第2章_平面力系.

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1、普通高等教育普通高等教育 “十一五十一五” 国家级规划教材国家级规划教材静力学静力学第第2章章 平面力系平面力系平面汇交力系：平面汇交力系：共线力系共线力系平行力系平行力系平面力系平面力系空间力系空间力系按作用线所在的位置按作用线所在的位置按作用线的相互关系按作用线的相互关系力系分类：力系分类：汇交力系汇交力系任意力系任意力系 各力作用线都在同一平面内且汇交各力作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。于一点的力系。 研究方法：研究方法：研究问题：研究问题：平面汇交力系的合成与平衡平面汇交力系的合成与平衡几何法、解析法几何法、解析法2-1 平面汇交力系平面汇交力系引言引言F1F2F3FRFR1F

2、R2F4bcdeF2F3FR2-1 平面汇交力系平面汇交力系F4F1F2F3FRabcdeF4F1au各分力矢按一定的次序首尾相连，形成一个力矢折线链(通常是不封闭的)，称为力多边形。u用力多边形求合力大小和方向的方法称为力多边形法则。u合力矢是封闭边，合力矢方向是从第一个力矢的起点指向最后一个力矢的终点。2.1.1 平面汇交力系合成的几何法、力多边形法则平面汇交力系合成的几何法、力多边形法则FRF2F3F1F4F2F3F1F4A结论结论 : :niinFFFFF121R( (2-1) )u 特殊情况 共线力系：u 矢量表达式：niiFF1R( (2-2) ) 其力多边形在同一直线上，沿直线的

3、某一方向为正(反之为负)，合力的大小和方向决定于各分力的代数和，即： 平面汇交力系可简化为一合力，其合力的大小与方向等于各分力的矢量和( (几何和几何和) )，合力的作用线通过汇交点。2-1 平面汇交力系平面汇交力系2.1.1 平面汇交力系合成的几何法、力多边形法则平面汇交力系合成的几何法、力多边形法则结论结论 : : 平面汇交力系平衡的几何条件(充要条件)：该力系的力多边形自行封闭。 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的合力等于零。0niiFF1R( (2-3) )u 矢量表达式：u在平衡的情形下，力多边形中最后一个力的终点与第一个力的起点重合，此时的力多边形称为封闭的力多边形。2-

4、1 平面汇交力系平面汇交力系2.1.2 平面汇交力系平衡的几何条件平面汇交力系平衡的几何条件例题例题 : : 2-1支架的横梁AB与斜杆DC彼此以铰链C相联接，并各以铰链A、D连接于铅直墙上。如图所示。已知AC=CB；载荷F = 10kN，作用于B处。设梁和杆的自重忽略不计，求铰链A的约束力和杆DC所受的力。ADFCB452.1.3 几何法实例分析几何法实例分析2-1 平面汇交力系平面汇交力系EFACB45 FAFCd45 Fba画封闭力三角形，按比例换量，或用三角公式计算。解解 : :DC为二力杆，取AB杆为研究对象，画受力图。CDFDFCdFba45ADFCBFAFCFC = 28.3 k

5、NFA = 22.4 kNFAFC2.1.3 几何法实例分析几何法实例分析2-1 平面汇交力系平面汇交力系例题例题 : : 2-2已知压路机碾子自重P=20kN，半径R=60cm，欲拉过h=8cm的障碍物。求： 水平拉力F = 5kN时，碾子对地面障碍物的压力？ 欲将碾子拉过障碍物，水平拉力F至少多大？ 力F沿什么方向拉动碾子最省力，此时力F多大？hPFR2.1.3 几何法实例分析几何法实例分析2-1 平面汇交力系平面汇交力系hRF解解 : :AFA1）取碾子为研究对象，画受力图；2）作封闭的力多边形；3）按比例量取，得：FA = 11.4 kN，FB = 10 kNBFB FPFAFB或由几

