第七章 常微分方程数值解法.

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1、 第七章第七章 常微分方程初值问题的数值解法常微分方程初值问题的数值解法如何求解一阶常微分方程的初值问题如何求解一阶常微分方程的初值问题0( , ), ( )yf x yaxby ay 本章主要内容本章主要内容一、欧拉方法及其改进形式一、欧拉方法及其改进形式二、龙格二、龙格- -库塔方法库塔方法三三 、线性多步法、线性多步法7.17.1 引引 言言一、求常微分方程数值解的必要性一、求常微分方程数值解的必要性1、方程本身很复杂，难以求出解析解；、方程本身很复杂，难以求出解析解；2、即使可以获得解析解，计算量太大或者计算、即使可以获得解析解，计算量太大或者计算 过程太复杂而不实用；过程太复杂而不实

2、用；3、在实际应用中，只需要求得解在某些特殊点、在实际应用中，只需要求得解在某些特殊点 上的近似值。上的近似值。0)(),(yaybxayxfyyyLyxfyxf),(),(考虑一阶常微分方程的初值问题考虑一阶常微分方程的初值问题 (1) 则（则（1）的解存在且唯一）的解存在且唯一。 ，对任意，对任意),(yxfL,bax 满足满足Lipschitz条件，即存在常数条件，即存在常数，均有，均有若若二、初值问题及其二、初值问题及其数值解数值解的概念的概念常用的一些常用的一些解析解法解析解法：常数变易等常数变易等分离变量法、变量代换、分离变量法、变量代换、一阶常微分方程初值问题：一阶常微分方程初值

3、问题：000( , )();dyf x ydxy xyxx 数值解数值解是指：在解的是指：在解的存在区间存在区间上取一系列点上取一系列点012.nxxxx1 2 3(, , ,.)iy i 逐个求出的解逐个求出的解 的近似值的近似值()iy x0;ixxih等距等距节点：节点：:h步长步长定义：定义：(1) 初值问题初值问题(1)(1)的解析解及其数值解的几何意义：的解析解及其数值解的几何意义：oxy初值问题初值问题(1)(1)的解析解表示过点的解析解表示过点 的一条曲线的一条曲线00(,)xynx (,)nnxy ),(00yx( )yy x 0 x),(00yx 2x),(22yx 1x)

4、,(11yx 初值问题初值问题(1)(1)的数值解表示一组离散点列的数值解表示一组离散点列(,)iixy可用拟合方法求该组数据可用拟合方法求该组数据 的近似曲线的近似曲线(,)iixy积分曲线积分曲线 7.2 欧拉欧拉(Euler)方法方法一、欧拉方法的推导一、欧拉方法的推导在常微分方程中直接用在常微分方程中直接用向前差商向前差商代替代替微商微商.设在点设在点 xi 列出方程列出方程(1):)(,()(iiixyxfxy并用并用向前差商向前差商,)()()()(111hxyxyxxxyxyiiiiii则有则有若用若用y(xi)的近似值的近似值yi代入上式右端，并记所得结果为代入上式右端，并记所

5、得结果为yi+1, 这样得到计算公式：这样得到计算公式：)(,()()(1iiiixyxhfxyxyyi+1= yi+h f (xi, yi) (2)i=0,1,2,当初值当初值 y0已知时已知时,利用利用(2)可以递推求出可以递推求出12,.,.nyyy称称(2)式为式为欧拉方法欧拉方法.欧拉方法也称为欧拉方法也称为欧拉折线法欧拉折线法。oxy),(00yx( )yy x 0 x),(00yx nx (,)nnxy 2x),(22yx 1x),(11yx 00(,)xy现在从现在从 出发出发作解曲线的切线，作解曲线的切线，切线方程为：切线方程为：0000(,)()yyf x yx x 切线切

6、线斜率斜率为为00( ,)f x y该切线与直线该切线与直线 的的交点的纵坐标交点的纵坐标1xx 11( )yy x 100010(,)()yyf xyxx 11(,)x y再从再从 出发，以出发，以 为斜率作直线为斜率作直线11(,)f x y1111(,)()yyf x yxx 二、欧拉法的几何解释二、欧拉法的几何解释该直线与该直线与直线直线 的交点的的交点的纵坐标纵坐标2xx 22()yy x 211121(,)()yyf x yxx 依次类推，依次类推， 的近似值的近似值 的计算公式：的计算公式：1()ny x 1ny 1(,)nnnnyyhf xy 为为等距节点等距节点的步长的步长h

7、称上述公式为称上述公式为欧拉公式欧拉公式。欧拉方法的几何意义：欧拉方法的几何意义：用一条折线近似代替积分曲线用一条折线近似代替积分曲线所以，欧拉方法又称所以，欧拉方法又称折线法折线法欧拉方法欧拉方法的缺陷：误差比较大！的缺陷：误差比较大！三、欧拉方法的积分学解释三、欧拉方法的积分学解释11( ) d( , ( ) dkkkkxxxxy xxf x y xx 即即11( , ( ) dkkxkkxyyf x y xx 利用左矩形公式近似积分项，有利用左矩形公式近似积分项，有21(, ()()kkkkyyhf xy xO h 在区间在区间 上对微分方程积分得上对微分方程积分得1,kkxx 略去高阶

8、项，便得欧拉公式略去高阶项，便得欧拉公式1(,)kkkkyyhf xy 四、显式格式和隐式格式四、显式格式和隐式格式若在微分方程若在微分方程 中用向后差商代替微商，则中用向后差商代替微商，则( , )yf x y 1111(,),iiiiiiyyf xyxx 或或1111(,), ()iiiiiiyyhf xyhxx此公式此公式(3)称为称为向后的欧拉公式。向后的欧拉公式。注：注：向后的欧拉公式是关于向后的欧拉公式是关于 的隐式表达式，这类的隐式表达式，这类1iy 格式称为是格式称为是隐式格式隐式格式；而欧拉公式是关于；而欧拉公式是关于 的显式的显式1iy 表达式，称为是表达式，称为是显式格式

9、显式格式。(3)利用右矩形公式近似积分项也可导出利用右矩形公式近似积分项也可导出隐式欧拉格式。隐式欧拉格式。隐式隐式格式格式五、梯形法五、梯形法11()()( , )nnxnnxy xy xf x y dx 112 (, ()(, ()nnnnhf xy xf xy x在区间在区间 上对方程上对方程(1) 两端积分，并用两端积分，并用梯形梯形1,nnxx 然后用然后用 代替代替 ，得，得ny()ny x1112 (,)(,)nnnnnnhyyf xyf xy 公式公式近似积分：近似积分：(4)此公式此公式(4)称为称为梯形法梯形法。将将EulerEuler公式与隐式公式与隐式EulerEule