分量功率之和。 第三章 连续信号的正交分解75( (三）三）非周期信号的能量和能谱（能量密度频谱函数）非周期信号的能量和能谱（能量密度频谱函数） 1 1. . 非周期信号的能量非周期信号的能量dttfW2)(dejFtftj)(21)(djFW
31、2)(2102)(1djF)2(fdffjF2)2(表明：表明： 对非周期信号，在时域中求得的信号能量与在频对非周期信号，在时域中求得的信号能量与在频域中求得的信号能量相等。域中求得的信号能量相等。 雷利定理雷利定理 第三章 连续信号的正交分解762 2. . 非周期信号的能谱非周期信号的能谱 能量密度频谱（能谱）定义：能量密度频谱（能谱）定义： 单位角频率的能量，单位角频率的能量，以以 表示表示 )(GddWG)(00)(dGW02)(1djFW2)(1)(jFG第三章 连续信号的正交分解第三章作业 3.8(3)(4)(5) 3.9 3.12 f1 f3 3.14(1)(2) 3.15(3)(4) 3.16(a) 3.17(b)(c) 3.20 3.21(6)77
