非齐次线性微分方程的几种解法

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1、摘要我在此论文中主要讨论长微分方程中的非齐次线性微分方程的几种解法。关键词：关键词：线性相关，通解，特解，朗斯基行列式，拉普拉斯变换,线性无关，目 录摘要摘要 .1引言引言 .31.1.n阶线性齐次微分方程的一般理论阶线性齐次微分方程的一般理论: :.32.2.n阶线性非齐次微分方程的一般理论阶线性非齐次微分方程的一般理论: :.62.1 常数变易法.72.2 待定系数法:.92.1.1 第一类型非齐次方程特解的待定系数解法.92.2.2 第二类型非齐次微分方程特解的待顶系数法.122.3 拉普拉斯变换法.13总结总结 .15参考文选参考文选 .16致致 谢谢 .17引言非齐次线性微分方程是常

2、微分方程中的重要概念之一。非齐次线性微分方程的通解等于对应齐次微分方程的通解与非齐次线性微分方程的一个特解的之和。这个毕业论文中关键的任务是求它的一个特解。下面我们主要介绍求特解的方法。1. 阶线性齐次微分方程的一般理论:n ( )(1)11( )( )( )( )nnnnya x yax yax yf x（1） ( )(1)11( )( )( )0nnnnya x yax yax y（2）定理定理 1 1：设方程（2）有个线性无关的解，这个线性无关的解称为方程nn的基本解组。定理定理 2 2：方程（2）的基本解组一定存在。方程（2）的基本解组的个数不能超过个。n定理定理 3 3：阶线性非齐次

3、微分方程的通解等于它的对应齐次方程的通解与它n本身的一个特解之和。定理定理 4 4：齐次方程（2）的个解在其定义区间上线性无关的n12,nyyyI充要条件是在上存在点，使得它们的朗斯基行列式。I0 x0()0W x目前为止没有求方程（2）线性无关解的一般方法。下面我们研究几个例子。例：例：方程的两个解是2)(1220 x yxyy121,ln121xxyxyx 它的通解为 121ln121xxyC xCx定理定理 5 5：设是方程（2）的任意个解。是它的朗斯基行12,nyyyn( )W x列式，则对区间上的任一有（3）上述关系式称为刘维刘维I0 x10( )0( )()xxp t dtW xW

4、 x e尔尔(Liouvlle)公式。我们手上有了这个定理，以后如果我们有二阶线性齐次微分方程的一个特解。我们求了它的另一个解。对于二阶齐次线性方程( )( )0yp x yq x y如果已知它的一个非零特解，依刘维尔公式（3） ，可用积分的方法求出1y与线性无关的另一个特解，从而可求出它的通解。1y设是已知二阶齐次方程一个解，根据公式（3）有y( )11p x dsyyCeyy或( )11p x dxy yyyCe为了积分上面这个一阶线性方程，用乘上式两端，整理后可得211y( )211p x dxdyCedxyy由此可得( )1211p x dxyCedxCyy易见 是已知方程的一个解，即

5、 ( )1211p x dxyyedxy10,1CC 所对应的解。此外，由于( )110p x dxyyCeyy所以，所求得的解是线性无罐解。从而，可得已知方程的通解1y。 ( )1121211p x dxyC yC yey（4） 其中和是任意常数。1CC例例 2:2:方程的一个解是 试求其通解。(1)0 xyxyy1,yx解：解：容易看出，已知方程有特解1, ( )1xyx p xx根据公式（4）立刻可求得通解( )1121211p x dxyC yC yedyy11221xdxxyC xC xedxx11221dxdxxyC xC xedxxln(1)1221xxC xC xeedxx12

6、2(1)xxC xC xe dxx12221xxeC xC xdxC xe dxxx1221xxeC xC xdxC x e dxx12211xxxeC xC xdxC xee dxxxx1222xxxeeC xC xdxC eC xdxxx12;xC xC e 通解为 12xyC xC e在这里我们不讨论三阶，四阶，阶变系数线性非齐次微分方程。n根据定理 3，我们的关键的要求试求线性非齐次微分方程的一个特解和对应齐次方程的一个基本解组的问题了。2. 阶线性非齐次微分方程的一般理论:n定理定理 6:6:阶线性非齐次方程（1）的通解等于它的对应齐次方程的通解与它n本身的一个特解之和。求对应齐次方

7、程的通解的方法我们不能加强讨论。我们加强讨论的是它本身的一个特解。求特解的方法有下面的三种：（1）常数变易法；（2）待定系数法；（3）拉普拉斯法;下面我们介绍一下常数变易法。2.12.1 常数变易法常数变易法设为方程（2）的基本解组,12( ),( ),( )nx tx tx t则方程（2）的通解为：1 122( )( )( )( )nny tC x tC x tC x t现在设一组函数 ，12( ),( ),( )nC x CxCx使 1122( )( )( )( )( )( )( )nny tC t x tC t x tC t x t为（1）的一个特解。式中 是待定系数。( )iC t(1

8、,2, )in 满足以下代数方程组。( )(1,2, )iC tin1122112222211221111122( )( )( )( )( )( )0( )( )( )( )( )( )0( )( )( )( )( )( )0( )( )( )( )( )( )( )nnnnnnnnnnnnnnCt x tCt x tCt x tCt xtCt xtCt xtCt xtCt xtCt xtCt xtCt xtCt xtf t 这个方程组的系数行列式是基本解组的朗斯基行列式，( ) (1,2, )ix tin所以由以上方程组唯一确定，通过求积分可得求( ) (1,2, )iC tin的表达式，这

9、种求解线性非齐次方程解的方法称为常数变易( ) (1,2, )iC tin法。 , ( )( )iiC xx( )( )iiC xx dx例：例：求非齐次方程的通解。1cosyyx解：解：知道对应齐次方程的基本解组 ，1cosyx2sinyx对应齐次方程的通解为 12cossinycxcx设方程的特解为 12( )cos( )sinyc xxc xx 由关系式（5）满足方程组12( ),( )C xCx1212( )cos( )sin01( )sin( )coscosCxxCxxCxxCxxx解上述方程组，得 , 1sin( )cosxCxxa2( )1Cx积分 ， 1( )ln cosC x

10、x2( )Cxxcos ln cossinyxxxx 通解为12cossincos ln cossinyCxCxxxxx常数变易法是求非齐次线性微分方程特解的一般方法。但计算比较麻烦。例：例：求方程的解 。2(1)xyyex解：解：知道对应齐次方程基本解组是，1xye2xye对应齐次方程的通解为 12xxyC eC e设方程的特解为 12( )( )xxyC x eCx e由关系式（5），1( )Cx2( )Cx满足方程组12212( )( )0( )( )1xxxxxCx eCx eCx eCx eex解上述方程组，得2xxxxeeee 22122220(1)1( )(1)220(1)1(