6、何关系：30/ )arccos(RhRPFFFFBABcossin解得：FA = 11.4 kN，FB = 10 kN 2.1.3 几何法实例分析几何法实例分析2-1 平面汇交力系平面汇交力系PFP解解 : :碾子能越过障碍物的条件为：FA = 0。如图( (b) )所示：10sinminPFkN解解 : :用几何法，如图( (b) )所示： FPFAFB FPFBFminkN55.11tanPF( (b) )( (a) )2.1.3 几何法实例分析几何法实例分析2-1 平面汇交力系平面汇交力系 选取研究对象。根据题意，选取适当的平衡物体作为研究对象，并画出简图。 小结：几何法解题的主要步骤

7、画受力图。在研究对象上，画出它所受的全部已知力和未知力(包括约束力)。 作力多边形或力三角形。选择适当的比例尺，作出该力系的封闭力多边形或封闭力三角形。必须注意，作图时总是从已知力开始。根据矢序规则和封闭特点，就可以确定末知力的指向。 求出未知量。用比例尺和量角器在图上量出未知量，或者用三角公式计算出来。 2.1.3 几何法实例分析几何法实例分析2-1 平面汇交力系平面汇交力系1、力在坐标轴上的投影力在坐标轴上的投影FXcosFYcos22YXF FcosFX 力矢的大小和方向余弦为：cosFY 力在某轴上的投影等于力的模乘以力与投影轴正向间夹角的余弦。 如图所示，力 与正交坐标轴Ox、Oy的

8、夹角分别为和，则力 在x、y轴上的投影为：FFxyXY O F2.1.4 平面汇交力系合成的解析法平面汇交力系合成的解析法2-1 平面汇交力系平面汇交力系2、力的解析表达式力的解析表达式分力与投影间的关系为：XxFiYyFj力的解析表达式yxOFxFyF于是：XFijYyxFFF 力 沿正交坐标轴Ox、Oy 可分解为两个分力 和 ，有：FxFyFXYFxFyFxy XYO 力沿某轴的分力与力在该轴上的投影有何区别？ 是否对任意坐标轴都成立？ XFijY : :2.1.4 平面汇交力系合成的解析法平面汇交力系合成的解析法2-1 平面汇交力系平面汇交力系i ij j3、平面汇交力系合成的解析法平面

9、汇交力系合成的解析法cosRFFx( (2-4) ) 设由n个力组成的平面汇交力系作用于一刚体上，建立正交坐标系Oxy，则合力 的解析表达式为：RFjiFFFyxyxFFRRR其中：cosRFFy( (2-5) )2.1.4 平面汇交力系合成的解析法平面汇交力系合成的解析法2-1 平面汇交力系平面汇交力系xFx RF yFOxRFyFRyi ij jxyO1FnF3F2Fi ij j( (2-6) ) 合矢量投影定理：合矢量在某一轴上的投影等于各分矢量在同一轴上投影的代数和。ni 1inFFFFF21R合力矢的大小和方向余弦为：nixixnxxxFFFFF121niyiynyyyFFFFF12

10、1RR)cos(FFFFxixiF, ,R2222R)()(yixiyxFFFFFRFRR)cos(FFFFyiyjF, ,R( (2-7) )2.1.4 平面汇交力系合成的解析法平面汇交力系合成的解析法2-1 平面汇交力系平面汇交力系( (2-8) ) 由前述可知，平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力为零。由式( (2-7) )应有：0)()(22RyixiFFFRF0 xiF0yiF欲使上式成立，必须同时满足: 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在作用面内两个任选的坐标轴上投影的代数和分别等于零。式( (2-8) )称为平面汇交力系的平衡方程。0 xF0yF或2.1.5 平

11、面汇交力系的平衡方程平面汇交力系的平衡方程2-1 平面汇交力系平面汇交力系例题例题 : : 2-3求平面汇交力系的合力。N3 .12945cos45cos60cos30cos432141FFFFFFixixN3 .11245cos45cos30cos60cos432141FFFFFFiyiyF1F2F3F47548. 0)cos(RRFFFFxixiF, ,RN3 .171)()(2222RyixiyxFFFFF6556. 0)cos(RRFFFFyiyjF, ,R99.40)(iF , ,R01.49)(jF , ,R2.1.6 解析法实例分析解析法实例分析2-1 平面汇交力系平面汇交力系解